Operar los siguientes polinomios

ENUNCIADO. Considérense los polinomios $$P(x)=8\,x^3+x^2-4\,x+5$$ $$Q(x)=3\,x^2-x^2+x-1$$ Realizar las siguientes operaciones con polinomios y decir cuál es el grado de los polinomios resultantes:
a) $2\,P(x)$
b) $-3\,Q(x)$
c) $P(x)+Q(x)$
d) $P(x)-Q(x)$
e) $Q(x)-P(x)$
f) $P(x)\cdot Q(x)$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,P(x)=2\cdot ( 8\,x^3+x^2-4\,x+5 )= 2\cdot 8 \,x ^3+2\,x^2-2\cdot 4\,x+2\cdot 5=$
    $=16 \,x ^3+2\,x^2-8\,x+10$. El grado del polinomio resultante es $3$.

b)
$(-3)\,P(x)=(-3)\cdot ( 8\,x^3+x^2-4\,x+5 )=$
  $=(-3)\cdot 8 \,x ^3+(-3)\cdot x^2+(-3)(-4\,x)+(-3)\cdot 5=$
    $=-24 \,x ^3-3\,x^2+12\,x-15.$El grado del polinomio resultante es $3$.

c)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)+(3\,x^2-x^2+x-1)=8\,x^3+4\,x^2-3\,x+4$. El grado del polinomio resultante es $3$.

d)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)-(3\,x^2-x^2+x-1)=8\,x^3+x^2-3\,x^2-4\,x-x+5-(-1)=$
  $=8\,x^3-2\,x^2-5\,x+6$. El grado del polinomio resultante es $3$.

e)
$Q(x)-P(x)=-(P(x)-Q(x))=-(8\,x^3-2\,x^2-5\,x+6)=-8\,x^3+2\,x^2+5\,x-6$. El grado del polinomio resultante es $3$.

f)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)\cdot (3\,x^2-x^2+x-1)=(8\,x^3+x^2-4\,x+5)\cdot (2\,x^2+x-1)=$
  $=16\,x^5+2x^4-8x^3-10x^2+$
    $+(-8)x^4-x^3+4x^2-5x+$
      $+(-8)x^3-x^2+4x-5=$
        $16x^5-6x^4-17x^3+13x^2-x-5$. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores, esto es, el grado es $5$ ( como, además, podemos apreciar al observar el término de mayor grado ).
$\square$