ENUNCIADO. Ejercicio 19 de la página 151 del libro base ( Unidad Didáctica 7 )
Tres desagües vacían un estanque en 10 horas. ¿ En cuánto tiempo se vaciaría con cuatro desagües ?.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El tiempo de vaciado es inversamente proporcional al número de desagües. Denotempos por $x$ al tiempo pedido, entonces $$\dfrac{x}{1/4}=\dfrac{10}{1/3}$$ y por tanto $$4\,x=10\cdot 3$$ con lo cual $$x=\dfrac{30}{4}\, \text{h} = 7,5\,\text{h}=7\,\text{h}\,\text{y}\,30\,\text{min}$$
$\square$
domingo, 24 de mayo de 2020
sábado, 23 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas de aritmética con ayuda del álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 76 de la página 140 del libro base ( Unidad Didáctica 6 )
Una trabajadora gana 3 euros más por hora que otra. Si la primera gana en 12 horas un total de 9 euros menos que la segunda en 22 horas, ¿ cuánto gana por hora cada una ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ingreso ( en euros ) por hora de la primera trabajadora, y por $y$ el ingreso ( en euros ) por hora de la segunda trabajadora. Según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x=y+3 \\ 22y-12x=9 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión del segundo miembro de la primera ecuación en el término donde figura $x$ en la{} segunda, llegamos a $$22\,y-12\,(y+3)=9$$ que resolvemos fácilmente $$22y-12y=36+9$$ $$10\,y=45$$ luego $$y=45/10=4,5\,\text{euro}/\text{h}=4\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$ por tanto, su compañera percibe $$3+4,5=7,5\,\text{euros}/\text{hora}=7\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$
$\square$
Una trabajadora gana 3 euros más por hora que otra. Si la primera gana en 12 horas un total de 9 euros menos que la segunda en 22 horas, ¿ cuánto gana por hora cada una ?
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ingreso ( en euros ) por hora de la primera trabajadora, y por $y$ el ingreso ( en euros ) por hora de la segunda trabajadora. Según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x=y+3 \\ 22y-12x=9 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión del segundo miembro de la primera ecuación en el término donde figura $x$ en la{} segunda, llegamos a $$22\,y-12\,(y+3)=9$$ que resolvemos fácilmente $$22y-12y=36+9$$ $$10\,y=45$$ luego $$y=45/10=4,5\,\text{euro}/\text{h}=4\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$ por tanto, su compañera percibe $$3+4,5=7,5\,\text{euros}/\text{hora}=7\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$
$\square$
Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Ecuaciones. Resolución de problemas aritméticos con ayuda del álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 113 de la página 117 del libro base ( Unidad Didáctica 5 )
Tenemos un depósito de bebida con un 5% de zumo natural. ¿ Qué cantidad de bebida con un 12% de zumo natural debemos añadir para obtener 140 litros de bebida con un 8% de zumo natural ?
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotempos por $x$ a la cantidad de bebida pedida (que tenemos que añadir). Según la información del enunciado, podemos plantear la siguiente ecuación, describiendo la cantidad de zumo natural en cada uno de los dos miembros de la igualdad: $$\dfrac{12}{100}\,x+\dfrac{5}{100}\cdot (140-x)=\dfrac{8}{100}\cdot 140$$ esto es $$12\,x+5\,(140-x)=140\cdot 8$$ $$12x+700-5x=1120$$ $$7x=1120-700$$ $$7\,x=420$$ $$x=420/7=60$$ En conclusión: tenemos que añadir 60 litros de bebida con un 12% de zumo natural. $\square$
Tenemos un depósito de bebida con un 5% de zumo natural. ¿ Qué cantidad de bebida con un 12% de zumo natural debemos añadir para obtener 140 litros de bebida con un 8% de zumo natural ?
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SOLUCIÓN. Denotempos por $x$ a la cantidad de bebida pedida (que tenemos que añadir). Según la información del enunciado, podemos plantear la siguiente ecuación, describiendo la cantidad de zumo natural en cada uno de los dos miembros de la igualdad: $$\dfrac{12}{100}\,x+\dfrac{5}{100}\cdot (140-x)=\dfrac{8}{100}\cdot 140$$ esto es $$12\,x+5\,(140-x)=140\cdot 8$$ $$12x+700-5x=1120$$ $$7x=1120-700$$ $$7\,x=420$$ $$x=420/7=60$$ En conclusión: tenemos que añadir 60 litros de bebida con un 12% de zumo natural. $\square$
Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Operaciones con polinomios
ENUNCIADO. Ejercicio 104 ( apartado c ) de la página 94 del libro base ( Unidad Didáctica 4 )
Calcula y simplifica:
$$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$$
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SOLUCIÓN.
$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)=$
$=-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x\right)\cdot \left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\,x\right) -\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\,x\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left( \left( \dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2 +2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\,x^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{7}{4}\,x^2-\dfrac{15}{4}$
Calcula y simplifica:
$$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)=$
$=-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x\right)\cdot \left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\,x\right) -\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\,x\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left( \left( \dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2 +2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\,x^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{7}{4}\,x^2-\dfrac{15}{4}$
Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Potencias. Múltiplos y submúltiplos del Sistema Métrico Decimal
ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 70 del libro base ( Unidad Didáctica 3 ) - ligeramente modificado -
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )
AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
$= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$
b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
$=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )
AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
$= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$
b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
$=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $
Ejercicio 2 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Operaciones con números decimales. Álgebra.
ENUNCIADO. Ejercicio 106 de la página 46 del libro base ( Unidad didáctica 2 ) - ligeramente modificado -
El agua corriente que llega a una casa cuesta 1,749 euros cada metro cúbico consumido. En el servicio se añaden la cuota fija del servicio, que es de 4,75 euros, y el 10% de IVA. Si se han pagado 25 euros en total, calcula:
a) El importe de la factura sin IVA
b) cuántos litros de agua se han consumido
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $y$ el importe de la factura, entonces $\dfrac{100-10}{100}\cdot y=25 \Rightarrow y=25/0,9\approx 27,78\,\text{euros}$
b) Denotemos por $x$ a la cantidad de agua consumida, entonces $$25=(1,749\,x+4,75)\cdot \dfrac{100+10}{100}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{25/1,10-4,75}{1,749}\approx 10,279\,\text{m}^3=10\,729\,\text{dm}^3 \rightarrow 10\,729\,\text{L}$$
El agua corriente que llega a una casa cuesta 1,749 euros cada metro cúbico consumido. En el servicio se añaden la cuota fija del servicio, que es de 4,75 euros, y el 10% de IVA. Si se han pagado 25 euros en total, calcula:
a) El importe de la factura sin IVA
b) cuántos litros de agua se han consumido
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $y$ el importe de la factura, entonces $\dfrac{100-10}{100}\cdot y=25 \Rightarrow y=25/0,9\approx 27,78\,\text{euros}$
b) Denotemos por $x$ a la cantidad de agua consumida, entonces $$25=(1,749\,x+4,75)\cdot \dfrac{100+10}{100}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{25/1,10-4,75}{1,749}\approx 10,279\,\text{m}^3=10\,729\,\text{dm}^3 \rightarrow 10\,729\,\text{L}$$
Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides
ENUNCIADO. Ejercicio 126 ( apartado c ) de la página 23 del libro base ( Unidad Didáctica 1 ) - ligeramente modificado -
Lee atentamente la explicación que se da en el enunciado como ayuda y aplica el algoritmo de Euclides para calcular:
c) m.c.d.({3260,542})
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$3260 =542\cdot 6 +8 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(542,8)$
$542 =8\cdot 67 +6 \Rightarrow \text{m.c.d}(542,8)=\text{m.c.d}(8,6)$
$8 =1\cdot 6 +2 \Rightarrow \text{m.c.d}(8,6)=\text{m.c.d}(6,2)$
$6 =2\cdot 3 +0 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(6,2)=2$
Lee atentamente la explicación que se da en el enunciado como ayuda y aplica el algoritmo de Euclides para calcular:
c) m.c.d.({3260,542})
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$3260 =542\cdot 6 +8 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(542,8)$
$542 =8\cdot 67 +6 \Rightarrow \text{m.c.d}(542,8)=\text{m.c.d}(8,6)$
$8 =1\cdot 6 +2 \Rightarrow \text{m.c.d}(8,6)=\text{m.c.d}(6,2)$
$6 =2\cdot 3 +0 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(6,2)=2$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números enteros. Subiendo y bajando ...
ENUNCIADO. José tiene que repartir unos encargos. Se encuentra en la planta baja de un edificio. Se monta en el ascensor y sube seis plantas, y luego baja cuatro; a continuación, sube dos y termina el reparto. En qué planta se encuentra al finalizar el reparto. ¿ Cuántas plantas tiene que bajar desde la planta en la que se encuentra al acabar para ir a buscar su furgoneta, que está en la planta del aparcamiento del edificio ?
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SOLUCIÓN.
Al acabar el reparto, se encuentra en la planta dada por el resultado del siguiente cálculo, $0+6-4+2$; se encuentra pues en la cuarta planta. A continuación, como la furgoneta está en la planta del aparcamiento $-1$ ( la planta baja es la planta $0$ ), tendrá que bajar $4-(-1)=4+1=5$ plantas hasta llegar al aparcamiento. $\square$
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SOLUCIÓN.
Al acabar el reparto, se encuentra en la planta dada por el resultado del siguiente cálculo, $0+6-4+2$; se encuentra pues en la cuarta planta. A continuación, como la furgoneta está en la planta del aparcamiento $-1$ ( la planta baja es la planta $0$ ), tendrá que bajar $4-(-1)=4+1=5$ plantas hasta llegar al aparcamiento. $\square$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Cuadriláteros. Área. Perímetro.
ENUNCIADO. Una parcela tiene forma de trapecio equilátero. La distancia perpendicular entre los dos lados paralelos es 8 metros, y los lados paralelos miden 10 metros y 14 metros, respectivamente. Calcula el perímetro y el área de dicha parcela.
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SOLUCIÓN. Al dibujar la figura vemos que ésta se descompone en dos triángulos rectángulos y un rectángulo. La longitud de sendos lados oblicuos es igual a ( aplicando el teorema de Pitágoras): $$|\sqrt{8^2+\left((14-10)/2\right)^2}|=|\sqrt{64+4}|=|\sqrt{68}|\,\text{m} \approx 8,2\, \text{m}$$ luego el perímetro de dicho trapecio es igual a $$2\,|\sqrt{68}|+10+14=24+2\,|\sqrt{68}|\approx 32,2\,\text{m}$$
Por otra parte, el área de dicho trapecio es igual a la suma del área de las áreas del rectángulo y los dos triángulos rectángulos iguales en los que éste se descompone, esto es: $$12\cdot 8 + 2\cdot \dfrac{8\cdot (14-10)/2}{2}=112\,\text{m}^2$$
$\square$
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SOLUCIÓN. Al dibujar la figura vemos que ésta se descompone en dos triángulos rectángulos y un rectángulo. La longitud de sendos lados oblicuos es igual a ( aplicando el teorema de Pitágoras): $$|\sqrt{8^2+\left((14-10)/2\right)^2}|=|\sqrt{64+4}|=|\sqrt{68}|\,\text{m} \approx 8,2\, \text{m}$$ luego el perímetro de dicho trapecio es igual a $$2\,|\sqrt{68}|+10+14=24+2\,|\sqrt{68}|\approx 32,2\,\text{m}$$
Por otra parte, el área de dicho trapecio es igual a la suma del área de las áreas del rectángulo y los dos triángulos rectángulos iguales en los que éste se descompone, esto es: $$12\cdot 8 + 2\cdot \dfrac{8\cdot (14-10)/2}{2}=112\,\text{m}^2$$
$\square$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Reparto proporcional.
ENUNCIADO. Dos compañeras quieren repartirse un beneficio de 940 euros de forma directamente proporcional a la dedicación que ha tenido cada una, que ha sido de 3 horas y de 7 horas de trabajo, respectivamente. ¿ Cuánto les corresponde de cada una ?. Haz la comprobación.
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SOLUCIÓN. La cantidad de beneficio por hora trabajada es igual a $940/(3+7)=94\,\text{euro}/\text{h}$ ( constante de proporcionalidad), luego a la compañera que ha dedicado $3$ horas le corresponden $3\cdot 94=282$ euros, y a la compañera que ha dedicado $7$ horas le corresponden $7\cdot 94=658$ euros.
Nota: Observemos que la suma de las cantidades que perciben una y otra es igual a la cantidad total y que a la persona que ha dedicado una mayor aportación al trabajo colectivo le corresponde la mayor parte del beneficio, como debe ser.
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SOLUCIÓN. La cantidad de beneficio por hora trabajada es igual a $940/(3+7)=94\,\text{euro}/\text{h}$ ( constante de proporcionalidad), luego a la compañera que ha dedicado $3$ horas le corresponden $3\cdot 94=282$ euros, y a la compañera que ha dedicado $7$ horas le corresponden $7\cdot 94=658$ euros.
Nota: Observemos que la suma de las cantidades que perciben una y otra es igual a la cantidad total y que a la persona que ha dedicado una mayor aportación al trabajo colectivo le corresponde la mayor parte del beneficio, como debe ser.
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - El teorema de la división entera
ENUNCIADO. Por favor, corrige la siguiente afirmación, pues en ella hay algo incorrecto: "Al realizar la división entera entre 1045 y 89, obtenemos 11 como cociente y 65 como resto"
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La afirmación no es correcta, pues a pesar de que el resto, $65$ es menor que el divisor ( que es $89$ ) no se el segundo requerimiento del Teorema de la División: $1045 \neq 89\cdot 11+65=1044$. La afirmación correcta ha de ser: "Al realizar la división entera entre 1045 y 89, obtenemos 11 como cociente y 66 como resto", ya que en tal caso sí se cumple: $1045 = 89\cdot 11+66$, y el resto=$66$ es menor que el divisor ( que es $89$ )
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SOLUCIÓN. La afirmación no es correcta, pues a pesar de que el resto, $65$ es menor que el divisor ( que es $89$ ) no se el segundo requerimiento del Teorema de la División: $1045 \neq 89\cdot 11+65=1044$. La afirmación correcta ha de ser: "Al realizar la división entera entre 1045 y 89, obtenemos 11 como cociente y 66 como resto", ya que en tal caso sí se cumple: $1045 = 89\cdot 11+66$, y el resto=$66$ es menor que el divisor ( que es $89$ )
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - El lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Escribe en el lenguaje algebraico: "El doble del cuadrado de la diferencia ente dos números"
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, entonces la oración del enunciado se transcribe al lenguaje del álgebra mediante la siguiente expresión: $$2\,(x-y)^2$$ o lo que es lo mismo $$2\,(y-x)^2$$
puesto que $x-y$ e $y-x$ se diferencian solamente en un signo menos, por lo que al elevar ambas diferencias al cuadrado se obtiene el mismo resultado.
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, entonces la oración del enunciado se transcribe al lenguaje del álgebra mediante la siguiente expresión: $$2\,(x-y)^2$$ o lo que es lo mismo $$2\,(y-x)^2$$
puesto que $x-y$ e $y-x$ se diferencian solamente en un signo menos, por lo que al elevar ambas diferencias al cuadrado se obtiene el mismo resultado.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Opuesto de un número. Valor absoluto de un número.
ENUNCIADO. Explica la diferencia entre el opuesto de un número y el valor absoluto del mismo. Pon algunos ejemplos
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SOLUCIÓN.
El opuesto de un número $x$, que denotamos por $\text{opuesto}(x)$, es el número que al sumarlo al número dado, $x$, se obtiene como resultado el neutro de la suma, esto es $0$: $x+\text{opuesto}(x)=0$, luego $\text{opuesto}(x)=0+(-x)=-x$; así, por ejemplo, $\text{opuesto}(2)=-2$, puesto que $2+(-2)=0$ y $\text{opuesto}(-2)=2$, por la misma razón.
El valor absoluto de un número $x$, que denotamos por $|x|$, se define de la siguiente manera: es el propio $x$ en el caso de que $x$ sea mayor o igual que $0$, y es igual a $-x$ ( esto es, el opuesto de $x$ ) si $x$ es menor que cero; así, por ejemplo $|-2|=-(-2)=2$, o lo que es lo mismo, $|-2|=\text{opuesto}(-2)=2$, y $|2|=2$, ya que $2$ es mayor que $0$; y, desde luego, $|0|=0$. El valor absoluto se utiliza para hallar la distancia entre dos números $x$ e $y$ situados en la recta numérica de la siguiente forma: $\text{distancia}(x,y)=|x-y|=|y-x|$
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SOLUCIÓN.
El opuesto de un número $x$, que denotamos por $\text{opuesto}(x)$, es el número que al sumarlo al número dado, $x$, se obtiene como resultado el neutro de la suma, esto es $0$: $x+\text{opuesto}(x)=0$, luego $\text{opuesto}(x)=0+(-x)=-x$; así, por ejemplo, $\text{opuesto}(2)=-2$, puesto que $2+(-2)=0$ y $\text{opuesto}(-2)=2$, por la misma razón.
El valor absoluto de un número $x$, que denotamos por $|x|$, se define de la siguiente manera: es el propio $x$ en el caso de que $x$ sea mayor o igual que $0$, y es igual a $-x$ ( esto es, el opuesto de $x$ ) si $x$ es menor que cero; así, por ejemplo $|-2|=-(-2)=2$, o lo que es lo mismo, $|-2|=\text{opuesto}(-2)=2$, y $|2|=2$, ya que $2$ es mayor que $0$; y, desde luego, $|0|=0$. El valor absoluto se utiliza para hallar la distancia entre dos números $x$ e $y$ situados en la recta numérica de la siguiente forma: $\text{distancia}(x,y)=|x-y|=|y-x|$
miércoles, 20 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Media aritmética ponderada
ENUNCIADO. Las notas de Elvira en tres trabajos de una determinada asignatura del segundo trimestre han sido 5, 7 y 9 ( no se tienen en cuenta otras pruebas de evaluación ). Si los pesos respectivos de dichas notas son de 7, 9 y 12, respectivamente, ¿ cuál es su nota final ?
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SOLUCIÓN. Por definición, la media aritmética ponderada se calcula sumando los términos que obtenemos al multiplicar cada nota por su peso, y dividiendo finalmente ( para promediar ) por la suma de los pesos [ Notad que la media aritmética simple es un caso particular de ésta, en el que todos los pesos son iguales ], resultando pues: $$\dfrac{5\cdot 7+7 \cdot 9+9\cdot 12}{7+9+12}=\dfrac{103}{14}\approx 7,4$$
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SOLUCIÓN. Por definición, la media aritmética ponderada se calcula sumando los términos que obtenemos al multiplicar cada nota por su peso, y dividiendo finalmente ( para promediar ) por la suma de los pesos [ Notad que la media aritmética simple es un caso particular de ésta, en el que todos los pesos son iguales ], resultando pues: $$\dfrac{5\cdot 7+7 \cdot 9+9\cdot 12}{7+9+12}=\dfrac{103}{14}\approx 7,4$$
Ejercicio 5 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Diagramas cartesianos. Principio de Laplace
ENUNCIADO. Lanzamos dos dados en forma de tetraedro, con sus caras numeradas del 2 al 5. ¿ Cuál es la probabilidad de que los resultados de ambos dados sean números primos entre sí ?
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SOLUCIÓN.
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SOLUCIÓN.
Ejercicio 4 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Sucesos condicionados. Tablas de contingencia.
Ejercicio 70 de la página 300 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia. Puedes ver un ejemplo resuelto en el recuadro amarillo de esta misma página. En la siguiente image tienes un ejemplo:
( Haz clic sobre la imagen para verla en tamaño natural )
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia. Puedes ver un ejemplo resuelto en el recuadro amarillo de esta misma página. En la siguiente image tienes un ejemplo:
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SOLUCIÓN.
lunes, 18 de mayo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Estadística y humor
Lee el recuadro coloreado de verde claro que verás al final de la página 280 del libro base ( 'Estrategia e ingenio' ... y humor)
ENUNCIADO. Las conclusiones de un estudio estadístico pueden llevar a conclusiones chuscas. Explica en qué radica el equívoco humorístico en cada una de las siguientes situaciones e invéntate alguna otra:
a) "Deberían cerrar todos los hospitales: son los lugares más peligrosos del mundo ... ¡Es donde muere más gente!"
b) "Todos las personas que comieron pepinillos en 1830 han fallecido. ¡No entiendo por qué no los prohiben!"
c) "En Nueva York, una persona es atropellada cada 10 minutos. Pobre ... tiene que estar hecho polvo."
d) "Si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, de media nos hemos comido medio pollo cada uno. ¿ De qué te quejas ? "
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SOLUCIÓN.
a) De un hospital no podemos tomar muestras representativas del conjunto de la población, pues todas las personas que están siendo tratadas en él están enfermas.
b) Nadie - que se sepa - llega a vivir 190 años.
c) Es obvio que la afirmación no se refiere a una determinada persona sino, abusando del lenguaje, a la media aritmética simple
d) La media aritmética - que, además, mal empleada por no tomar una muestra representativa de la población - no es suficiente para analizar la información en bruto.
ENUNCIADO. Las conclusiones de un estudio estadístico pueden llevar a conclusiones chuscas. Explica en qué radica el equívoco humorístico en cada una de las siguientes situaciones e invéntate alguna otra:
a) "Deberían cerrar todos los hospitales: son los lugares más peligrosos del mundo ... ¡Es donde muere más gente!"
b) "Todos las personas que comieron pepinillos en 1830 han fallecido. ¡No entiendo por qué no los prohiben!"
c) "En Nueva York, una persona es atropellada cada 10 minutos. Pobre ... tiene que estar hecho polvo."
d) "Si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, de media nos hemos comido medio pollo cada uno. ¿ De qué te quejas ? "
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SOLUCIÓN.
a) De un hospital no podemos tomar muestras representativas del conjunto de la población, pues todas las personas que están siendo tratadas en él están enfermas.
b) Nadie - que se sepa - llega a vivir 190 años.
c) Es obvio que la afirmación no se refiere a una determinada persona sino, abusando del lenguaje, a la media aritmética simple
d) La media aritmética - que, además, mal empleada por no tomar una muestra representativa de la población - no es suficiente para analizar la información en bruto.
Ejercicio 2 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Cálculo de probabilidades. Tablas de resultados. Diagramas cartesianos. Principio de Laplace
Ejercicio 1 de la página 301 del libro base
ENUNCIADO. Lanzamos dos veces un dado de parchís. ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de la segunda tirada supere al de la primera ?.
AYUDA. Lee el ejemplo resuelto del epígrafe 6.1 ( página 293 del libro base )
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Lanzamos dos veces un dado de parchís. ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de la segunda tirada supere al de la primera ?.
AYUDA. Lee el ejemplo resuelto del epígrafe 6.1 ( página 293 del libro base )
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SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Sorteos. Juegos deterministas y juegos aleatorios
Ejercicio 1 de la página 301 del libro base
ENUNCIADO. Álex se fija en cómo frase Nora la canción:
b) ¿ Tienes todos los jugadores la misma probabilidad de que les toque 'pillar' ? ¿ O puede determinarse de antemano a quién le tocará ?
[Justifica todas tus respuestas]
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SOLUCIÓN.
Vamos a suponer que los participantes en el juego están sentados formando un círculo. De esta manera no importa si el número de ellos es menor que 15, pues acabada una vuelta, quien da los golpes de voz, empieza la siguiente.
a) Da 15 golpes de voz, y, por tanto, ha señalado a 15 niños
b) Los participantes tienen la misma probabilidad de que les toque pillar si quien dirige el juego empieza a dar el primer golpe de voz eligiendo aleatorimamente al primero que señala ; ahora bien, si no es así, si fija de antemano al primero, el juego es determinista, pues el que ocupa el lugar decimoquinto (empezando por éste) es el que pilla ( si hay 15 o más participantes); y si hubiesen menos de 15, pongamos que $n$ ( $n$ menor que 15 ), entonces, tendría que dar más de una vuelta con los golpes de voz, pero el que pillase estaría determinado de antemano, pues sería el que ocupa el número de orden dado por el resto de la división entera $15\div n$( con los participantes enumerados en el círculo y en un sentido convenido del giro de las agujas del reloj ) .
ENUNCIADO. Álex se fija en cómo frase Nora la canción:
Pito|pito|colo|rito| dónde|vas tú|tan bo|nito| A la|era|verda|dera| pin|pon|fueraa) ¿ Cuántos golpes de voz da ? ¿ A cuántos niños habrá señalado al acabar la canción ?
b) ¿ Tienes todos los jugadores la misma probabilidad de que les toque 'pillar' ? ¿ O puede determinarse de antemano a quién le tocará ?
[Justifica todas tus respuestas]
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SOLUCIÓN.
Vamos a suponer que los participantes en el juego están sentados formando un círculo. De esta manera no importa si el número de ellos es menor que 15, pues acabada una vuelta, quien da los golpes de voz, empieza la siguiente.
a) Da 15 golpes de voz, y, por tanto, ha señalado a 15 niños
b) Los participantes tienen la misma probabilidad de que les toque pillar si quien dirige el juego empieza a dar el primer golpe de voz eligiendo aleatorimamente al primero que señala ; ahora bien, si no es así, si fija de antemano al primero, el juego es determinista, pues el que ocupa el lugar decimoquinto (empezando por éste) es el que pilla ( si hay 15 o más participantes); y si hubiesen menos de 15, pongamos que $n$ ( $n$ menor que 15 ), entonces, tendría que dar más de una vuelta con los golpes de voz, pero el que pillase estaría determinado de antemano, pues sería el que ocupa el número de orden dado por el resto de la división entera $15\div n$( con los participantes enumerados en el círculo y en un sentido convenido del giro de las agujas del reloj ) .
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Unidades de volumen. Unidades de capacidad. Unidades sexagesimales de tiempo.
ENUNCIADO. Una conducción de agua proporciona $1,5$ litros cada minuto. A las 10:20 horas abrimos el grifo de dicha conducción, con el propósito de llenar un depósito de agua que tiene un volumen hábil de $12$ metros cúbicos. ¿ A qué hora tenemos que cerrar el grifo al objeto de que no se derrame el agua ?
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SOLUCIÓN. En $12\,\text{m}^2=12\,000\,\text{dm}^3$ caben $12\,000\,\text{L}$ luego el tiempo que pasa desde que se abre el grifo ( estando el depósito vacío ) hasta llenar el depósito es $\dfrac{12\,000\,\text{L}}{1,5 \,\text{L/min}}=24\,000\,\text{min}\overset{\div 60}{=}400\,\text{h}=16\cdot 24\,\text{h}+16\,\text{h}=16\,\text{días}\,\text{y}\,16\,\text{h}$. Luego tendremos que cerrar el grifo $16$ días y $16$ horas después del momento de abrir el grifo; y como 10:20+16:00 = 26:20 = 24:00 + 2:20, eso será 16+1=$17$ días después del día en que abrimos el grifo, a las 02:20 horas.
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SOLUCIÓN. En $12\,\text{m}^2=12\,000\,\text{dm}^3$ caben $12\,000\,\text{L}$ luego el tiempo que pasa desde que se abre el grifo ( estando el depósito vacío ) hasta llenar el depósito es $\dfrac{12\,000\,\text{L}}{1,5 \,\text{L/min}}=24\,000\,\text{min}\overset{\div 60}{=}400\,\text{h}=16\cdot 24\,\text{h}+16\,\text{h}=16\,\text{días}\,\text{y}\,16\,\text{h}$. Luego tendremos que cerrar el grifo $16$ días y $16$ horas después del momento de abrir el grifo; y como 10:20+16:00 = 26:20 = 24:00 + 2:20, eso será 16+1=$17$ días después del día en que abrimos el grifo, a las 02:20 horas.
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Conversiones de unidades de una misma magnitud en el Sistema Métrico Decimal. Unidades de capacidad.
ENUNCIADO. Cuántos vasos de $250$ centilitros de capacidad podemos llenar con el agua contenida en un depósito cuyo volumen hábil es de $625$ decímetros cúbicos
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SOLUCIÓN. En el depósito de $625\,\text{dm}^3$ de volumen hay $625\,\text{L}=62\,500\,\text{cL}$ de agua ( cuando está lleno ), ya que $1\,\text{dm}^3$ (unidad de volumen) equivale a $1\,\text{L}$ (capacidad); por tanto, podremos llenar $\dfrac{62\,500\,\text{cL}}{250\,\text{cL}/\text{vaso}}=250\,\text{vasos}$
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SOLUCIÓN. En el depósito de $625\,\text{dm}^3$ de volumen hay $625\,\text{L}=62\,500\,\text{cL}$ de agua ( cuando está lleno ), ya que $1\,\text{dm}^3$ (unidad de volumen) equivale a $1\,\text{L}$ (capacidad); por tanto, podremos llenar $\dfrac{62\,500\,\text{cL}}{250\,\text{cL}/\text{vaso}}=250\,\text{vasos}$
Ejercicio 4 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Geometría. Polígonos. Cuadriláteros. Rombo.
ENUNCIADO. Dibuja (con regla y compás ) un rombo cuyas diagonales miden $12$ centímetos y $16$ centímetros, respectivamente. A continuación, calcula su perímetro y su área.
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SOLUCIÓN.
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SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Aritmética. Años bisiestos.
ENUNCIADO. Explica qué se entiende por un año bisiesto de nuestro calendario. Pon un ejemplo de año bisiesto. ¿ De cuántos días consta un año bisiesto ? Escribe el número de días de que consta cada mes de un año bisiesto.
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SOLUCIÓN. Debido a la necesidad de ajustar el calendario a la duración del año, por convenio, se estableció que los años bisiestos tienen $366$ días ( $1$ día más que los años no-bisiestos, que tienen $365$ días ). El siguiente algoritmo permite reconocer si un año es o no es bisiesto:
$2012$ fue un año bisiesto, por ser múltiplo de $4$ ( el número formado por los dos dígitos de menos peso '12' es múltiplo de $4$ ) y no ser múltiplo de $100$
$2011$ no fue un año bisiesto, pues no es múltiplo de $4$
$1800$ no fue un año bisiesto, pues si bien es múltiplo de $4$, también es múltiplo de $100$ y, sin embargo, no lo es de $400$
$2000$ fue un año bisiesto, pues es múltiplo de $4$, y aunque también es múltiplo de $100$ también lo es de $400$
En un año bisiesto, los 12 meses constan de las siguientes cantidades de días:
Enero: 31 días
Febrero: 28+1 =29 días ( el día de más, con respecto a un año no-bisiesto de 365 días - se añade a los 28 días del mes de febrero )
Marzo: 31 días
Abril: 30 días
Mayo: 31 días
Junio: 30 días
Julio: 31 días
Agosto: 31 días
Septiembre: 3 días
Octubre: 31 días
Noviembre: 30 días
Diciembre: 31 días
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SOLUCIÓN. Debido a la necesidad de ajustar el calendario a la duración del año, por convenio, se estableció que los años bisiestos tienen $366$ días ( $1$ día más que los años no-bisiestos, que tienen $365$ días ). El siguiente algoritmo permite reconocer si un año es o no es bisiesto:
Un número es bisiesto si:
es múltiplo de $4$
excepto si es múltiplo de $100$
excepto si es múltiplo de $400$
Así, por ejemplo: $2012$ fue un año bisiesto, por ser múltiplo de $4$ ( el número formado por los dos dígitos de menos peso '12' es múltiplo de $4$ ) y no ser múltiplo de $100$
$2011$ no fue un año bisiesto, pues no es múltiplo de $4$
$1800$ no fue un año bisiesto, pues si bien es múltiplo de $4$, también es múltiplo de $100$ y, sin embargo, no lo es de $400$
$2000$ fue un año bisiesto, pues es múltiplo de $4$, y aunque también es múltiplo de $100$ también lo es de $400$
En un año bisiesto, los 12 meses constan de las siguientes cantidades de días:
Enero: 31 días
Febrero: 28+1 =29 días ( el día de más, con respecto a un año no-bisiesto de 365 días - se añade a los 28 días del mes de febrero )
Marzo: 31 días
Abril: 30 días
Mayo: 31 días
Junio: 30 días
Julio: 31 días
Agosto: 31 días
Septiembre: 3 días
Octubre: 31 días
Noviembre: 30 días
Diciembre: 31 días
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Aritmética. Números primos entre sí ( coprimos )
ENUNCIADO. Escribe tres parejas de números enteros positivos formadas por números primos entre sí ( coprimos )
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SOLUCIÓN.
Desde luego, hay infinitas parejas de números coprimos ( primos entre sí). A continuación, escribo tres ejemplos, tal como se pide en el enunciado:
$\{8,9\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{8,9\})=1$
$\{4,15\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{4,15\})=1$
$\{6,7\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{6,7\})=1$
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SOLUCIÓN.
Desde luego, hay infinitas parejas de números coprimos ( primos entre sí). A continuación, escribo tres ejemplos, tal como se pide en el enunciado:
$\{8,9\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{8,9\})=1$
$\{4,15\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{4,15\})=1$
$\{6,7\}$ es una pareja de primos entre sí ( coprimos ), pues $\text{m.c.d.}(\{6,7\})=1$
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Estadística básica. Parámetros de centralización. Moda, mediana, media aritmética simple
ENUNCIADO. Un lanzador de dardos ha obtenido las siguientes puntuaciones $\{1,2,1,3,2,3,4,3,3,3,3,3,4,5,3,4,5\}$. Determina la moda, la mediana y la media.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Ordenando los valores (de la característica/variable) de menor a mayor, encontramos: $\{1\,,\, 1\,,\, 2\,,\, 2\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 4\,,\, 4\,,\, 4\,,\, 5\,,\, 5\}$. Vemos que el valor que se repite un mayor número de veces es $3$, luego la moda es $3$; por otra parte, como hay $17$ valores, el centro del conjunto de valores ordenados es el noveno valor, que corresponde a $3$, luego la mediana es igual a $3$ ( en este caso coincide con el valor de la moda ); y, para finalizar, la suma de todos los valores es $1\cdot 2+2\cdot 2+ 3 \cdot 8+4\cdot 3+ 5\cdot 2 = 52$, luego la media es igual a $\dfrac{52}{17} \approx 3,1$
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Ordenando los valores (de la característica/variable) de menor a mayor, encontramos: $\{1\,,\, 1\,,\, 2\,,\, 2\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 3\,,\, 4\,,\, 4\,,\, 4\,,\, 5\,,\, 5\}$. Vemos que el valor que se repite un mayor número de veces es $3$, luego la moda es $3$; por otra parte, como hay $17$ valores, el centro del conjunto de valores ordenados es el noveno valor, que corresponde a $3$, luego la mediana es igual a $3$ ( en este caso coincide con el valor de la moda ); y, para finalizar, la suma de todos los valores es $1\cdot 2+2\cdot 2+ 3 \cdot 8+4\cdot 3+ 5\cdot 2 = 52$, luego la media es igual a $\dfrac{52}{17} \approx 3,1$
viernes, 15 de mayo de 2020
jueves, 14 de mayo de 2020
Ejercicio 5 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Probabilidad geométrica
ENUNCIADO. El del ejercicio 67 de la página 300 del libro base
AYUDA. Lee antes el ejercicio resuelto número 66 de la página 299 del libro base
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Éste es un ejercicio en el que hay que utilizar la noción de probabilidad geométrica: al situar un punto al azar dentro del recinto cuadrado $Q$, la probabilidad de que dicho punto esté dentro del círculo $C$ es igual a la razón del área del círculo y el área del cuadrado, lo cual se desprende del principio de Laplace. Así pues, $P(C)=\dfrac{\mathcal{Á}(C)}{\mathcal{Á}(Q)}=\dfrac{\pi \cdot 5^2}{20^2}=\pi\,\dfrac{5^2}{20^2}=\pi\,\left(\dfrac{5}{20}\right)^2=\pi\,\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{\pi}{16}\approx 0,20=20\,\%$
COMENTARIO: El método numérico para el cálculo aproximado de áreas y volúmenes, conocido como método de Monte Carlo, se basa precisamente en el concepto de probabilidad geométrica
AYUDA. Lee antes el ejercicio resuelto número 66 de la página 299 del libro base
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Éste es un ejercicio en el que hay que utilizar la noción de probabilidad geométrica: al situar un punto al azar dentro del recinto cuadrado $Q$, la probabilidad de que dicho punto esté dentro del círculo $C$ es igual a la razón del área del círculo y el área del cuadrado, lo cual se desprende del principio de Laplace. Así pues, $P(C)=\dfrac{\mathcal{Á}(C)}{\mathcal{Á}(Q)}=\dfrac{\pi \cdot 5^2}{20^2}=\pi\,\dfrac{5^2}{20^2}=\pi\,\left(\dfrac{5}{20}\right)^2=\pi\,\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{\pi}{16}\approx 0,20=20\,\%$
COMENTARIO: El método numérico para el cálculo aproximado de áreas y volúmenes, conocido como método de Monte Carlo, se basa precisamente en el concepto de probabilidad geométrica
Ejercicio 4 de la semana del 11 al 17 de enero de 2020 - Probabilidad. Simulación numérica de un experimento aleatorio. Probabilidad a fortiori.
ENUNCIADO. Lee las páginas 304 y 306 del libro base y explica a tu manera de qué se esta hablando en esta sección. Haz un resumen de los pasos que se describen para conseguir el objetivo señalado.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. En estas páginas del libro base se habla de cómo realizar simulaciones numéricas de un experimento aleatorio con la instrucción AleatorioEntre(valor_mínimo,valor_máximo) así como de la instrucción Secuencia de GeoGebra. Con ello se obtiene una lista de valores simulados, que, a continuación, podemos estudiar desde el punto de vista estadístico ( con las utilidades de estadística básica de GeoGebra ); así, para un número muy grande de realizaciones del experimento aleatoria - mejor dicho, de su simulación numérica - podemos interpretar la probabilidad de un determinado suceso elemental de la experiencia aleatoria como la frecuencia relativa que se obtiene al realizar el recuento estadístico ( concepto a fortiori, o frecuentista, de la probabilidad).
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. En estas páginas del libro base se habla de cómo realizar simulaciones numéricas de un experimento aleatorio con la instrucción AleatorioEntre(valor_mínimo,valor_máximo) así como de la instrucción Secuencia de GeoGebra. Con ello se obtiene una lista de valores simulados, que, a continuación, podemos estudiar desde el punto de vista estadístico ( con las utilidades de estadística básica de GeoGebra ); así, para un número muy grande de realizaciones del experimento aleatoria - mejor dicho, de su simulación numérica - podemos interpretar la probabilidad de un determinado suceso elemental de la experiencia aleatoria como la frecuencia relativa que se obtiene al realizar el recuento estadístico ( concepto a fortiori, o frecuentista, de la probabilidad).
Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. A vueltas con la noción de probabilidad geométrica.
Ejercicio 65 de la página 299 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Una ruleta que tiene forma de círculo está dividida en seis sectores circulares, cinco de ellos ( A, B, C, D y E ) tienen los siguientes valores de ángulo central: $45^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$, y $60^\circ$, respectivamente. Calcula la probabilidad de obtener dichos resultados, así como la de obtener el del sexto sector F.
AYUDA. La probabilidad de que la ruleta quede en un determinado sector es proporcional al área del mismo.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Por el principio de Laplace, la probabilidad de que se obtenga como resultado un cierto sector $X$ del círculo ( el índice de la ruleta cae en él al quedarse ésta parada ) es igual a $P(X)=\dfrac{\mathcal{Á}(X)}{\pi\,r^2}$, y como el área del sector circular es proporcional a la medida de su ángulo central $\hat{X}$, la probabilidad anterior se puede escribir como $P(X)=\dfrac{\hat{X}}{360^{\circ}}$
Así pues, $P(A)=P(B)=\dfrac{45}{360}=\dfrac{1}{8}$; $P(C)=P(D)=\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$, y $P(E)=\dfrac{360-2\cdot(45+60)}{360}=\dfrac{5}{12}$
COMPROBACIÓN. La suma de las probabilidades ha de ser igual a $1$( probabilidad total); en efecto, $2\cdot (\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})+\dfrac{5}{12}=\ldots=1$
ENUNCIADO. Una ruleta que tiene forma de círculo está dividida en seis sectores circulares, cinco de ellos ( A, B, C, D y E ) tienen los siguientes valores de ángulo central: $45^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$, y $60^\circ$, respectivamente. Calcula la probabilidad de obtener dichos resultados, así como la de obtener el del sexto sector F.
AYUDA. La probabilidad de que la ruleta quede en un determinado sector es proporcional al área del mismo.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Por el principio de Laplace, la probabilidad de que se obtenga como resultado un cierto sector $X$ del círculo ( el índice de la ruleta cae en él al quedarse ésta parada ) es igual a $P(X)=\dfrac{\mathcal{Á}(X)}{\pi\,r^2}$, y como el área del sector circular es proporcional a la medida de su ángulo central $\hat{X}$, la probabilidad anterior se puede escribir como $P(X)=\dfrac{\hat{X}}{360^{\circ}}$
Así pues, $P(A)=P(B)=\dfrac{45}{360}=\dfrac{1}{8}$; $P(C)=P(D)=\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$, y $P(E)=\dfrac{360-2\cdot(45+60)}{360}=\dfrac{5}{12}$
COMPROBACIÓN. La suma de las probabilidades ha de ser igual a $1$( probabilidad total); en efecto, $2\cdot (\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})+\dfrac{5}{12}=\ldots=1$
miércoles, 13 de mayo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - El experimento de la aguja de Buffon
ENUNCIADO. Lee el enunciado del ejercicio 73 de la página 300 y realiza el experimento aleatorio que se describe ( llamado "de la aguja de Buffon" ). Toma una hoja de papel ( DIN A4 ) y traza en toda la hoja líneas paralelas separadas una distancia igual a la longitud de una aguja de coser. Lanza ahora 100 veces la aguja de coser sobre la hoja listada y anota el número de veces $n$ que cae cruzando alguna de las líneas. Haz una fotografía de la hoja de papel con algunos lanzamientos de la aguja - puedes utilizar si quieres varias agujas iguales ( 10 estaría bien ) y lanzarlas todas a la vez -. A continuación divide $n$ entre 100. Según lo que puedes leer en dicho enunciado, el resultado debería parecerse a $\dfrac{2}{\pi}$ ¿ Qué resultado obtienes ? ¿ Qué podrías destacar como comentario después de la realización de este experimento ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SUGERENCIA. Finalmente, utiliza este simulador del experimento https://mste.illinois.edu/activity/buffon/ y diviértete cambiando el número de lanzamientos de una misma aguja. Podrás ver qué sucede cuando el número de lanzamientos es muy grande.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SUGERENCIA. Finalmente, utiliza este simulador del experimento https://mste.illinois.edu/activity/buffon/ y diviértete cambiando el número de lanzamientos de una misma aguja. Podrás ver qué sucede cuando el número de lanzamientos es muy grande.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
lunes, 11 de mayo de 2020
Ejercicio 1 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Un ejercicio rutinario de estadística básica con GeoGebra
ENUNCIADO.
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
a) Organiza el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
1.ª parte
b) Si todavía no lo has hecho, instala el programa de software libre GeoGebra Clásico 5
c) Empleando GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras ). Por tanto esta vez tendrás que mandar también los archivos de trabajo de GeoGebra [.ggb ], además del archivo habitual que contenga la fotografía de la página de tu cuaderno con los cálculos que te pido a continuación.
2.ª parte
d) Sin GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
e) Determina la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Determina la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
g) Calcula la media aritmética ( parámetro de situación )
h) Calcula la desviación media ( parámetro de dispersión )
i) Calcula el rango ( parámetro de dispersión )
INSTRUCCIÓN. Tienes que enviar también el
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
a) Organiza el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
1.ª parte
b) Si todavía no lo has hecho, instala el programa de software libre GeoGebra Clásico 5
c) Empleando GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras ). Por tanto esta vez tendrás que mandar también los archivos de trabajo de GeoGebra [.ggb ], además del archivo habitual que contenga la fotografía de la página de tu cuaderno con los cálculos que te pido a continuación.
2.ª parte
d) Sin GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
e) Determina la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Determina la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
g) Calcula la media aritmética ( parámetro de situación )
h) Calcula la desviación media ( parámetro de dispersión )
i) Calcula el rango ( parámetro de dispersión )
INSTRUCCIÓN. Tienes que enviar también el
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Área y perímetro de un cuadrado
ENUNCIADO. Queremos vallar una finca agraria que tiene forma cuadrada y cuya área es de $1$ hectárea. ¿ Cuántos metros de valla necesitaremos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Como $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y la finca tiene forma cuadrada de lado $\ell$, entonces $\ell^2=10\,000$, luego $\ell=|\sqrt{10\,000}|=100\,\text{m}$, así que el perímetro de la finca tiene una longitud iguala $4\,\ell=4\cdot 100= 400\,\text{m}$, por lo que necesitaremos $400\,\text{m}$ de valla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Como $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y la finca tiene forma cuadrada de lado $\ell$, entonces $\ell^2=10\,000$, luego $\ell=|\sqrt{10\,000}|=100\,\text{m}$, así que el perímetro de la finca tiene una longitud iguala $4\,\ell=4\cdot 100= 400\,\text{m}$, por lo que necesitaremos $400\,\text{m}$ de valla.
Ejercicio 5 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO.
Manuel cobra un salario de $1\,200$ euros, pero se le retiene el $19\,\%$ en concepto de IRPF (Impuesto sobre la Renta de las Personas Física). ¿ De cuánto dinero dispone para cubrir sus gastos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La cantidad de dinero neto del cual podrá disponer es $1200\cdot \dfrac{100-19}{100}=972$ euros
Manuel cobra un salario de $1\,200$ euros, pero se le retiene el $19\,\%$ en concepto de IRPF (Impuesto sobre la Renta de las Personas Física). ¿ De cuánto dinero dispone para cubrir sus gastos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La cantidad de dinero neto del cual podrá disponer es $1200\cdot \dfrac{100-19}{100}=972$ euros
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO. Efectua las siguientes operaciones con fracciones:
a) $\dfrac{35}{24}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{10}{18}$
c) $\dfrac{5}{6}\div \dfrac{15}{12}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
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NOTA 2. En un plazo aproximado de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
a) $\dfrac{35}{24}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{10}{18}$
c) $\dfrac{5}{6}\div \dfrac{15}{12}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$
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RMT - Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO. Expresa como producto de factores primos los siguientes números: 12, 16, 18,24, 30,32, 36, 28, 40, 42 y 45
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NOTA 2. En un plazo aproximado de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
ENUNCIADO. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 36 y 60
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RMT - Ejercicio 1 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Operaciones combinadas con números enteros
ENUNCIADO. Realiza las siguientes operaciones combinadas con números enteros
$$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)=$
$=15\cdot 0 +17\cdot 1$
$=0+17$
$=17$
$$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)=$
$=15\cdot 0 +17\cdot 1$
$=0+17$
$=17$
lunes, 4 de mayo de 2020
Ejercicio 9 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades ambientándonos en el juego del dominó.
ENUNCIADO. El del ejercicio 16 de la página 292 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se extrae sin mirar una ficha de una bolsa que contiene un juego de dominó. Halla la probabilidad de obtener:
a) Un doble
b) Una ficha con un solo 6
c) Una ficha cuyos puntos sumen 4
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. Un juego de dominó consta de 28 cifras, que son las siguientes:
La suma de las puntuaciones de los dos lados de las fichas es:
Sabido ésto, vamos a aplicar el principio de Laplace ( las 28 fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ):
a) P("ficha doble")=$\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) P("ficha con solo un 6")=$\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\approx 0,21=21\,\%$
c) P("ficha con suma igual a 4")=$\dfrac{3}{28}\approx 0,11=11\,\%$
Se extrae sin mirar una ficha de una bolsa que contiene un juego de dominó. Halla la probabilidad de obtener:
a) Un doble
b) Una ficha con un solo 6
c) Una ficha cuyos puntos sumen 4
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. Un juego de dominó consta de 28 cifras, que son las siguientes:
0|0 0|1 1|1 0|2 1|2 2|2 0|3 1|3 2|3 3|3 0|4 1|4 2|4 3|4 4|4 0|5 1|5 2|5 3|5 4|5 5|5 0|6 1|6 2|6 3|6 4|6 5|6 6|6
La suma de las puntuaciones de los dos lados de las fichas es:
0 1 2 2 3 4 3 4 5 6 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 12
Sabido ésto, vamos a aplicar el principio de Laplace ( las 28 fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ):
a) P("ficha doble")=$\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) P("ficha con solo un 6")=$\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\approx 0,21=21\,\%$
c) P("ficha con suma igual a 4")=$\dfrac{3}{28}\approx 0,11=11\,\%$
Ejercicio 8 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Extracción de una carta al azar de una baraja española
ENUNCIADO. El del ejercicio 15 de la página 292 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Extraemos una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Calcula las siguientes probabilidades:
a) Sacar una carta de oros
b) Sacar una figura
c) No sacar un as
d) Sacar una carta de oros o bien una figura
e) No sacar una figura
f) Sacar el rey de oros
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. En una baraja española hay cuatro palos ( oros, bastos, copas, y espadas ); en cada palo hay tres figuras: sota (10), caballo (11) y rey (12); el as es la carta con el número 1, y el resto de cartas de cada palo están numeradas con 2,3,4,5,6,7,8 y 9. Procedemos a aplicar el principio de Laplace y las propiedades básicas:
a) P("sacar una carta de oros")=$\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) a) P("sacar una carta que sea figura")=$\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
c) P("no sacar un as")=1-P("sacar un as")=$1-\dfrac{4}{48}=\dfrac{11}{12}\approx 0,92=92\,\%$
d) Por el principio de inclusión-exclusión, podemos escribir:
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=P("sacar una carta de oros")+P("sacar una carta que sea figura") - P("sacar una carta de oros y que sea figura")
Así
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=$\dfrac{12}{48}+\dfrac{3\cdot 4}{48}-\dfrac{3}{48}=\dfrac{7}{16}\approx0,44=44\,\%$
e) P("no sacar una carta que sea figura")=1-P("sacar una carta que sea figura")=$1-\dfrac{3\cdot 4}{48}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75=75\,\%$
f) P("sacar el rey de oros")=$\dfrac{1}{48}\approx 0,02 = 2\,\%$
Extraemos una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Calcula las siguientes probabilidades:
a) Sacar una carta de oros
b) Sacar una figura
c) No sacar un as
d) Sacar una carta de oros o bien una figura
e) No sacar una figura
f) Sacar el rey de oros
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. En una baraja española hay cuatro palos ( oros, bastos, copas, y espadas ); en cada palo hay tres figuras: sota (10), caballo (11) y rey (12); el as es la carta con el número 1, y el resto de cartas de cada palo están numeradas con 2,3,4,5,6,7,8 y 9. Procedemos a aplicar el principio de Laplace y las propiedades básicas:
a) P("sacar una carta de oros")=$\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) a) P("sacar una carta que sea figura")=$\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
c) P("no sacar un as")=1-P("sacar un as")=$1-\dfrac{4}{48}=\dfrac{11}{12}\approx 0,92=92\,\%$
d) Por el principio de inclusión-exclusión, podemos escribir:
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=P("sacar una carta de oros")+P("sacar una carta que sea figura") - P("sacar una carta de oros y que sea figura")
Así
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=$\dfrac{12}{48}+\dfrac{3\cdot 4}{48}-\dfrac{3}{48}=\dfrac{7}{16}\approx0,44=44\,\%$
e) P("no sacar una carta que sea figura")=1-P("sacar una carta que sea figura")=$1-\dfrac{3\cdot 4}{48}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75=75\,\%$
f) P("sacar el rey de oros")=$\dfrac{1}{48}\approx 0,02 = 2\,\%$
Ejercicio 7 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Propiedad del suceso contrario
ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 290 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
La probabilidad del suceso (A): obtener un número primo menor o igual que 5 lanzando un dado en forma de dodecaedro regular (12 caras) es de $0,25$. Escribe los resultados del suceso contrario $\bar{A}$ y halla su probabilidad.
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. El suceso contrario de $A$, esto es $\bar{A}$ ( no obtener un número primo menor o igual que $5$ ) corresponde a obtener cualquier número comprendido entre $1$ y $12$ que no sea ni $3$ ni $5$. Como $P(A)+P(\bar{A})=1$ ( probabilidad total ), la probabilidad pedida es $P(\bar{A})=1-0,25=0,75$
La probabilidad del suceso (A): obtener un número primo menor o igual que 5 lanzando un dado en forma de dodecaedro regular (12 caras) es de $0,25$. Escribe los resultados del suceso contrario $\bar{A}$ y halla su probabilidad.
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. El suceso contrario de $A$, esto es $\bar{A}$ ( no obtener un número primo menor o igual que $5$ ) corresponde a obtener cualquier número comprendido entre $1$ y $12$ que no sea ni $3$ ni $5$. Como $P(A)+P(\bar{A})=1$ ( probabilidad total ), la probabilidad pedida es $P(\bar{A})=1-0,25=0,75$
Ejercicio 6 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Probabilidad total
ENUNCIADO. El del ejercicio 13 de la página 290 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Una urna contiene bolas rojas, verdes y amarillas. Si la probabilidad de extraer bola roja es de $0,7$, ¿ cuál es la de extraer bola verde o amarilla ?
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Como la suma de probabilidades totales ha de ser igual a $1$, la probabilidad pedida es igual a $1-0,7=0,3$
Una urna contiene bolas rojas, verdes y amarillas. Si la probabilidad de extraer bola roja es de $0,7$, ¿ cuál es la de extraer bola verde o amarilla ?
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Como la suma de probabilidades totales ha de ser igual a $1$, la probabilidad pedida es igual a $1-0,7=0,3$
Ejercicio 5 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Experimentos aleatorios. Frecuencia relativa. Concepto a fortiori ( frecuentista ) de la probabilidad
ENUNCIADO. El del ejercicio 11 de la página 289 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se lanzan 200 veces dos monedas trucadas y se obtiene: 32 veces dos caras, 96 veces una cara y una cruz; y, el resto de veces, dos cruces. Halla la frecuencia relativa de cada uno de los sucesos de esta experiencia aleatoria
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son: {dos caras (A), una cara y una cruz (B), dos cruces (C)}. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_A=\dfrac{32}{200}=\dfrac{4}{25}=0,16 = 16\,\%$
$f_B=\dfrac{96}{200}=\dfrac{12}{25}= 0,48 = 48\,\%$
$f_C=\dfrac{200-(32+96)}{200}=\dfrac{9}{25}= 0,36 = 36\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Se lanzan 200 veces dos monedas trucadas y se obtiene: 32 veces dos caras, 96 veces una cara y una cruz; y, el resto de veces, dos cruces. Halla la frecuencia relativa de cada uno de los sucesos de esta experiencia aleatoria
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son: {dos caras (A), una cara y una cruz (B), dos cruces (C)}. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_A=\dfrac{32}{200}=\dfrac{4}{25}=0,16 = 16\,\%$
$f_B=\dfrac{96}{200}=\dfrac{12}{25}= 0,48 = 48\,\%$
$f_C=\dfrac{200-(32+96)}{200}=\dfrac{9}{25}= 0,36 = 36\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Concepto de probabilidad a fortiori ( frecuentista )
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 289 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se lanza 450 veces un dado trucado y se obtiene: 210 veces 1; 87 veces 2; 45 veces 3; 32 veces 4; 9 veces 5, y el resto de veces 6. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental de este experimento.
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INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son los valores de las caras del dado: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_1=\dfrac{210}{450}=\dfrac{7}{15}\approx 0,47 = 47\,\%$
$f_2=\dfrac{87}{450}=\dfrac{29}{150}\approx 0,19 = 19\,\%$
$f_3=\dfrac{45}{450}=\dfrac{1}{10}= 0,1 = 10\,\%$
$f_4=\dfrac{32}{450}=\dfrac{16}{225}\approx 0,07=7\,\%$
$f_5=\dfrac{9}{450}=\dfrac{1}{50}= 0,02 = 2\,\%$
$f_6=\dfrac{450-(210+87+45+32+9)}{450}=\dfrac{67}{450}\approx 0,15 = 15\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Se lanza 450 veces un dado trucado y se obtiene: 210 veces 1; 87 veces 2; 45 veces 3; 32 veces 4; 9 veces 5, y el resto de veces 6. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental de este experimento.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son los valores de las caras del dado: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_1=\dfrac{210}{450}=\dfrac{7}{15}\approx 0,47 = 47\,\%$
$f_2=\dfrac{87}{450}=\dfrac{29}{150}\approx 0,19 = 19\,\%$
$f_3=\dfrac{45}{450}=\dfrac{1}{10}= 0,1 = 10\,\%$
$f_4=\dfrac{32}{450}=\dfrac{16}{225}\approx 0,07=7\,\%$
$f_5=\dfrac{9}{450}=\dfrac{1}{50}= 0,02 = 2\,\%$
$f_6=\dfrac{450-(210+87+45+32+9)}{450}=\dfrac{67}{450}\approx 0,15 = 15\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Experiencia aleatoria compuesta. Pensar un espacio muestral ...
ENUNCIADO. El del ejercicio 6 de la página 285 del libro base ( ligeramente modificado )
Disponemos de dos urnas, A y B. La urna A contienen cuatro bolas rojas y dos bolas verdes, y la urna B tres bolas verdes, dos azules y una roja. Extraemos al azar una bola de cada urna. Piensa en tres espacios muestrales asociados a dicha experiencia aleatoria y descríbelos.
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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
e)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
Disponemos de dos urnas, A y B. La urna A contienen cuatro bolas rojas y dos bolas verdes, y la urna B tres bolas verdes, dos azules y una roja. Extraemos al azar una bola de cada urna. Piensa en tres espacios muestrales asociados a dicha experiencia aleatoria y descríbelos.
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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
e)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
Ejercicio 2 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Espacios muestrales de experimentos compuestos
ENUNCIADO. El del ejercicio 4 de la página 285 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos compuestos:
a) Lanzar dos dados de seis caras ( numeradas del 1 al 6 )
b) Lanzar dos monedas y un dado de seis caras
c) Extraer, con reposición, dos bolas de una urna que contienen siete bolas numeradas del 1 al 7
d) Extraer, sin reposición, dos bolas de una urna que contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
a)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
También podemos concebir un espacio muestral formado por 21 sucesos, que, a diferencia de los de arriba, no son equiprobables, y que consisten en descartar los dígitos repetidos ( sin tener en cuenta cuál de los dados ha dado el dígito ), esto es, considerando que salgan: dos unos, un uno y un dos, un uno y un tres, un uno y un cuatro, un uno y un cinco, un uno y un seis, un uno y un siete, dos doses, un dos y un tres, un dos y un cuatro, etcétera.
b)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
Al igual que en el apartado anterior, también podemos concebir un espacio muestral formado también por 21 sucesos, que, a diferencia de los 28 de arriba, no son equiprobables, y que consisten en descartar el caracter de color de la moneda ( sin tener en cuenta de cuál de las dos monedas se obtiene cara o cruz ), esto es, considerando que salgan: un uno y dos caras, un uno y dos cruces, un uno y una cara y una cruz, un dos y dos caras, un dos y dos cruces, un dos y una cara y una cruz, etcétera.
c)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
También aquí, podemos pensar en un espacio muestral formado no por 49 susecesos elementales sino por $7\cdot (7+1)/2=28$ sucesos, que, sin embargo no todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados al azar. Este espacio muestral ( con sucesos no equiprobables ) estaría formado por: dos unos, un uno y un dos, un uno y un tres, ..., un uno y un siete; dos doses, un dos y un tres, etcétera.
d)
En este caso el espacio muestral
$\Omega=\{12,13,14,15,16,17;21,23,24,25,26,27;31,32,34,35,36,37;$
$;41,42,43,45,46,47;51,52,53,54,56,57;61,62,63,64,65,67;71,72,73,74,75,76\}$
está formado por $(7-1)\cdot 6 = 36$ sucesos con la misma probabilidad ( equiprobables )
Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos compuestos:
a) Lanzar dos dados de seis caras ( numeradas del 1 al 6 )
b) Lanzar dos monedas y un dado de seis caras
c) Extraer, con reposición, dos bolas de una urna que contienen siete bolas numeradas del 1 al 7
d) Extraer, sin reposición, dos bolas de una urna que contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
a)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
b)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
c)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
d)
En este caso el espacio muestral
$\Omega=\{12,13,14,15,16,17;21,23,24,25,26,27;31,32,34,35,36,37;$
$;41,42,43,45,46,47;51,52,53,54,56,57;61,62,63,64,65,67;71,72,73,74,75,76\}$
está formado por $(7-1)\cdot 6 = 36$ sucesos con la misma probabilidad ( equiprobables )
Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Experimentos aleatorios y experimentos deterministas
ENUNCIADO. El del ejercicio 1 de la página 285 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Escribe tres experimentos que sean deterministas y otros tres que sean aleatorios
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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Tres ejemplos de experimentos deterministas: abrir y cerrar un interruptor de la luz; dejar caer un objeto por un plano inclinado; medir el tiempo en un reloj
Tres ejemplos de experimentos aleatorios: lanzamiento de una moneda; evolución del estado del tiempo (meteorología); evolución de la bolsa
Escribe tres experimentos que sean deterministas y otros tres que sean aleatorios
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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Tres ejemplos de experimentos deterministas: abrir y cerrar un interruptor de la luz; dejar caer un objeto por un plano inclinado; medir el tiempo en un reloj
Tres ejemplos de experimentos aleatorios: lanzamiento de una moneda; evolución del estado del tiempo (meteorología); evolución de la bolsa
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal
ENUNCIADO. Un artesano carpintero quiere restaurar la rueda de un antiguo carro de labor, que tiene 12 radios (de madera). ¿ Cuál es la medida angular del ángulo central entre cada radio y sus radios vecinos ?
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SOLUCIÓN. Dividiendo una vuelta completa entre 12 partes obtenemos la amplitud angular de cada uno de los 12 sectores ( todos iguales ): $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$
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SOLUCIÓN. Dividiendo una vuelta completa entre 12 partes obtenemos la amplitud angular de cada uno de los 12 sectores ( todos iguales ): $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Operaciones con cantidades de tiempo
ENUNCIADO. ¿ Cuántos minutos transcurren desde las 13:40 a las 15:10 ?
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SOLUCIÓN.
$15:10-13:40=$
$=14:70-13:40=1:30=1\,\text{hora}\;\text{y}\;30\,\text{minutos}=60\,\text{minutos}+30 \,\text{minutos}$
$=90\,\text{minutos}$
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SOLUCIÓN.
$15:10-13:40=$
$=14:70-13:40=1:30=1\,\text{hora}\;\text{y}\;30\,\text{minutos}=60\,\text{minutos}+30 \,\text{minutos}$
$=90\,\text{minutos}$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Escalas de representación.
ENUNCIADO. En un mapa a escala 1:2000, el polígono que corresponde a una finca tiene una superficie de $15$ centímetros cuadrados. ¿ Cuántos metros cuadrados mide la finca ( sobre el terreno ) ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$$\text{Área de la finca}=15\cdot 2\,000^2\,\text{cm}^2 = 15 \cdot 4\,000\,000\, \text{cm}^2\cdot \dfrac{1}{10\,000}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{cm}^2}=6\,000\,\text{m}^2$$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$$\text{Área de la finca}=15\cdot 2\,000^2\,\text{cm}^2 = 15 \cdot 4\,000\,000\, \text{cm}^2\cdot \dfrac{1}{10\,000}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{cm}^2}=6\,000\,\text{m}^2$$
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Cuentas básicas. Gastos. Ingresos. Ahorros.
ENUNCIADO. María y Jorge han trabajaron recogiendo fruta durante un mes el pasado verano. El sueldo ( descontados los impuestos ) les aportó $1100$ euros a cada uno, y los gastos que tuvieron que hacer frente fueron de $700$ euros ( compartiendo comida y alojamiento ). El dinero que les quedó ( como ahorro ) para ayudar a cubrir los gastos de sus estudios ¿ Cuánto dinero les quedó entre los dos ?.
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SOLUCIÓN.
Ingresos: $2\cdot 1\,100=2\,200\,\text{euros}$
Gastos: $700\,\text{euros}$
Cantidad de dinero disponible para ayudar a pagar los estudios (ahorros):
Cantidad ahorrada=Ingresos-Gastos=$2\,200 \text{euros}-700\,\text{euros} = 1\,500\,\text{euros}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ingresos: $2\cdot 1\,100=2\,200\,\text{euros}$
Gastos: $700\,\text{euros}$
Cantidad de dinero disponible para ayudar a pagar los estudios (ahorros):
Cantidad ahorrada=Ingresos-Gastos=$2\,200 \text{euros}-700\,\text{euros} = 1\,500\,\text{euros}$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Descuentos. Tantos por ciento.
ENUNCIADO. Juan ha comprado una camiseta que estaba rebajada en un 6%. Ha pagado $12,50$ euros. ¿ Cuál era el precio de dicha camiseta ?.
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SOLUCIÓN. Denotemo por $x$ al precio de la camiseta, entonces podemos plantear la siguiente ecuación: $$\dfrac{100-6}{100}\,x=12,50$$ Resolvíendola, llegamos fácilmente a la solución $$x=\dfrac{12,50\cdot 100}{94}\approx 13\,\text{euros}\;\text{y}\;30\,\text{céntimos de euros}$$
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SOLUCIÓN. Denotemo por $x$ al precio de la camiseta, entonces podemos plantear la siguiente ecuación: $$\dfrac{100-6}{100}\,x=12,50$$ Resolvíendola, llegamos fácilmente a la solución $$x=\dfrac{12,50\cdot 100}{94}\approx 13\,\text{euros}\;\text{y}\;30\,\text{céntimos de euros}$$
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Comprando combustible
ENUNCIADO. Si 1 litro de combustible cuesta $1,20$ euros y disponemos de $40$ euros para comprar combustible, ¿ con cuántos litros podremos llenar el depósito ?
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SOLUCIÓN.
El número de litros de combustible que podemos comprar con esa cantidad de dinero es $$\dfrac{1}{1,20}\,\dfrac{\text{L}}{\text{euros}}\cdot 40\,\text{euros} \approx 33,33 \,\text{L}$$ donde hemos planteado la proporción directa entre la magnitud 'cantidad de dinero' y la magnitud 'cantidad de combustible' utilizando los factores de conversión ( para variar ).
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SOLUCIÓN.
El número de litros de combustible que podemos comprar con esa cantidad de dinero es $$\dfrac{1}{1,20}\,\dfrac{\text{L}}{\text{euros}}\cdot 40\,\text{euros} \approx 33,33 \,\text{L}$$ donde hemos planteado la proporción directa entre la magnitud 'cantidad de dinero' y la magnitud 'cantidad de combustible' utilizando los factores de conversión ( para variar ).
lunes, 27 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Elaboración de un diagram de sectores
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.
INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.
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SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.
INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Media aritmética simple. Parámetros de centralización ( posición )
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros ( o medidas ) de posición /siguación. Moda.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Obtención de la moda ( parámetro de posición/situación )
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística de una variable. Diagramas de puntos, de barras, y línea poligonal de frecuencias
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Recuento de los valores de una variable estadística. Tabla de frecuencias.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. ¿ Qué ocurre con los parámetros media, moda, mediana y rango cuando multiplicamos cada dato por una costante ?
ENUNCIADO. El del ejercicio 66 de la página 277 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020. Estadística de 1 variable. Comparación de la centralización y de la dispersión de dos grupos
ENUNCIADO. El del ejercicio 67 de la página 277 del libro base ( ligeramente modificado )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de dispersión. Varianza. Desviación estándar. Rango
ENUNCIADO. El del ejercicio 23 de la página 272 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de centralización. Moda, mediana y media
ENUNCIADO. El del ejercicio 19, apartado (a), de la página 270 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
(Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural)
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Climogramas.
ENUNCIADO. El del ejercicio 16 de la página 267 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )
( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.
Fuente: https://es.climate-data.org/
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )
( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.
Fuente: https://es.climate-data.org/
Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Diagramas de sectores
ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 265 del libro base
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265
SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265
SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$
viernes, 24 de abril de 2020
Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de agosto de 2020 - Proporcionalidad. Un poco de álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 98 de la página 162 del libro base ( Unidad Didáctica 7 ) - ligeramente modificado -
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
$bc=ad$
$\Rightarrow bc-ad=0$
$\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
$\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
$\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
$\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
$\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
$bc=ad$
$\Rightarrow bc-ad=0$
$\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
$\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
$\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
$\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
$\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados y los números triangulares. Busca en la Wikipedia la entrada "números pentagonales" para ver cuál es la expresión algebraica que (depende de $n$, para $n\ge 1$ ). Dando a $n$ los diez primeros valores consecutivos $1,2,3,\ldots,10$, utiliza dicha expresión para calcular el valor de los números pentagonales consecutivos.
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Números triangulares
INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.
El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..
El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...
El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....
El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....
y así sucesivamente.
Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):
$1\cdot 2)/2=1$
$2\cdot 3/2=3$
$3\cdot 4/2=6$
$4\cdot 5/2=10$
$5\cdot 6/2=15$
$6\cdot 7/2=21$
$7\cdot 8/2=28$
$8\cdot 9/2=36$
$9\cdot 10/2=45$
$10\cdot 11/2=55$
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.
El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..
El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...
El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....
El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....
y así sucesivamente.
Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):
$1\cdot 2)/2=1$
$2\cdot 3/2=3$
$3\cdot 4/2=6$
$4\cdot 5/2=10$
$5\cdot 6/2=15$
$6\cdot 7/2=21$
$7\cdot 8/2=28$
$8\cdot 9/2=36$
$9\cdot 10/2=45$
$10\cdot 11/2=55$
jueves, 23 de abril de 2020
miércoles, 22 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números cuadrados consecutivos
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:
. . . .Si lo pensamos desde el punto de vista aritmético, vemos que $4$ es un número cuadrado porqué puede escribirse como el producto de dos números enteros positivos más pequeños, $4=2 \cdot 2$, lo cual se puede escribir también, como $4=2^2$; así que, desde este enfoque, $4$ no es el número cuadrado más pequeño, $1$ también es un número cuadrado, ya que $1=1\cdot 1=1^2$, y por tanto es el número (entero positivo) cuadrado más pequeño. De esta reflexión podemos entresacar que, si nos fijáis bien, podemos escribir cualquier número cuadrado de la forma $n^2$, donde $n$ es un entero positivo. En consecuencia, los diez primero números cuadrados son:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
ENUNCIADO. Una plantación de árboles tienes forma cuadrada. El área de la plantación es de 1 hectárea y tiene forma rectangular. Se divide dicho rectángulo en cuadrados de 4 metros de lado y en el centro de cada uno de dichos cuadrados se planta un árbol. ¿ Cuántos árboles habrá que plantar ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.
Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de 2020 - Estadística descriptiva de una variable. Frecuencias acumaladas ( absolutas y relativas )
INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base
ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra
lunes, 20 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Número de ordenaciones. Principios del recuento
INDICACIÓN. En un estante tenemos cinco libros: El Quijote de la Mancha, Moby Dick, Las aventuras de Huckelberry Finn, y un diccionario de inglés, ¿ de cuántas maneras podemos colocarlos ?
ENUNCIADO.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
ENUNCIADO.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Parámetros de situación/posición
INDICACIÓN. Lee las páginas 269, 269 y 270 del libro base
ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?
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SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$
Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.
ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?
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SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$
Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Cantidades periódicas
ENUNCIADO. Si hoy es lunes, ¿ qué día de la semana será dentro de 1045 días ?
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SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$
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SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$
Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Muestreo
INDICACIÓN. Lee las páginas 260 y 261 del libro base
Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.
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SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.
Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.
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SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.
viernes, 17 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio de inclusión-exclusión.
ENUNCIADO. En un club de lectura hay 100 socios/as. En dicho club se leen libros y revistas. Al preguntar a todas y cada una de esas personas recogemos la siguiente información: 60 personas dicen que leen libros, y 70 personas dicen que leen revistas. ¿ Cuántas personas socias leen solamente libros ? ¿ Cuántas leen solamente revistas ? ¿ Cuántas leen libros y, también, revistas ?
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
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RMT - Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio del palomar.
ENUNCIADO. Busca en la Wikipedia "principio del palomar" y resume brevemente lo que has entendido. Piensa en algún caso práctico en el que podría aplicarse dicho principio.
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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
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SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
Ejercicio 4 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representación de la gráfica de una función lineal
Ejercico número 14 de la página 243 del libro base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
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SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representaciones gráficas de algunas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Ejemplos sencillos de gráficas de relaciones binarias y gráficas de funciones
Ejercico número 13 de la página 243 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
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SOLUCIÓN.
jueves, 16 de abril de 2020
ESO2 - Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas
NOTA: Disculpad. En algún momento de la grabación, por esos errores de locución que suele darse en las grabaciones en directo, me he referido (indebidamente ) a los diagramas de flechas como diagramas 'digitales', cuando debería haber dicho diagramas sagitales. Cosas que pasan ... tonterías que a veces se dicen.
martes, 14 de abril de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Gráficas de funciones. Funciones lineales afines. Uso de la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=-2x+3$. Elabora una tabla numérica, calculando las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ y representa los pares de números que así obtendrás en un diagrma cartesiano. ¿ Qué puedes decir acerca de este conjunto de puntos ?
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Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Funciones
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=4x-1$. Calcula:
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
Así pues, $x=\dfrac{3}{4}$
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
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SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Árboles equidistantes dispuestos en hilera
ENUNCIADO. Queremos plantar 24 árboles en hilera, igualmente distanciados unos de otros. Entre el primero y el último tiene que haber una distancia de 299 metros. ¿ Cuál deberá ser la distancia entre dos árboles contiguos ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
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SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Recuento de posibilidades. Principio de independencia.
ENUNCIADO. En un restaurante al que vas a cenar te dejan elegir tres opciones para el primer plato; dos para el segundo, y cuatro para el postre. ¿ Cuantas posibilidades tienes para elegir lo que quieres comer ?
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SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 10 de abril de 2020
ESO2 - Recordad: La propiedad de Euler, v-a+c=2, sólo se cumple en los poliedros convexos
Supongamos que se cumpla en un poliedro cóncavo. Aquí tenéis algunos contraejemplos:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
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