Aplicar el Teorema de Tales

Enunciado:
Calcular el valor de $x$

Solución:
Por el Teorema de Tales, podemos escribir
    $\dfrac{x}{4}=\dfrac{2}{5}$
esto es
    $\dfrac{x}{2}=\dfrac{4}{5}$
de donde
    $5\,x=4\cdot 2$
y por tanto
    $5\,x=8 \Rightarrow x=\dfrac{8}{5}$
$\square$

Aplicar el Teorema de Tales para calcular el valor de $x$

Enunciado:
Calcular el valor de $x$

Solución:
Por el el Teorema de Tales, podemos escribir
    $\dfrac{x}{5}=\dfrac{3}{6}$
que es lo mismo que
    $\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{6}$
por tanto
    $6\,x=3\cdot 5$
y, resolviendo la ecuación
    $6\,x=15 \Rightarrow x=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$
$\square$

Dados los triángulos semejantes ...

Enunciat:
Considerant els triangles semblants de la figura ( els angles homòlegs són iguals i, per tant, els costats corresponents són proporcionals ), calculeu el valor de la raó de semblança, $r$, i les longituds dels costats $a$ i $b'$.

Solució:
La raó aritmètica de les longituds dels costats corresponents dels quals en donen la seva mesura permet escriure la raó de semblança, que és igual a
    $\dfrac{306}{612}$
que, simplficant, queda
    $r=\dfrac{1}{2}$
Llavors s'ha de complir també que
    $\dfrac{b'}{268}=r$
és a dir
    $\dfrac{b'}{268}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b'=\dfrac{268}{2}=134\, \text{mm}$
I, semblantment, podem escriure
    $\dfrac{300}{a}=r$
és a dir
    $\dfrac{300}{a}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=300\cdot 2 = 600 \, \text{mm}$
$\square$

El precio de veta al público de unos pantalones ...

Enunciat:
El preu de venda al públic d'un pantalons, inclòs el $21\,\%$ d'IVA, és de $60,00 \, \text{euros}$. Quin és el preu sense IVA ?.

Solució:
Per resoldre aquest problema cal entendre que apareixen en escena dues magnituds proporcionals: el preu de venda al públic ( que incorpora l'IVA ), que anomenarem $\mathcal{V}$, i, el preu nominal, que anomenarem $\mathcal{N}$. Aquest problema és de proporcionalitat directa perquè és evident que si el preu nominal de l'article agumenta, el preu de venda al públic també augmenta. Llavors, si $v_1$ i $v_2$ són dos valors de la magnitud $\mathcal{V}$, i $n_1$ i $n_2$ són els dos valors respectius de la magnitutd $\mathcal{N}$, s'ha de complir la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques ) directa:
    $\dfrac{n_1}{v_1}=\dfrac{n_2}{v_2}$
        Remarca:   És important que ens fixem bé en el següent detall: els dos valors de $\mathcal{N}$ figuren als numeradors i els dos valors respectius de $\mathcal{V}$ als denominadors ( de forma equivalent, també podríem posar els dos valors de $\mathcal{N}$ als denominadors i els dos valors respectius de $\mathcal{V}$ als numeradors ).

Ara, posant els valors donats a l'enunciat, que són:
  $n_1=100$
  $v_1=100+21=121$
  $n_2=\text{?}$
  $v_2=60$
haurem de resoldre aquesta equació
    $\dfrac{100}{121}=\dfrac{n_2}{60,00}$
llavors, multiplicant ambdós membres de l'equació per $60$ arribem a
    $n_2 = \dfrac{60\cdot 100}{121}$
        $\approx 49,59 \, \text{euro}$

$\square$

División de un segmento en partes proporcionales

Considerem un segment $\overline{AB}$ i la seva longitud, com a magnitud. Suposem que la longitud d'aquest segment és de cinc unitats de longitud ($5$ u. de l.) Situem a continuació un punt $P$ entre els dos extrems de tal manera que el divideixi en dues parts $\overline{AP}$ i $\overline{PB}$: la primera, $a$, de longitud igual, per exemple, a $2$, i, la segona, $b$, de longitud igual, per exemple, a $3$.

Entenem aquí per raó (aritmètica) de les quantitats $3$ i $2$ (de la magnitud longitud), el nombre de vegades que la longitud $\overline{PB}$ - considerant-la com un nou patró de mesura - abasta la longitud $\overline{AP}$, és a dir,
$\dfrac{3}{2}$

A continuació, considerem també un altre segment $\overline{A'B'}$, de longitud igual, per exemple, a $15$ u. de l. Imaginem-lo dividit en dues parts $a'$ i $b'$, que guardin la mateixa proporció que les del segment $\overline{AB}$. Per això, plantejarem la proporció, és a dir, la igualtat entre les dues raons aritmètiques:
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$

és a dir,
    $\dfrac{2}{3}=\dfrac{a'}{15-a'}$
D'aquí trobarem que
    $a' = 6$ u. de l.
I, per tant, que
    $b' = 15 -6 = 9$ u. de l.
$\square$

Queremos comprar una camisa ...

Enunciat:
Volem comprar una camisa que té un preu de venda al públic ( i, per tant, ja inclou l'IVA ) de $20,00\, \text{euros}$. Quin és el preu nominal?.

Solució:
Tenint en compte que, en el moment de resoldre el problema, l'IVA vigent és del $21\,\text{\%}$, ranonarem de la següent manera per interpretar aquest percentatge:
Suposem un objecte que té un preu nominal de $100 \, \text{euros}$, el seu preu de venda al públic serà, doncs, de $100+21 = 121 \, \text{euros}$. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{100}{121}=\dfrac{x}{20,00}$
( $x$ representa el preu nominal corresponent al preu de venda al públic que se'ns dóna )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{100 \cdot 20,00}{121} \approx 16,52\,\text{euros}$
$\square$

De rebajas ...

Enunciat:
Per uns pantalons que estaven rebaixats un $10\,\%$ hem pagat $60,00\, \text{euros}$. Abans de les rebaixes, quin era el preu de venda al públic d'aquest article ?.

Solució:
Interpretem aquest percentatge de descompte ( $10\,\%$ sobre el preu de venda al públic ):
Suposem un objecte que té un preu de venda al públic de $100$ euros i que, en fer-nos una rebaixa de $10$ euros de cada $100$ en total, costa (cal pagar) $100-10 = 90$ euros. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{100}{90}=\dfrac{x}{60,00}$
( $x$ representa el preu de venda al públic abans de fer-nos la rebaixa )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{100 \cdot 60,00}{90} \approx 66,67\,\text{euros}$
$\square$

Sin hacer uso de la división con decimales, acotar ...

Enunciado:
Sin hacer uso de la división con decimales, acotar la fracción $\frac{11}{3}$ entre los dos números enteros más próximos.

Solución:
El cociente de la división entera, $11 \div 3$ es $3$; y, el resto, $2$. Por tanto,
      $3 \prec \frac{11}{3} \prec (3+1)=4$
$\square$

¿ Puede construirse un triángulo de lados $a$, $2\,a$ i $4\,a$ ( on el paràmetre $a$ és un nombre real positiu ) ?

Enunciat:
Es pot construir un triangle amb tres segments de longituds $a$, $2\,a$ i $4\,a$ ( on el paràmetre $a$ és un nombre real positiu ) ?

Solució:
No és pot construir perquè no es compleix la condició necessària (la suma de les longituds dels dos costats més petits ha de ser més gran que la longitud del costat més llarg de tots tres); en aquest cas, això no es verifica:
    la suma dels dos més curst, $a+2\,a$, és igual a $3\,a$, que és menor que la longitud del més llarg, $4\,a$
$\square$

Operaciones con fracciones

Enunciat:
Efectueu les següents operacions amb fraccions
  a)
      $\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{7}$
  b)
      $\dfrac{5}{2}\div\dfrac{3}{7}$

Solució:
a)
      $\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{7} = \dfrac{5 \cdot 3}{2 \cdot 7}=\dfrac{15}{14}$
b)
      $\dfrac{5}{2}\div\dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{2}\cdot \text{invers}\Big(\dfrac{3}{7}\Big)= \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{5 \cdot 7}{2 \cdot 3}=\dfrac{35}{6}$
$\square$

Dados $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostrar que si ...

Enunciat:
Donats $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, on $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostreu que si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
llavors
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $a\,(b+d)=b\,(a+c) \quad \quad \quad (1)$
Semblantment, si
    $\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $c\,(b+d)=d\,(a+c) \quad \quad \quad (2)$
Dividint membre a membre (1) entre (2) podem escriure
    $\dfrac{a\,(b+d)}{c\,(b+d)}=\dfrac{b\,(a+c)}{d\,(a+c)}$
i, simplificant, arribem a
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
$\square$

Nota:
Semblantment,
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{-a+c}{-b+d}$


Exemple:
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1+2}{2+4}=\dfrac{1-2}{2-4}=\dfrac{-1+2}{-2+4}$
en efecte
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{-1}{-2}$

Ejemplo de estrategias para el cálculo mental. Propiedades de las operaciones básicas

Enunciat:
Dissenyeu una estratègia de càlcul mental per arribar al resultat de la següent operació
    $4,7 \cdot 0,012$

Solució:
    $4,7 \cdot 0,012$
      $=47 \cdot 12 \div 10 \div 1000$
      $=47 \cdot 12 \div 10\,000$
      $=47 \cdot (10+2) \div 10\,000$
      $=\big(470 + 2\,(45+2)\big) \div 10\,000$
      $=\big(470 + 90 + 4\big) \div 10\,000$
      $=564 \div 10\,000$
      $=0,0564$
$\square$

Descuentos proporcionales

Enunciat:
Unes sabates tenen un preu de venda al públic de $40,00\, \text{euros}$. Si a l'hora de pagar ens fan un descompte del $5\,\%$, quant ens costarà ?.

Solució:
Interpretem aquest percentatge de descompte ( $5\,\%$ sobre el preu de venda al públic ):
Suposem un objecte que té un preu de venda al públic de $100$ euros i que, en fer-nos una rebaixa de $5$ euros de cada $100$ en total, costa (cal pagar) $100-5 = 95$ euros. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{95}{100}=\dfrac{x}{40,00}$
( $x$ representa la quantitat a pagar )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{95 \cdot 40,00}{100} = 38,00\,\text{euros}$
$\square$

Ejercicio con porcentajes de impuestos

Enunciat:
El preu nominal ( el preu nominal no inclou l'IVA ) d'un article és de
$50,00 \; \text{euro}$. Quin és el preu de venda al públic ( incorporant-hi l'IVA ) ?.

Solució:
Considerarem que l'IVA és del $21\,\%$ ( abril de 2013 ). Del significat d'aquest percentatge deduïm que si el preu nominal fos de $100$ euros, el preu de venda que li correspon és de $100+21=121$ euros. Llavors, en proporció, i designant el preu de venda al públic per $x$, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques:
    $\dfrac{121}{100}=\dfrac{x}{50,00}$
i resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{50,00\cdot 121}{100}=60,50 \; \text{euros}$
$\square$

Puntos del trazo de una función

Enunciat:
Esbrineu si el punt $P(-1,1)$ es troba damunt del traç ( de la corba ) corresponent a la funció $y=x^2+x+1$

Solució:
Si el punt $P$ forma part de la corba, les seves coordenades han de satisfer l'equació, per tant cal veure si
    $1\overset{?}{=}(-1)^2+(-1)+1 \quad \quad (1)$
en efecte, calculant el valor del segon membre de la suposada igualtat, trobem
    $(-1)^2+(-1)+1=1-1+1=1$
que és igual al valor del primer membre de (1)
i això implica que el punt $P$ forma part de la corba o traç donada per la funció de l'enunciat.
$\square$

Ejercicio de interpretación de gráficos

Enunciat:
En Pere, sortint de casa seva a les les 07:00 h, ha anat a caminar fins el a l'ermita, ha descansat, i ha tornat. A l'anada, ha caminat a una velocitat de cinc quilòmetres per hora, durant quaranta mintus. Després s'ha aturat vint minuts a descansar i, tot seguit, ha caminat en sentit invers fins a casa seva, a una velocitat de tres quilòmetres per hora.
    (a) Quina longitud té el recorregut ?
    (b) A quina hora ha tornat a casa ?
    (c) Dibuixeu el traç de la funció $x=f(t)$ en un diagrama cartesià, representant: els instants de temps, $t$, a l'eix d'abscisses ( eix horitzontal ); i els valors de la distància del punt del recorregut on en Pere es troba en cada moment ( respecte de casa seva ), $x$, a l'eix d'ordenades ( eix vertical ).

Solució:
    (a)
Plantejant una proporció directa entre la longitud de camí recorregut i el temps emprat en fer-la ( expressat en minuts ), podem calcular la distància de casa seva a l'ermita
    $\dfrac{5}{60}=\dfrac{d_{ermita}}{40}$
per tant
    $d_{ermita}=5\cdot \dfrac{40}{60}=3,\bar{3}\,\text{km}$
que és la meitat del recorregut; per tant, el recorregut total té una longitud de
    $2\cdot 3,\bar{3}\,\text{km} \approx 6 \, \text{km} \; \text{i}\; 667\,\text{m}$

    (b)
El temps que ha tardat a la tornada, $t_{tornada}$, es calcula plantejant la proporció directa entre la longitud de camí recorreguda i el temps emprat ( on expressem les quantitats de temps en minuts i les longituds en quilòmetres )
    $\dfrac{60}{3}=\dfrac{t_{tornada}}{3,\bar{3}} \Rightarrow t_{tornada} = \dfrac{60 \cdot 3,\bar{3}}{3} = 66,\bar{6} \, \text{min} \approx 1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
===
Nota:
Com un càlcul alternatiu, i per comprovar que tot surt bé, també podem calcular això plantejant la proporció inversa entre la velocitat i el temps que cal per recorrer una determinada longitud de camí:
    $v_1\,t_1=v_2\,t_2$
és a dir
    $5\cdot 40=3\,t_{tornada} \rightarrow t_{tornada}=40\cdot \dfrac{5}{3}=66,\bar{6}\,\text{min}$
és a dir
    $1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
que, en efecte, és la mateixa quantitat de temps obtinguda plantejant la proporció directa entre la longitud recorreguda i el temps emprat.
===
Llavors, el temps que ha tardat des que ha sortit de casa fins que hi ha tornat s'obté sumant les tres quantitats de temps ( el d'anada, el de descans i el de tornada ):
    $40 \, \text{min} + 20 \, \text{min} + 1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
que és igual a
    $2 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
Per tant, ha tornat a ser a casa a les
    $07:00:00+2:06:40 \rightarrow 09:06:40\;\text{hores}$

    (c)

$\square$

Queremos comprar un libro cuyo precio nominal ...

ENUNCIADO:
Queremos comprar un libro cuyo precio nominal es de $10$ euros. Como estamos en época de rebajas, el libro tiene un descuento del $10\,\%$; sin embargo, el vendedor nos tiene que cargar un impuesto por la operación comercial, que es del $10\,\%$ sobre el precio de venta. ¿ Cuánto deberemos pagar ?

SOLUCIÓN:
Con el descuento nos saldría por $10-10\cdot \dfrac{10}{100}=9$ euros ( precio de venta ); sin embargo, al tener que añadir un $10\,\%$ a esa cantidad, en concepto de impuestos, deberemos pagar $9+9\cdot \dfrac{10}{100}=9,9$ euros, esto es, $9$ euros y $90$ céntimos de euro.
$\square$

Al pedalear, un ciclista hace girar el plato de una bicicleta de $42$ dientes, movimiento que es ...

ENUNCIADO:
Al pedalear, un ciclista hace girar el plato de una bicicleta de $42$ dientes, movimiento que es transmitido a la rueda trasera, en la que se ha seleccionado un piñón de $11$ dientes. El plato da una vuelta cada segundo. Sabiendo que la ruedas de la bicicleta tienen un diámetro de $26$ pulgadas, ¿ cuántos metros recorre la bicicleta cada segundo ?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad inversa entre la velocidad de giro, $w$ y el diámetro, y por tanto el número de dientes, $z$, podemos escribir,
$$11\,w_{\text{trasera}}=42\cdot 1$$
de donde
$$w_{\text{trasera}}=\dfrac{42}{11} \, \text{vueltas/segundo}$$

Como la longitud de la circunferencia ( de la rueda ) es $\pi\,d$ ( siendo $d=26$ pulgadas el diámetro de la rueda ), en $1$ segundo recorrerá $26\cdot \pi \cdot \dfrac{42}{11}$ pulgadas, es decir $26\cdot \pi \cdot \dfrac{42}{11} \cdot 0,0254 \, \text{m} \approx 7,92 \, \text{m}$

Observación:
Contabilizando la frecuencia del pedaleo, el ciclista puede estimar ( haciendo cálculo mental ) la velocidad a la que se está desplazando.

$\square$

Una conducción de agua llena un depósito vacío en $3$ horas. Dicho depósito puede vaciarse mediante un desagüe en $4$ horas ...

ENUNCIADO:

Se nos informa de que una conducción de agua llena un depósito ( en un principio, completamente vacío ) en $3$ horas. Una vez lleno, dicho depósito puede vaciarse mediante un desagüe en $4$ horas.

Consideremos que el contenido del depósito es el $30\,\%$ de su capacidad y, por error, se han dejado abiertas las válvulas de entrada de agua y de vaciado. Se pide:
a) ¿ Podrá llenarse el depósito ?
b) En el caso de que la respuesta anterior haya sido afirmativa, ¿ en cuánto tiempo se llenará el depósito ?

SOLUCIÓN:
(a)
Interpretando la información que se nos da en el enunciado, vemos que en $1$ hora se llena $1/4$ del depósito y, en el mismo tiempo, se vacía $1/3$ parte; así que la fracción de depósito que se llena/vacía es $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}$, que es igual a $\dfrac{1}{12}$ ( cantidad positiva ), luego el depósito se va a llenar ( aún estando abierto el desagüe ).

Nota: de haber sido negativa dicha suma, deberíamos deducir de ello que el depósito nunca se llenaría, pues la cantidad de agua que en ese caso saldría del mismo por unidad de tiempo sería mayor que la que entraría.

(b)
Veamos ahora en cuánto tiempo se llena. Planteando la proporción correspondiente entre la fracción de depósito a llenar ( que es del $100\,\%-30\,\%$=$70\,\%$ ) y el tiempo, $t$, necesario para ello,
$$\dfrac{t}{70/100}=\dfrac{1}{1/12}$$
despejando la incógnita,
$$t=\dfrac{70\cdot 12}{100}$$
y calculando el segundo miembro
$$t=8,4 \,\text{horas}=8\,\text{horas}\,\text{y}\,24\,\text{minutos}$$

$\square$

Ejercicios de proporcionalidad

Un ejercicio sobre el problema del interés simple

ENUNCIADO:
Disponemos de un capital, $C$, de $400$ euros que depositamos al $3\,\%$ ( tasa de interés anual, que denotamos por $i$ ) durante un intervalo de tiempo, $t$, de $40$ días. ¿ Qué interés, $I$, ( beneficio ) se obtendrá al final de este intervalo de tiempo ?.

SOLUCIÓN:
De acuerdo con la proporcionalidad directa que hay entre el beneficio ( o interés ), $I$, y el número de años, $t$, ( que puede ser una cantidad fraccionaria de años ), podemos establecer la siguiente proporción directa:
$$\dfrac{I}{t}=\dfrac{C\,i}{1}$$
despejando $I$
$$I=C\,i\,t$$
que, con los datos del problema, queda
$$I=400 \cdot \dfrac{3}{100} \cdot \dfrac{40}{360}$$
esto es
$$I \approx 1,33 \, \text{euros}$$

NOTA:
En las operaciones comerciales, el año comercial es de $360$ días ( por convenio ).

$\square$

¿Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad?

ENUNCIADO:
¿ Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad ?.

SOLUCIÓN:
Denotando por $c$ dicha cantidad, la parte correspondiente al $40\,\%$ de la misma es $\dfrac{40}{100}\,c$, esto es $\dfrac{2}{5}\,c$.

Entonces, el $20\,\%$ -- que es lo mismo que $\dfrac{1}{5}$ -- de la cantidad parcial calculada es $\dfrac{20}{100} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right)$ es igual a
$$\dfrac{1}{5} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right) $$
es decir
$$\dfrac{2}{25}\,c$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{8}{100}\,c$$

y, por tanto, el tanto por ciento pedido es del $8\,\%$

OBSERVACIÓN:
Con ello vemos que basta con expresar los tantos por ciento en tantos por uno y multiplicar ambos para obtener el tanto por uno resultante:
$$0,4 \cdot 0,2 = 0,08$$
para, a continuación, expresar dicho tanto por uno resultante en tanto por ciento
$$0,08 = \dfrac{8}{100} = 8\,\%$$

Así, si se tratara de calcular el tanto por ciento resultante de una cadena de más de dos tantos por ciento sucesivos de una cierta cantidad, pongamos por ejemplo que el $10\,\%$ del $20\,\%$ del $50\,\%$, el tanto por ciento equivalente seria: $0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,50 = 0,02 \cdot 0,50 = 0,10 $ ( en tanto por uno ), luego expresándolo en tanto por cien, esto representa el $10\,\%$.

$\square$

Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

ENUNCIADO:
Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

SOLUCIÓN:
Con el descuento del $4\,\%$, calcularemos primero la cantidad a pagar, $x$, por el artículo ( sin cargar aún el impuesto ). Planteando la proporción directa
$$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{15}$$
obtenemos $x=\dfrac{96\cdot 15}{100}$, esto es, $x=14,40$ euros.

Ahora, cargamos el impuesto a esa cantidad que acabamos de calcular, para obtener la cantidad de dinero a pagar ( que denotaremos por $y$ ) por la adquisición del artículo:
$$\dfrac{100+15}{100}=\dfrac{y}{14,40}$$
despejando $y$, obtenemos
$$y=\dfrac{115\cdot 14,40}{100}$$
y haciendo las operaciones del segundo miembro,
$$y=16,56 \, \text{euros}$$

COMENTARIO:
También podemos llegar al mismo resultado cambiando el orden de los dos pasos que hemos seguido, pues no depende de ello el resultado de ello; es decir, si calculáramos primero la cantidad a pagar por el impuesto y, sobre dicho resultado parcial, obtuviéramos el descuento, llegaríamos también a la solución.

$\square$

En unas rebajas, todos los productos están rebajados en un $5\,\%$. Hemos comprado un libro por el que hemos tenido que pagar $10$ euros. ¿Cuánto hubiésemos tenido que pagar antes de las rebajas?

ENUNCIADO:
En unas rebajas, todos los productos están rebajados en un $5\,\%$. Hemos comprado un libro por el que hemos tenido que pagar $10$ euros. ¿Cuánto hubiésemos tenido que pagar antes de las rebajas?

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que hay una proporción directa entre la cantidad a pagar ( que denotamos por $Y$ ) y el precio del libro ( que denotamos por $X$ ), podemos plantear la siguiente proporción
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
y con los datos del problema
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{10}{x}$$
esto es
$$\dfrac{100}{95}=\dfrac{x}{10}$$
despejando $x$,
$$x=\dfrac{100 \cdot 10}{95}$$
y haciendo los cálculos del segundo miembro obtenemos
$$x \approx 10,53 \, \text{euros}$$
$\square$

Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar un impuesto, con lo cual hemos tenido que pagar $22,50$ euros. ¿ Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base ?

ENUNCIADO:
Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar, además, un impuesto por dicha operación comercial, con lo cual la cantidad total a pagar ha sido de $22,50$ euros. ¿Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad directa entre el valor a pagar por el impuesto y el valor de base del artículo, denotando por $t$ al tanto por ciento pedido ( porcentaje del impuesto ), podemos escribir la siguiente proporción
$$\dfrac{100+t}{100}=\dfrac{22,50}{20}$$
de donde podemos despejar $t$,
$$t=\dfrac{22,50\cdot 100}{20}-100$$
y, haciendo los cálculos del segundo miembro, obtenemos
$$t=12,5\,\%$$
$\square$

Considérese una cierta cantidad. Descontamos un $10\,\%$ de la misma, y la cantidad resultante, la aumentamos un $10\,\%$. ¿Cuál es el porcentaje de variación global?

ENUNCIADO:
Considérese una cierta cantidad. Descontamos un $10\,\%$ de la misma, y la cantidad resultante, la aumentamos un $10\,\%$. ¿Cuál es el porcentaje de variación global?

SOLUCIÓN:
Al descontar un $10\,\%$ de dicha cantidad, nos quedamos con un $(100-10)\,\%=90\,\%$ de la misma, y al aumentar un $10\,\%$ este resultado parcial, obtenemos un $\dfrac{100+10}{100}\cdot \dfrac{90}{100} \,\%$ de la cantidad inicial, esto es, el $99\,\%$. Por lo tanto, el porcentaje de de variación global es de $(100-99) \, \%$, es decir, del $1\,\%$
$\square$

Proporcionalidad inversa y transmisión del movimiento ciercular entre dos ruedas por medio de una correa

ENUNCIADO:
Una correa transmite el movimiento circular de una rueda de $12\,\text{cm}$ radio, que gira a razón de $20$ vueltas por minuto, a otra rueda que tiene $5\,\text{cm}$ de radio. ¿Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda?

SOLUCIÓN:
Denotemos por $Y$ la magnitud velocidad de giro, y por $X$ la magnitud radio de la rueda. Sabemos que existe una relación de proporcionalidad inversa entre ambas magnitdues. Por lo tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$
esto es
$$y_1 \,x_1=y_2 \,x_2$$
Así,
$$20 \cdot 12=5\,y_2 $$
y despejando $y_2$,
$$y_2=\dfrac{20 \cdot 12}{5}=48 \, \text{vueltas por minuto}$$
$\square$

Proporciones inversas y palancas

ENUNCIADO:
Sea una palanca de primer género. Se sabe que la magnitud distancia del punto de aplicación de la fuerza al fulcro es inversamente proporcional a dicho peso. Consideremos que la barra ( palanca ) tiene una longitud de $1\,\text{m}$ y que, para elevar un peso de $200\,\text{N}$, colocamos el fulcro a $0,20\,\text{m}$ del peso. ¿Qué fuerza deberemos realizar en el otro extremo de la barra?

SOLUCIÓN:

Sea $F$ la magnitud fuerza y $X$ la magnitud distancia al fulcro de la posición de la fuerza. Entonces, $$\dfrac{f_1}{1/x_1}=\dfrac{f_2}{1/x_2}$$ por ser inversa dicha relación de proporcionalidad, esto es
$$f_1 \,x_1=f_2 \,x_2$$
Así,
$$200 \cdot 0'20=(1-0'2)\,f_2$$
y despejando $f_2$,
$$f_2=\dfrac{40}{0'8}=50 \, \text{N}$$

$\square$

Reparto inversamente proporcional

Reparto directamente proporcional

Llenando un depósito con dos conducciones

En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas ?

Enunciado:
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?

Solución:

$\square$

Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule: a) $\measuredangle A+\measuredangle B$ b) $\measuredangle A-\measuredangle B$ c) $3\,(\measuredangle B)$ d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$

Enunciado:
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule:
a) $\measuredangle A+\measuredangle B$
b) $\measuredangle A-\measuredangle B$
c) $3\,(\measuredangle B)$
d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$

Soluciones:
a)
$\measuredangle A+\measuredangle B=26º \;21'\; 25''$

Operaciones:

b)
$\measuredangle A-\measuredangle B=14º \;39'\; 55''$

Operaciones:

c)
$3\,(\measuredangle B)=17º \; 32'\;15''$

Operaciones:

d)
$\dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)=1º \; 56' \; 55''$

Operaciones:

$\square$

Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes: $$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$ a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras b) ¿Cuál es el valor de la moda? Razónese c) ¿Cuál es el valor de la mediana? Razónese d) Calcule la media aritmética e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$

Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes:
$$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$
  a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
  b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? Razónese
  c) ¿ Cuál es el valor de la mediana ? Razónese
  d) Calcule la media aritmética
  e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$


Solución:

$\square$

Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide ...

Enunciado:
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide:
  a) Dibuje la figura y anote en ella los datos del enunciado
  b) Calcule el perímetro
  c) Calcule el área

Solución:

Resuelva las siguientes ecuaciones

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

  a) $x-1=3\,(1-x)$

  b) $x^2+2\,x+1=0$

  c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
  d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$

Solución:

$\square$

Operaciones combinadas ...

Enunciado:
1. Calcule el número entero resultante:
  a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$

2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
  b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
  c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
  d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$

Solución:

$\square$

poliedro convexo

[nota del autor]

poliedro no convexo

[nota del autor]

Ángulos poliedros

[nota del autor]

Cálculo del área de un polígono con la ayuda de una cuadrícula

Queremos calcular el área del polígono cóncavo representado en la figura (pintado de color rosa e indicado con el número 4).

Obsérvese que   Área del marco rectangular$=A_1+A_2+A_3+A_4$

Es fácil calcular las siguientes áreas ( en número de cuadrados de la cuadrícula ):

Área del marco rectangular $=5\cdot 3$= 15 cuadrados

$A_1=\dfrac{5\cdot 1}{2}=2,5$ cuadrados

$A_2=\dfrac{3 \cdot 1}{2} = 1,5$ cuadrados

$A_3=\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cuadrados

Finalmente, tan sólo queda un paso para encontrar el área del polígono convexo, $A_4$:

$A_4=$Área del marco rectangular $-(A_1+A_2+A_3)=15-(2,5+1,5+6)=5$ cuadrados.

$\square$

[nota del autor]

Representación de poliedros

En el escrito anterior hablaba del teorema de Euler, válido para los poliedros convexos, que son los que no tienen entradas. Tenemos un herramienta valiosa para investigar las relaciones de los poliedros: un grafo planar que llamamos diagrama de Schlegel. Todo poliedro convexo podemos representar por un grafo planar, resultado de imaginar el poliedro proyectado sobre un plano, haciendo distinción de todas sus aristas y vértices. Pues bien, un grafo planar cumple que v-a + c = 1 (donde, ahora, v representa un punto donde van a parar varias aristas y, por cara, entendemos el espacio de plano cerrado por dos aristas las que no hay que las dibujamos paso rectilíneas. De hecho, si contamos la cara exterior como una cara más, podemos expresarlo tal como el teorema de Euler, v-a + c = 2. La figura muestra los grafos correspondientes al tetraedro (v = 4, a = 6, c = 3) y al ocatedre (c = 8, v = 9, a = 16). Observamos que, efectivamente, se cumple el resultado que comento: 4-6 +3 = 1, y 9 -16 +8 = 1), de la misma manera que se cumple en todos los grafos planares. Todo esto tiene interesantes aplicaciones, como el diseño y análisis de circuitos eléctricos, análisis de la estructura molecular.

[nota del autor]

Recuento del número de vértices, aristas y caras de un dodecaedro, de un icosaedro y de un icosaedro truncado

DODECAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un dodecaedro. Sabemos que tiene 12 caras pentagonales. Razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara pentagonal tiene 5 vértices, partimos, de entrada de 5x12 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértices del dodecaedro es compartido por 3 caras pentagonales, por tanto, en realidad hay 60 div 3 = 20 vértices.

Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada pentágono tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 12 x 5 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez, como cada arista está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 =30 aristas.

Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Veamos que es así: 20-30 +12 = 2

ICOSAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un icosaedro. Sabemos que tiene 20 caras triangulares. Como antes, razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara triangular tiene 3 vértices, partimos, de entrada de 3x20 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértice del icosaedro es compartido por 5 caras pentagonales, por tanto, un icosaedro tiene 60 div 5 = 12 vértices.

Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada triángulo tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 20 x 3 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez: como cada una de estas aristas está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 = 30 aristas.

Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Vamos a comprobarlo: 12-30 +20 = 2

ICOSAEDRO TRUNCADO

Podemos obtener este poliedro -- algunos balones de fútbol con piezas de cuero cosidas se construyen así -- truncando un icosaedro regular tal como indica la figura de abajo.

Acabamos de ver que el número de vértices de un icosaedro es igual a 12. Cuando el descabezado convertimos cada uno de estos vértices en cinco; por tanto, un icosaedro truncado tiene 12x5 = 60 vértices.

En cuanto al número de caras, observamos atentamente la figura de la izquierda que muestra el número de elementos que aparecen cuando el descabezado: encontramos que cada una de las 12 vértices del icosaedro, al ser descabezado, da una cara pentagonal y, en cada una de las 20 caras del icosaedro, acaba quedando un hexágono, por tanto, tendremos 12 +20 = 32 caras para el icosaedro truncado.

Fijémonos ahora con el número de aristas: aparecen cinco aristas para cada vértice del icosaedro (color verde), que hacen un total de 12x5 = 60 aristas de color verde; además, hay que tener en cuenta las tres 3 aristas por cada cara hexagonal (de color rosa), pero como cada una de estas es compartida por dos caras, hay que considerar 20x3 / 2 = 30 aristas de color rosa. El total de aristas del icosaedro truncado es pues de 60 +30 = 90.

Como un icosaedro truncado es un poliedro convexo, se deberá cumplir el teorema de Euler (v-a + c = 2). En efecto (v = 60, a = 90, c = 32): 60-90 +32 = 2.

[nota del autor]

¿ Cuántos poliedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.

Enunciado:
¿ Cuántos políedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.

Solución:
Hay cinco políedros regulares, los cuales son todos convexos, y son los siguientes:
1. Tetraedro: consta de 4 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 4 vértices, y 6 aristas
2. Hexaedro ( cubo ): consta de 6 caras ( las cuales son cuadrados); 8 vértices, y 12 aristas
3. Octaedro: consta de 8 caras ( las cuales son triángulos equiláteros); 6 vértices, y 8 aristas
4. Dodecaedro: consta de 12 caras ( las cuales son pentágonos regulares); 20 vértices, y 30 aristas
5. Icosaedro: consta de 20 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 12 vértices, y 30 aristas

$\square$

[nota del autor]

La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide ....

Enunciado:
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide:
  a) el volumen del cono
  b) el área lateral
  c) el ángulo del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral

Solución:
a)
$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,a$, siendo $a$ la altura del cono. Como la altura, un radio de la circunferencia de la base y la generatriz correspondiente forman un triángulo rectángulo podemos obtener el valor de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras: $a^2+r^2=g^2$, esto es, $a^2+9^2=41^2 \Rightarrow a^2=41^2-9^2=1600$, y, por tanto, $a=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Entonces, de la fórmula del volumen, $V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9^2\cdot 40=1080\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 2393 \, \text{dm}^3$

b)
$A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 41 \cdot 9 = 369\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 1159\,\text{dm}^2$

c)
$\alpha = 360º \cdot \dfrac{r}{g}=\dfrac{360 \cdot 9}{41}º \approx 79º$

$\square$

[nota del autor]

El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide ...

Enunciado:
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide:
  a) la capacidad, en litros, de dicho depósito
  b) el área lateral del depósito

Solución:
a)
Calculemos, primero, el volumen del depósito ( despreciando el volumen de las paredes y el grosor de la base): $V=\pi\,r^2\,a$, siendo $r$ el radio de la base y $a$ la altura; entonces,
$V=\pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 18 \, \pi \, \text{m}^3$. Teniendo en cuenta, ahora, la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen: $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$, y, por tanto, $1\,\text{m^3}=1000 \, \text{L}$, la capacidad de dicho depósito es $18000\,\pi \, \text{L} \approx 56549 \, \text{L}$

b)
El área lateral del depósito ( área de la superficie lateral del desarrollo plano del cilindro ) es igual $2\,\pi\,r\,a$, por tratarse de un rectángulo de lados $a$ y $2\,\pi\,r$ ( pues tiene que enrollarse alrededor de la circunferencia de la base, que es de radio $r$ ), luego es igual a $2\,\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\,\pi \,\text{m}^2 \approx 38 \, \text{m}^2$

$\square$

[nota del autor]

Dibuje los siguientes cuerpos geométricos: a) un prisma recto de base rectangular b) un cilindro c) un cono d) una pirámide recta de base cuadrada

Enunciado:
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos:
a) un prisma recto de base rectangular
b) un cilindro
c) un cono
d) una pirámide recta de base cuadrada

Solución:

[nota del autor]

Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.

Enunciado:
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.

Solución:
Fórmula de Euler ( para políedros convexos ): $v-a+c=2$, siendo $v$ el número de vértices; $a$, el número de aristas, y $c$ el número de caras. Entonces, en nuestro caso: $5-a+5=2$, de donde, despejando $a$, obtenemos $a=8$ ( se trata de una pirámide cuya base es un cuadrilátero ).

$\square$

[nota del autor]

Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$

Enunciado:
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$

Nota:   La figura es sólo un esquema ( no está hecha a escala ).

Solución:

$\square$

[nota del autor]

El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule ...

Enunciado:
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule:
  a) El radio de la circunferencia circunscrita al hexágono
  b) El área del círculo
  c) El área del hexágono inscrito en la circunferencia
  d) El área de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono
  e) El área de la región coloreada azul
  f) El área de la región coloreada en verde
  g) El área de la región coloreada en rojo

Nota:   La figura no está realizada a escala; es, simplemente, un esquema.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$

Enunciado:
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$

Nota:   Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$

Enunciado:
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$

Nota:   Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean las siguientes medidas de ángulos $\alpha = 10º \, 2'\, 5''$ $\beta = 4º \, 42'\, 58''$. Calcular ...

Enunciado:
Sean las siguientes medidas de ángulos
  $\alpha = 10º \, 2'\, 5''$
  $\beta = 4º \, 42'\, 58''$
Calcular:
  a) $\alpha + \beta$
  b) $\alpha - \beta$
  c) $12 \,\alpha$
  d) $\dfrac{1}{6} \,\alpha$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.

Enunciado:
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.

Nota:   La figura es tan solo un esquema, no está hecha a escala.

Solución:
Teniendo en cuenta que los dos triángulos que se forman son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, luego $\dfrac{12}{1,5}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=8 \,\text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?

Enunciado:
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?

Solución:
Planteando la correspondiente proporción directa: $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60} \Rightarrow x=60 \cdot \dfrac{100}{6}=\dfrac{60 \cdot 100}{6}=\dfrac{60}{6}\cdot 100 = 10 \cdot 100 = 1000$


$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$

Enunciado:
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$

Solución:
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14} \Rightarrow x = 14 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{14 \cdot 3}{7} = \dfrac{14}{7} \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$

$\square$

[nota del autor]

Un cierto artículo que se pone a la venta en unos grandes almacenes ...

Enunciado:
Un cierto artículo que se pone a la venta en unos grandes almacenes tiene un precio de referencia de $100$ euros y, en época de rebajas, se ofrece rebajado en un $8\,\%$. Decidimos comprarlo y, al pasar por caja, nos hacen otro descuento por la promoción especial de dicho artículo, que es de un $2\,\%$ sobre la cantidad que resulta de aplicar el primer descuento. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento efectivo sobre el precio de referencia?

Resolución:
Descontando el $8\,\%$ de $100$ euros, debemos pagar $100-8=92$ euros. Ahora bien, de esa cantidad habrá que descontar la segunda rebaja, que es del $2\,\%$, luego si denotamos por $x$ la cantidad a pagar, planteando la proporción directa correspondiente y resolviéndola, tenemos que $\dfrac{100-2}{100}=\dfrac{x}{92}$, de donde $x=\dfrac{92\cdot 98}{100}=90,16$ euros.

$\square$

[nota del autor]

¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?

Enunciado:
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?

Resolución:
Denotemos por $t$ al tanto por ciento pedido, entonces $\dfrac{t}{100}=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{10}{100}$, de donde despejando $t$ obtenemos $t=\dfrac{2}{10}=\dfrac{0,2}{100}$, es decir, $t=0,2\,\%$

[nota del autor]

El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?

Enunciado:
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?

Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida; entonces, planteando la proporción directa $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60}$, de donde obtenemos $x=\dfrac{60\cdot 100}{6}=1000$
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado: $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&2 \\ x &+&y&=&0 \\ \end{matrix}\right.$$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado:
$$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
x &+&y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

Resolución:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones llegamos a $2\,x=2$, que es una ecuación equivalente a cada una de las dos ecuaciones originales, y, de ésta, deducimos que $x=1$. Sustituyendo, ahora, este resultado en ( por ejemplo ) la segunda ecuación, obtenemos el otro resultado, $y=-1$.

[nota del autor]

Resolver $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$

Enunciado:
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$

Resolución:
  $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$

    $30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$     ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )

      $\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$

        $6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$

          $6\,x+9=2-2\,x-x-3$

            $6\,x+2\,x+x=2-3-9$

              $9\,x=-10$

                $x=-\dfrac{10}{9}$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente proporción: $\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$

Enunciado:
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$

Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$

Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
  $\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
    $2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
      $2\cdot 2=1 \cdot x$
        $4=x$
          es decir, $x=4$


$\blacksquare$

[nota del autor]

Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.

Enunciado:
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.

a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]

b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos cinco puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos cuatro puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.

Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$

Enunciado:
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$

Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )

Solución:

apartados: a), f) y g)

apartados: b) y c)

apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )

apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).

apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$

$\square$

[nota del autor]