ESO2 - Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas

NOTA: Disculpad. En algún momento de la grabación, por esos errores de locución que suele darse en las grabaciones en directo, me he referido (indebidamente ) a los diagramas de flechas como diagramas 'digitales', cuando debería haber dicho diagramas sagitales. Cosas que pasan ... tonterías que a veces se dicen.

ESO2 - Relaciones binarias y aplicaciones entre dos conjuntos

Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Gráficas de funciones. Funciones lineales afines. Uso de la hoja de cálculo de GeoGebra

ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=-2x+3$. Elabora una tabla numérica, calculando las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ y representa los pares de números que así obtendrás en un diagrma cartesiano. ¿ Qué puedes decir acerca de este conjunto de puntos ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Funciones

ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=4x-1$. Calcula:
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$

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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.


SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
  $=12-1$
    $=11$

b)
$2=4x-1$
  $2+1=4x-1+1$
    $2+1=4x$
      $3=4x$
        $\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
          $\dfrac{3}{4}=x$
Así pues, $x=\dfrac{3}{4}$

Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Análisis cualitativo de una función ( a partir de su gráfica )

ENUNCIADO: el del ejercicio 12 de la página 241

INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )

Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 10 de la página 240 del libro base
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función

INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Puntos de corte con los ejes de coordenadas

Ejercicio 9 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$

INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verlas en tamaño natural )

Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Discontinuidades

Ejercicio 8 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):

INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
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SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente

Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones

Ejercicio 2 de la página 237, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Averigua la fórmula que expresa la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Haz lo mismo con el área de un círculo y su radio.

INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones

Ejercicio 1 de la página 237, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Confecciona una tabla de valores, haz una gráfica y halla una fórmula que describa la siguiente función: "La longitud de camino recorrido (en kilómetros) es igual a sesenta veces el tiempo transcurrido ( en horas )"

INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Encontrar la función

ENUNCIADO. Un cierto servicio telefónico cobra a sus clientes $20$ céntimos de euro por el establecimiento de llamada y $50$ céntimos de euro por cada minuto de duración de la llamada. Se pide:
a) Escribir la expresión de la función que da el coste de la llamada en función del tiempo de la misma
b) Representar la gráfica de dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?
c) ¿ Cuánto cuesta hacer una llamada de $6$ minutos de duración ?

SOLUCIÓN.
a) Llamemos $x$ a la duración de la llamada, entonces el coste de la misma viene dada por la función $f(x)=0,50\,x+0,20$ ( en euros )

b) Como la función $f$ es de proporcionalidad directa, su gráfica es una semirrecta; basta calcular dos puntos de la misma para determinarla; por ejemplo, $A(0\,,\,0'20)$ y $B(-0'4\,,\,0)$

La parte punteada del gráfico sólo nos ha servido para representar la semirrecta ( en trazo continuo ) que describe la relación entre la duración de la llamada $x \ge 0$ y el coste del servicio.

c) Así, hacer una llamada de $6$ minutos cuesta $f(6)=0,50 \cdot 5 + 0,20 = 3,20$ euros.

$\square$

Sea la función cuadrática ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^2-4x+3$. Encontrar las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente, $x$: $\{-1,0,1,2,3,4\}$. Confeccionar una tabla numérica y, finalmente, dibujar la gráfica de la función, representando los puntos así obtenidos y perfilando el trazo que pasa por ellos. ¿ Qué tipo de función es ?.

SOLUCIÓN.
La función propuesta es una función cuadrática ( polinómica de grado $2$ ) y su gráfica es una parábola.

Calculando las imágenes pedidas:
$f(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)+3=1+4+3=8$
$f(0)=0^2-4\cdot 0+3=0+0+3=3$
$f(1)=1^2-4\cdot 1+3=1-4+3=0$
$f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$
$f(3)=3^2-4\cdot 3+3=9-12+3=0$
$f(4)=4^2-4\cdot 4+3=16-16+3=3$

Veamos la gráfica:

$\square$

Decir el tipo de función

ENUNCIADO. Decir el tipo de función y describir la forma del trazo que aparece al representarlas gráficamente:
a) $f(x)=x+1$
b) $f(x)=x^2$
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}$
d) $f(x)=2^x$

SOLUCIÓN.
a) función lineal afín ( o función de proporcionalidad directa ); la gráfica de dicha función es una recta que no pasa por el origen de coordenadas
b) función cuadrática; la gráfica de dicha función es una parábola, con vértice en el origen de coordenadas
c) función de proporcionalidad inversa; la gráfica de dicha función es una hipérbola equilátera
d) función exponencial (creciente); todos los valores de función son positivos y la gráfica de dicha función es creciente en todos ( monónota ) sus puntos
$\square$

Puntos del trazo de una función

Enunciat:
Esbrineu si el punt $P(-1,1)$ es troba damunt del traç ( de la corba ) corresponent a la funció $y=x^2+x+1$

Solució:
Si el punt $P$ forma part de la corba, les seves coordenades han de satisfer l'equació, per tant cal veure si
    $1\overset{?}{=}(-1)^2+(-1)+1 \quad \quad (1)$
en efecte, calculant el valor del segon membre de la suposada igualtat, trobem
    $(-1)^2+(-1)+1=1-1+1=1$
que és igual al valor del primer membre de (1)
i això implica que el punt $P$ forma part de la corba o traç donada per la funció de l'enunciat.
$\square$

Ejercicio de interpretación de gráficos

Enunciat:
En Pere, sortint de casa seva a les les 07:00 h, ha anat a caminar fins el a l'ermita, ha descansat, i ha tornat. A l'anada, ha caminat a una velocitat de cinc quilòmetres per hora, durant quaranta mintus. Després s'ha aturat vint minuts a descansar i, tot seguit, ha caminat en sentit invers fins a casa seva, a una velocitat de tres quilòmetres per hora.
    (a) Quina longitud té el recorregut ?
    (b) A quina hora ha tornat a casa ?
    (c) Dibuixeu el traç de la funció $x=f(t)$ en un diagrama cartesià, representant: els instants de temps, $t$, a l'eix d'abscisses ( eix horitzontal ); i els valors de la distància del punt del recorregut on en Pere es troba en cada moment ( respecte de casa seva ), $x$, a l'eix d'ordenades ( eix vertical ).

Solució:
    (a)
Plantejant una proporció directa entre la longitud de camí recorregut i el temps emprat en fer-la ( expressat en minuts ), podem calcular la distància de casa seva a l'ermita
    $\dfrac{5}{60}=\dfrac{d_{ermita}}{40}$
per tant
    $d_{ermita}=5\cdot \dfrac{40}{60}=3,\bar{3}\,\text{km}$
que és la meitat del recorregut; per tant, el recorregut total té una longitud de
    $2\cdot 3,\bar{3}\,\text{km} \approx 6 \, \text{km} \; \text{i}\; 667\,\text{m}$

    (b)
El temps que ha tardat a la tornada, $t_{tornada}$, es calcula plantejant la proporció directa entre la longitud de camí recorreguda i el temps emprat ( on expressem les quantitats de temps en minuts i les longituds en quilòmetres )
    $\dfrac{60}{3}=\dfrac{t_{tornada}}{3,\bar{3}} \Rightarrow t_{tornada} = \dfrac{60 \cdot 3,\bar{3}}{3} = 66,\bar{6} \, \text{min} \approx 1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
===
Nota:
Com un càlcul alternatiu, i per comprovar que tot surt bé, també podem calcular això plantejant la proporció inversa entre la velocitat i el temps que cal per recorrer una determinada longitud de camí:
    $v_1\,t_1=v_2\,t_2$
és a dir
    $5\cdot 40=3\,t_{tornada} \rightarrow t_{tornada}=40\cdot \dfrac{5}{3}=66,\bar{6}\,\text{min}$
és a dir
    $1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
que, en efecte, és la mateixa quantitat de temps obtinguda plantejant la proporció directa entre la longitud recorreguda i el temps emprat.
===
Llavors, el temps que ha tardat des que ha sortit de casa fins que hi ha tornat s'obté sumant les tres quantitats de temps ( el d'anada, el de descans i el de tornada ):
    $40 \, \text{min} + 20 \, \text{min} + 1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
que és igual a
    $2 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
Per tant, ha tornat a ser a casa a les
    $07:00:00+2:06:40 \rightarrow 09:06:40\;\text{hores}$

    (c)

$\square$

Escribir el nombre del tipo de función que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Escribir el nombre del tipo de función que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones:
  a) $y=x+1$
  b) $y=x^2$
  c) $y=3^x$
  d) $y=1/x$

Resolución:
  a) $y=x+1$ función lineal afín ( o función de proporcionalidad directa, o función polinómica de primer grado )
  b) $y=x^2$ función polinómica de segundo grado ( o función cuadrática )
  c) $y=3^x$ función exponencial
  d) $y=1/x$ función de proporcionalidad inversa

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea la función $y=2^x$. Calcular las ordenadas de los siguientes puntos: $A(0\,,\,\square)$ $B(1\,,\,\square)$ $C(2\,,\,\square)$ $D(3\,,\,\square)$ Finalmente, dibujar los puntos en un diagrama cartesiano y perfilar el trazo que corresponde a dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?.

Enunciado:
Sea la función $y=2^x$. Calcular las ordenadas de los siguientes puntos:
  $A(0\,,\,\square)$
  $B(1\,,\,\square)$
  $C(2\,,\,\square)$
  $D(3\,,\,\square)$
Finalmente, dibujar los puntos en un diagrama cartesiano y perfilar el trazo que corresponde a dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?.

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]