Repartir de forma directamente proporcional

ENUNCIADO. Una abuela quiere repartir $120$ galletas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. ¿ Cuántas galletas le corresponde a cada uno de ellos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$ y $z$ a las cantidades de galletas que corresponden a los nietos de $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. Entonces, planteando las igualdades entre las razones aritméticas ( proporcionalidad ) podemos escribir: $$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9}$$ que, a su vez, han de ser iguales a $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}$, y como $x+y+z=120$, se tiene que $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}=\dfrac{120}{25}=5$, que es la constante de proporcionalidad directa. Así,
$$\dfrac{x}{7}=5 \Rightarrow x=7 \cdot 5 = 35 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{y}{8}=5 \Rightarrow y=8 \cdot 5 = 40 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{z}{9}=5 \Rightarrow z=9 \cdot 5 = 45 \; \text{galletas}$$

Comprobación: Como cabía esperar, comprobamos que, cuánto más años tenga cada nieto más galletas le corresponde; y, se cumple que la suma de las tres cantidades obtenidas es igual al número total de galletas a repartir: $35+40+45=120$

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Repartir de forma directamente proporcional ...

ENUNCIADO. Un abuelo quiere repartir $180$ golosinas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $5$, $6$ y $7$ años, respectivamente. ¿ Cuántas golosinas le corresponde a cada uno de ellos ?

ENUNCIADO. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a las cantidades que les corresponde a los nietos de $5$, $6$ y $7$ años, respectivamente. Entonces,
$$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{7}$$ y estas tres razones han de ser igual a $\dfrac{x+y+z}{5+6+7}$, que es la constante de proporcionalidad, $k$, siendo $x+y+z=180$; por tanto, $k=\dfrac{180}{18}=10$. Así,
$\dfrac{x}{5}=10$, luego $x=5\cdot 10=50$ euros; $\dfrac{y}{6}=10$, luego $y=6\cdot 10=60$ euros; y $\dfrac{z}{7}=10$, con lo cual $z=7\cdot 10=70$ euros. $\square$

Repartos directamente proporcionales

ENUNCIADO. Repartir $300$ en partes directamente proporcionales a $1$, $2$ y $3$, respectivamente.

SOLUCIÓN. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a estas tres partes pedidas. Entonces, podemos plantear una triple igualdad entre tres razones ( las razones entre la parte pedida y el valor respectivo de la otra magnitud ): $$\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3} \quad \quad \quad (1) $$ A partir de estas razones equivalentes, podemos obtener una nueva razón, que es equivalente a cada una de las otras tres; esta nueva razón es, por la propiedad básica de varias fracciones equivalentes, es igual a $$\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ que no es otra que la constante de proporcionalidad ( que denotamos por $k$ ) $$k=\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ y como $x+y+z$ ha de ser igual a la cantidad total a repartir $300$, vemos que $$K=\dfrac{300}{1+2+3}=\dfrac{300}{6}=50$$

Ahora, dada la triple igualdad (1), tenemos $$\dfrac{x}{1}=50 \Rightarrow x=50$$ $$\dfrac{y}{2}=50 \Rightarrow y=2\cdot 50=100$$ $$\dfrac{z}{3}=50 \Rightarrow z=3\cdot 50=150$$
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Reparto directamente proporcional