Ejercicio 5 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Probabilidad geométrica

ENUNCIADO. El del ejercicio 67 de la página 300 del libro base

AYUDA. Lee antes el ejercicio resuelto número 66 de la página 299 del libro base

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. Éste es un ejercicio en el que hay que utilizar la noción de probabilidad geométrica: al situar un punto al azar dentro del recinto cuadrado $Q$, la probabilidad de que dicho punto esté dentro del círculo $C$ es igual a la razón del área del círculo y el área del cuadrado, lo cual se desprende del principio de Laplace. Así pues, $P(C)=\dfrac{\mathcal{Á}(C)}{\mathcal{Á}(Q)}=\dfrac{\pi \cdot 5^2}{20^2}=\pi\,\dfrac{5^2}{20^2}=\pi\,\left(\dfrac{5}{20}\right)^2=\pi\,\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{\pi}{16}\approx 0,20=20\,\%$

COMENTARIO: El método numérico para el cálculo aproximado de áreas y volúmenes, conocido como método de Monte Carlo, se basa precisamente en el concepto de probabilidad geométrica

Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. A vueltas con la noción de probabilidad geométrica.

Ejercicio 65 de la página 299 del libro base ( ligeramente modificado )

ENUNCIADO. Una ruleta que tiene forma de círculo está dividida en seis sectores circulares, cinco de ellos ( A, B, C, D y E ) tienen los siguientes valores de ángulo central: $45^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$, y $60^\circ$, respectivamente. Calcula la probabilidad de obtener dichos resultados, así como la de obtener el del sexto sector F.

AYUDA. La probabilidad de que la ruleta quede en un determinado sector es proporcional al área del mismo.

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SOLUCIÓN.
Por el principio de Laplace, la probabilidad de que se obtenga como resultado un cierto sector $X$ del círculo ( el índice de la ruleta cae en él al quedarse ésta parada ) es igual a $P(X)=\dfrac{\mathcal{Á}(X)}{\pi\,r^2}$, y como el área del sector circular es proporcional a la medida de su ángulo central $\hat{X}$, la probabilidad anterior se puede escribir como $P(X)=\dfrac{\hat{X}}{360^{\circ}}$

Así pues, $P(A)=P(B)=\dfrac{45}{360}=\dfrac{1}{8}$; $P(C)=P(D)=\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$, y $P(E)=\dfrac{360-2\cdot(45+60)}{360}=\dfrac{5}{12}$

COMPROBACIÓN. La suma de las probabilidades ha de ser igual a $1$( probabilidad total); en efecto, $2\cdot (\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})+\dfrac{5}{12}=\ldots=1$