ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
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lunes, 27 de abril de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de centralización. Moda, mediana y media
ENUNCIADO. El del ejercicio 19, apartado (a), de la página 270 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
(Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural)
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INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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martes, 14 de junio de 2016
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Calcular la moda, la media y la mediana de siguiente conjunto de datos tomados de una cierta variable estadística $X$:
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$
$\square$
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$
$\square$
domingo, 13 de marzo de 2016
Un ejercicio de estadística descriptiva
ENUNCIADO. En el examen de una clase se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala de $1$ a $4$ ) $$\{3,4,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3\}$$ Se pide:
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos
SOLUCIÓN.
La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$
La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$
Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$
Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:
Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:
h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
$\square$
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos
SOLUCIÓN.
La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$
La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$
Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$
Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:
Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:
h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
$\square$
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