ENUNCIADO. Un depósito puede llenarse mediante dos conducciones. Abriendo sólo la primera conducción, se tarda 4 horas en llenarlo; y, abriendo sólo la segunda, se tarda 5 horas. Cuando el depósito está lleno, cerrando las conducciones y abriendo un desagüe, se vacía en 6 horas.
a) Estando cerrado el desagüe y el depósito vacío, se abren las dos conducciones a la vez. ¿ En cuánto tiempo se llena el depósito ?
b) Estando vacío el depósito, y queriéndolo llenar con las dos conducciones abiertas, se ha dejado abierto ( por error ) el desagüe. ¿ Es posible que se llene el depósito en estas condiciones ? En caso afirmativo, ¿ cuánto tiempo se necesita para llenarlo ?
SOLUCIÓN.
a) Solamente con la primera conducción abierta, se llena \dfrac{1}{4} de depósito en 1 hora. Por otra parte, llenando el depósito solamente con la segunda conducción, en 1 hora se llena \dfrac{1}{5} parte del mismo. Así pues, llenando el depósito con las dos conducciones abiertas, en 1 hora se llena \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5} parte del depósito, esto es, la siguiente fracción del mismo, \dfrac{9}{20}. Finalmente, determinaremos el tiempo necesario, t, para llenarlo completamente planteando la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( suponiendo el depósito dividido en 20 partes iguales ), \dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{t}{\frac{20}{20}} y por tanto t=\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{20}{9}\;\text{h} \approx 2\,\text{h}\quad 13\,\text{min}\quad 20\,\text{s}\quad
b) Ahora, debemos tener en cuenta la fracción de depósito que se vacía ( debido al desagüe abierto ) al tiempo que se llena por el aporte de las dos conducciones. Como -- suponiendo el depósito lleno, las dos conducciones de aporte cerradas, y el desagüe abierto -- en 1 hora, se vacía \dfrac{1}{6} de depósito, al llenarlo con las dos conducciones de aporte abiertas y el desagüe abierto, en 1 hora la fracción del depósito que se llena/vacía es igual a \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\frac{1}{6} esto es \frac{17}{60}\,\text{partes del depósito} Teniendo en cuenta que esta fracción es positiva, podemos afirmar que sí se va a llenar el depósito. Veamos, ahora, en cuánto tiempo; para ello, plantearemos la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( igual que hemos hecho en el primer apartado, pero suponiendo ahora que el depósito está dividido en 60 partes iguales ): \dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{t}{\frac{60}{60}} con lo cual t=\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{60}{17}=3\;\text{h} + \dfrac{17}{19}\;\text{h} \approx 3\,\text{h}\quad 31\,\text{min}\quad 46\,\text{s}\quad
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