ENUNCIADO. Un lanzador de dardos ha obtenido las siguientes puntuaciones $\{1,2,1,3,2,3,4,3,3,3,3,3,4,5,3,4,5\}$. Determina la moda, la mediana y la media.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Ordenando los valores (de la característica/variable) de menor a mayor, encontramos: $\{1\,,\, 1\,,\, 2\,,\, 2\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 4\,,\, 4\,,\, 4\,,\, 5\,,\, 5\}$. Vemos que el valor que se repite un mayor número de veces es $3$, luego la moda es $3$; por otra parte, como hay $17$ valores, el centro del conjunto de valores ordenados es el noveno valor, que corresponde a $3$, luego la mediana es igual a $3$ ( en este caso coincide con el valor de la moda ); y, para finalizar, la suma de todos los valores es $1\cdot 2+2\cdot 2+ 3 \cdot 8+4\cdot 3+ 5\cdot 2 = 52$, luego la media es igual a $\dfrac{52}{17} \approx 3,1$
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lunes, 18 de mayo de 2020
lunes, 27 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros ( o medidas ) de posición /siguación. Moda.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
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SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de centralización. Moda, mediana y media
ENUNCIADO. El del ejercicio 19, apartado (a), de la página 270 del libro base
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INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
(Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural)
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INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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martes, 14 de junio de 2016
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Calcular la moda, la media y la mediana de siguiente conjunto de datos tomados de una cierta variable estadística $X$:
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$
$\square$
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$
$\square$
domingo, 13 de marzo de 2016
Un ejercicio de estadística descriptiva
ENUNCIADO. En el examen de una clase se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala de $1$ a $4$ ) $$\{3,4,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3\}$$ Se pide:
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos
SOLUCIÓN.
La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$
La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$
Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$
Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:
Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:
h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
$\square$
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos
SOLUCIÓN.
La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$
La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$
Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$
Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:
Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:
h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
$\square$
martes, 8 de abril de 2014
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$
Enunciado:
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )
Solución:
apartados: a), f) y g)
apartados: b) y c)
apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )
apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).
apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$
$\square$
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )
Solución:
apartados: a), f) y g)
apartados: b) y c)
apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )
apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).
apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$
$\square$
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