Un problema de "depósitos, grifos y desagües"

ENUNCIADO. Un depósito puede llenarse mediante dos conducciones. Abriendo sólo la primera conducción, se tarda 4 horas en llenarlo; y, abriendo sólo la segunda, se tarda 5 horas. Cuando el depósito está lleno, cerrando las conducciones y abriendo un desagüe, se vacía en 6 horas.

a) Estando cerrado el desagüe y el depósito vacío, se abren las dos conducciones a la vez. ¿ En cuánto tiempo se llena el depósito ?

b) Estando vacío el depósito, y queriéndolo llenar con las dos conducciones abiertas, se ha dejado abierto ( por error ) el desagüe. ¿ Es posible que se llene el depósito en estas condiciones ? En caso afirmativo, ¿ cuánto tiempo se necesita para llenarlo ?

SOLUCIÓN.
a) Solamente con la primera conducción abierta, se llena $\dfrac{1}{4}$ de depósito en $1$ hora. Por otra parte, llenando el depósito solamente con la segunda conducción, en $1$ hora se llena $\dfrac{1}{5}$ parte del mismo. Así pues, llenando el depósito con las dos conducciones abiertas, en $1$ hora se llena $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$ parte del depósito, esto es, la siguiente fracción del mismo, $\dfrac{9}{20}$. Finalmente, determinaremos el tiempo necesario, $t$, para llenarlo completamente planteando la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( suponiendo el depósito dividido en $20$ partes iguales ), $$\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{t}{\frac{20}{20}}$$ y por tanto $$t=\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{20}{9}\;\text{h} \approx 2\,\text{h}\quad 13\,\text{min}\quad 20\,\text{s}\quad$$

b) Ahora, debemos tener en cuenta la fracción de depósito que se vacía ( debido al desagüe abierto ) al tiempo que se llena por el aporte de las dos conducciones. Como -- suponiendo el depósito lleno, las dos conducciones de aporte cerradas, y el desagüe abierto -- en $1$ hora, se vacía $\dfrac{1}{6}$ de depósito, al llenarlo con las dos conducciones de aporte abiertas y el desagüe abierto, en $1$ hora la fracción del depósito que se llena/vacía es igual a $$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\frac{1}{6}$$ esto es $$\frac{17}{60}\,\text{partes del depósito}$$ Teniendo en cuenta que esta fracción es positiva, podemos afirmar que sí se va a llenar el depósito. Veamos, ahora, en cuánto tiempo; para ello, plantearemos la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( igual que hemos hecho en el primer apartado, pero suponiendo ahora que el depósito está dividido en $60$ partes iguales ): $$\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{t}{\frac{60}{60}}$$ con lo cual $$t=\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{60}{17}=3\;\text{h} + \dfrac{17}{19}\;\text{h} \approx 3\,\text{h}\quad 31\,\text{min}\quad 46\,\text{s}\quad$$
$\square$