NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
viernes, 17 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio de inclusión-exclusión.
ENUNCIADO. En un club de lectura hay 100 socios/as. En dicho club se leen libros y revistas. Al preguntar a todas y cada una de esas personas recogemos la siguiente información: 60 personas dicen que leen libros, y 70 personas dicen que leen revistas. ¿ Cuántas personas socias leen solamente libros ? ¿ Cuántas leen solamente revistas ? ¿ Cuántas leen libros y, también, revistas ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio del palomar.
ENUNCIADO. Busca en la Wikipedia "principio del palomar" y resume brevemente lo que has entendido. Piensa en algún caso práctico en el que podría aplicarse dicho principio.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
Ejercicio 4 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representación de la gráfica de una función lineal
Ejercico número 14 de la página 243 del libro base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representaciones gráficas de algunas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Ejemplos sencillos de gráficas de relaciones binarias y gráficas de funciones
Ejercico número 13 de la página 243 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
jueves, 16 de abril de 2020
ESO2 - Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas
NOTA: Disculpad. En algún momento de la grabación, por esos errores de locución que suele darse en las grabaciones en directo, me he referido (indebidamente ) a los diagramas de flechas como diagramas 'digitales', cuando debería haber dicho diagramas sagitales. Cosas que pasan ... tonterías que a veces se dicen.
martes, 14 de abril de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Gráficas de funciones. Funciones lineales afines. Uso de la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=-2x+3$. Elabora una tabla numérica, calculando las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ y representa los pares de números que así obtendrás en un diagrma cartesiano. ¿ Qué puedes decir acerca de este conjunto de puntos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Funciones
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=4x-1$. Calcula:
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
Así pues, $x=\dfrac{3}{4}$
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Árboles equidistantes dispuestos en hilera
ENUNCIADO. Queremos plantar 24 árboles en hilera, igualmente distanciados unos de otros. Entre el primero y el último tiene que haber una distancia de 299 metros. ¿ Cuál deberá ser la distancia entre dos árboles contiguos ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Recuento de posibilidades. Principio de independencia.
ENUNCIADO. En un restaurante al que vas a cenar te dejan elegir tres opciones para el primer plato; dos para el segundo, y cuatro para el postre. ¿ Cuantas posibilidades tienes para elegir lo que quieres comer ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 10 de abril de 2020
ESO2 - Recordad: La propiedad de Euler, v-a+c=2, sólo se cumple en los poliedros convexos
Supongamos que se cumpla en un poliedro cóncavo. Aquí tenéis algunos contraejemplos:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
viernes, 3 de abril de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Análisis cualitativo de una función ( a partir de su gráfica )
ENUNCIADO: el del ejercicio 12 de la página 241
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )
Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Crecimiento y decrecimiento
Ejercicio 10 de la página 240 del libro base
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con potencias de base entera y de exponente un número natural
ENUNCIADO. Escribe cada uno de los siguientes productos en forma de una única potencia:
a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
$=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
$=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
$=2^{5}\cdot 2^{4}$
$=2^{5+4}$
$=2^{9}$
b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
$=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
$=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
$=3^{4}\cdot 3^{4}$
$=3^{4+4}$
$=3^{8}$
c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
$=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
$=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
$=5^{9} \cdot 5^{24}$
$=5^{9+24}$
$=5^{33}$
d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
$=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
$=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
$=7^{2}\cdot 7^{6}$
$=7^{2+6}$
$=7^{8}$
a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
$=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
$=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
$=2^{5}\cdot 2^{4}$
$=2^{5+4}$
$=2^{9}$
b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
$=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
$=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
$=3^{4}\cdot 3^{4}$
$=3^{4+4}$
$=3^{8}$
c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
$=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
$=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
$=5^{9} \cdot 5^{24}$
$=5^{9+24}$
$=5^{33}$
d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
$=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
$=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
$=7^{2}\cdot 7^{6}$
$=7^{2+6}$
$=7^{8}$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Aproximación de raíces cuadradas de números enteros positivos pequeños
ENUNCIADO. Escribe el número entero positivo menor que la raíz cuadrada que se pide que sea el más próximo a ésta, y escribe también el resto de dicha aproximación:
a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
miércoles, 1 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril
ENUNCIADO. Efectua la siguiente suma de productos de dos maneras distintas:
$5·34+5·13+5·36+5·17$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
$5·34+5·13+5·36+5·17$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con números enteros
ENUNCIADO. Halla las cifras que faltan en la siguiente suma:
$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Puntos de corte con los ejes de coordenadas
Ejercicio 9 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$
INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verlas en tamaño natural )
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$
INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verlas en tamaño natural )
Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Discontinuidades
Ejercicio 8 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):
INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):
INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente
lunes, 30 de marzo de 2020
RMT - Ejercicio 2 de la seman del 30 de marzo al 5 de abril - Unidades agrarias de área, proporcionalidad
ENUNCIADO. Un agricultar tiene que arar unos campos de cultivo que, en total, tienen una extensión de 0,1 kilómetros cuadrados. Con su tractor, tarda 30 minutos en arar 500 metros cuadrados. ¿ Cuánto tiempo va a tardar para ararlo todo ?.
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Proporcionalidad, capacidad, volumen
ENUNCIADO. En un frasco hay 0,5 decilitros de medicamento que se administra mediante inyecciones. En cada inyección se administran 2 centímetros cúbicos de medicamento. ¿ Par cuántas inyecciones tenemos ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones
Ejercicio 2 de la página 237, Unidad 11, del libro base
ENUNCIADO. Averigua la fórmula que expresa la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Haz lo mismo con el área de un círculo y su radio.
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Averigua la fórmula que expresa la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Haz lo mismo con el área de un círculo y su radio.
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones
Ejercicio 1 de la página 237, Unidad 11, del libro base
ENUNCIADO. Confecciona una tabla de valores, haz una gráfica y halla una fórmula que describa la siguiente función: "La longitud de camino recorrido (en kilómetros) es igual a sesenta veces el tiempo transcurrido ( en horas )"
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Confecciona una tabla de valores, haz una gráfica y halla una fórmula que describa la siguiente función: "La longitud de camino recorrido (en kilómetros) es igual a sesenta veces el tiempo transcurrido ( en horas )"
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
jueves, 26 de marzo de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Trapecio equilátero
ENUNCIADO. Calcula el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas basas miden 12 centímetros y 16 centímetros, respectivamente, y la distancia perpendicular entre ellas es de 4 decímetros.
INDICACIÓN. Consulta en la Wikipedia la entrada "trapecio"
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic sobre la imagen para verla en su tamaño natural )
A continuación, calculemos el perímetro, $\mathcal{P}$:
$\mathcal{P}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$, y como $|AB|=|CD|$, tenemos que $\mathcal{P}=2|AB|+|BC|+|CD|$ (1)
Para calcular $|AB|$ aplicamos el teorema de Pitágoras en $\triangle ABB'$: $|AB|=|\sqrt{|AB'|^2+|BB'|^2}|=|\sqrt{2^2+40^2}|=|\sqrt{1604}|$ cm
Por consiguiente, de (1), $\mathcal{P}=2|\sqrt{1604}|+12+16\approx 108$ cm
$\square$
INDICACIÓN. Consulta en la Wikipedia la entrada "trapecio"
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic sobre la imagen para verla en su tamaño natural )
A continuación, calculemos el perímetro, $\mathcal{P}$:
$\mathcal{P}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$, y como $|AB|=|CD|$, tenemos que $\mathcal{P}=2|AB|+|BC|+|CD|$ (1)
Para calcular $|AB|$ aplicamos el teorema de Pitágoras en $\triangle ABB'$: $|AB|=|\sqrt{|AB'|^2+|BB'|^2}|=|\sqrt{2^2+40^2}|=|\sqrt{1604}|$ cm
Por consiguiente, de (1), $\mathcal{P}=2|\sqrt{1604}|+12+16\approx 108$ cm
$\square$
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Unidades de medida y proporcionalidad
ENUNCIADO.
Un vehículo viaja a una velocidad de 85 kilómetros por hora. Se pide:
a) Expresa dicha velocidad en metros por minuto.
b) ¿ Cuántos metros recorre en 2 minutos y 40 segundos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
Un vehículo viaja a una velocidad de 85 kilómetros por hora. Se pide:
a) Expresa dicha velocidad en metros por minuto.
b) ¿ Cuántos metros recorre en 2 minutos y 40 segundos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Relación entre las longitudes de los elementos de un tronco de cono
Ejercicio número 15 de la página 220
ENUNCIADO. Calcula el radio de la base menor de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor es de 13 centímtros, la altura del tronco de cono es de 15 centímetros y la prolongación de la altura mide 9 centímetros.
INDICACIÓN. Lee la página 220 del libro base.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Calcula el radio de la base menor de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor es de 13 centímtros, la altura del tronco de cono es de 15 centímetros y la prolongación de la altura mide 9 centímetros.
INDICACIÓN. Lee la página 220 del libro base.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - área lateral, área de la base, área total y volumen de un cilindro
Ejercicio número 6 de la página 218
ENUNCIADO. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de base circular, de 5 cm de radio y 16 cm de altura.
INDICACIÓN. Lee la página 218 del libro base.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de base circular, de 5 cm de radio y 16 cm de altura.
INDICACIÓN. Lee la página 218 del libro base.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
lunes, 23 de marzo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020
Ejercicio número 12 ( ampliado ) de la página 219 del libro base
ENUNCIADO. Un cono está engendrado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 8 centímetros. Calcula:
a) El diámetro de la base
b) La generatriz del cono
c) El área lateral del cono
d) El volumen del cono
e) El área de la base
INDICACIÓN. Lee con atención la página número 219
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Un cono está engendrado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 8 centímetros. Calcula:
a) El diámetro de la base
b) La generatriz del cono
c) El área lateral del cono
d) El volumen del cono
e) El área de la base
INDICACIÓN. Lee con atención la página número 219
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo - cilindro
Ejercicio número 9 de la página 218 ( ligeramente modificado ) del libro base
ENUNCIADO. Calcula el volumen de un lápiz sin punta, de forma cilíndrica, que tiene 20 centímetros de longitud y cuya base circular tiene un diámetrno de 1 centímetro. Calcula también el área lateral.
INDICACIÓN. Lee con atención las páginas 216, 217 y 218
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula el volumen de un lápiz sin punta, de forma cilíndrica, que tiene 20 centímetros de longitud y cuya base circular tiene un diámetrno de 1 centímetro. Calcula también el área lateral.
INDICACIÓN. Lee con atención las páginas 216, 217 y 218
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - aplicaciones de las fracciones
ENUNCIADO. Un depósito de agua está medio lleno. Juan añade una tercera parte la cantidad que contiene, y, a continuación, Merche repone una cantidad de agua igual a una quina parte de la capacidad del depósito. Luego, Andrés vacía el depósito tal como la ha dejado Merche, llevándose 26 L de agua. ¿ Qué capacidad tiene el depósito ?
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - operaciones combinadas con fracciones
ENUNCIADO. Efectúa la siguiente operación combinada, calculando la fracción reducida resultante $$\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{6}{5}-\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$$
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 20 de marzo de 2020
jueves, 19 de marzo de 2020
URGENTE. - Por favor, utilizad el aula virtual durante este periodo de confinamiento por el Covid19
Estimada madre y estimado padre:
Las tareas de Matemáticas de todos mis cursos para mis alumnos y alumnas están organizadas en el Aula Virtual del curso que les corresponda:
2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=57
RMT - 2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=63
3.º de ESO ( grupos A y B&C: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=58
4.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=60
Desde la misma, tu hijo/hija - con tus apellidos no deduzco de quién se trata - puede comunicarse conmigo a través de la mensajería interna ( del aula ). Tal como se explica en el plan de trabajo que está colgado en la página web del instituto, es necesario que los alumnos y alumnas se automatriculen en el aula virtual, identificándose primero en el sistema, con el nombre de usuario/a y contraseña proporcionada por EducaMadrid a través del instituto; si tu hijo/a no tiene dicha acreditación, tienes que telefonear al instituto para que te la proporcionen y guardarla a buen recaudo. Por otra parte, y como medida de emergencia para paliar la eventualidad de no disponer de credenciales, el aula está abierta a visitantes, los cuales pueden visualizar todos los contenidos de la misma, si bien no pueden participar activamente en los foros de dudas y ejercicios, cuestionarios, envío de tareas, etcétera; en tal caso, tampoco podrían participar en otras actividades evaluables que se realicen a distancia. Por ello - insisto - es inprescindble automatricularse ( no se necesita clave de aula para ello ) y es muy sencillo; en el aula virtual, en "Novedades" he colgado un vídeo explicativo, para que no haya ninguna duda de cómo hacerlo.
El trabajo está organizado por semanas. La exposición de contenidos la estoy haciendo mediante vídeos de mi canal de vídeo didácticod [ https://www.youtube.com/c/Cuadernosdematematicas ]. Las tareas están en los foros de ejercicios y dudas. Los alumnos y alumnas tienen que realizar en sus cuadernos de clase ( bolígrafo y papel ) los ejercicios que se van proponiendo en los hilos (de los foros) respectivos. Cada hilo ( ejercicio ) enlaza a una entrada del blog de Matemáticas de la asignatura que corresponda a tu hijo/a:
2.º de ESO: https://cdme2.blogspot.com/
3.º de ESO: https://cdme3.blogspot.com/
4.º de ESO: https://cdme4.blogspot.com/
Desde luego, los alumnos y alumnas pueden (deben) participar activamente en los foros de ejercicios y dudas, exponiendo dudas e interviniendo en los debates que se generen, lo cual también es evaluable. Después de un plazo de 48 horas como máximo de haber propuesto cada ejercicio, añado la solución debajo del enunciado, en la misma entrada del blog -- todo esto se explica concienzudamente en las indicaciones que he ido colgando hasta el momento --. Una vez haya aparecido la solución ( resolución y comentarios ) de cada ejercicio -- los alumnos/as tienen que preocuparse de consultar otra vez dicha entrada del blog ( enlazada en el ejercicio del foro semanal )- y corregir lo que proceda en sus cuadernos, en color rojo -- tal como se viene haciendo en las clases presenciales desde inicio de curso -. Cuando sea posible volver al instituto, por supuesto, revisaré los cuadernos.
En la cabecera del aula virtual encontrarás un foro de "Novedades", que es muy importante consultar, pues desde dicho foro voy informando y estableciendo las eventuales indicaciones e instrucciones concretas que puedan sobrevenir sobre el trabajo en mi aula virtual de Matemáticas de 3.º de ESO A y B&C.
Probablemente, y a efectos de evaluación, tu hijo/hija también tendrá que enviar algún trabajo y responder a cuestionarios en línea (desde el aula virtual), que, de momento, todavía no he habilitado. Todo ello se hará conforme a las instrucciones que vayan apareciendo en el aula virtual. Por ello, vuelvo a insistir: es de primera necesidad que tu hijo/a acceda al aula virtual y se automatricule en la misma.
Todos los viernes tenemos sesión de tutoría de 3.º de ESO A, de 13:35 a 14:30 ( en regimen normal de clases ). Para suplirla durante el tiempo que dure la emergencia sanitaria, he habilitado una sala de conversación ( 'chat' ) en la misma aula virtual de Matemáticas, que se encuentra en la cabecera del aula virtual. La sala de conversación estará abierta todos los viernes a esta hora. Para consultas privadas de tutoría, utiliza, por favor, este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).
He dispuesto dos correos para comunicaciones de emergencia ( previendo el caso que se colapsen los servidores de las aulas virtuales ): fscymtmcs@gmail.com ( para la asignatura de Matemáticas ) y joan.aranes@educa.madrid.org ( para mi tutoría de 3.º de ESO )
Si tienes cualquier otra duda acerca de la organización en mi asignatura y en mi tutoría durante el periodo de emergencia sanitaria, por favor, utiliza este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).
Salud
Joan
miércoles, 18 de marzo de 2020
Ejercicio 4 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Cálculo del área de un poliedro regular
Ejercicio 8 de la página 195
ENUNCIADO. Calcula el área de un tetraedro, la de un hexaedro, la de un octaedro y la de un icosaedro, todos ellos regulares de 10 cm de arista.
INDICACIÓN. Lee las páginas 194 y 195 del libro base
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula el área de un tetraedro, la de un hexaedro, la de un octaedro y la de un icosaedro, todos ellos regulares de 10 cm de arista.
INDICACIÓN. Lee las páginas 194 y 195 del libro base
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Pirámides
Ejercicio 22 de la página 201 del libro base
ENUNCIADO. Calcula la apotema y la altura de una pirámide de base hexagonal regular de 8 cm de lado de la base y 17 cm de arista lateral
INDICACIÓN. Lee la página 201 del libro base
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula la apotema y la altura de una pirámide de base hexagonal regular de 8 cm de lado de la base y 17 cm de arista lateral
INDICACIÓN. Lee la página 201 del libro base
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Operaciones combinadas con números enteros
ENUNCIADO. Realiza la siguiente operación combinada, obteniendo el número entero resultante:
$$\text{opuesto}(|1-3|)+2\cdot(4-12)\div 4+(2-6)^3$$
SOLUCIÓN.
$$\text{opuesto}(|1-3|)+2\cdot(4-12)\div 4+(2-6)^3$$
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Proporcionalidad
ENUNCIADO. Aprovechando unas rebajas en las que se hace un 6% de descuento sobre el precio de todos los productos, Elvira ha comprado un electrodoméstico por el cual ha pagado 125 euros. ¿ Cuál es el precio de dicho electrodoméstico ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 16 de marzo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
Ejercicio 3 de la página 193 del libro base
ENUNCIADO. Un poliedro convexo tiene seis caras y ocho vértices. ¿ Cuántas aristas tiene ?
SOLUCIÓN. Según la propiedad de Euler, v-a+c=2, donde v indica el número de vértices; a, el número de aristas, y c el número de caras. Entonces, 8-a+6=2, luego a=8+6-2=12
ENUNCIADO. Un poliedro convexo tiene seis caras y ocho vértices. ¿ Cuántas aristas tiene ?
SOLUCIÓN. Según la propiedad de Euler, v-a+c=2, donde v indica el número de vértices; a, el número de aristas, y c el número de caras. Entonces, 8-a+6=2, luego a=8+6-2=12
Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
Ejercicio número 26 de la página 203 del texto base.
ENUNCIADO. Una pirámide recta tiene como base un cuadrado de 34,50 m de lado. Sabiendo que la altura es de 21,65 m, calcula:
a) el área lateral
b) el volumen
AYUDA. Recuerda que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del área de la base por la altura.
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Una pirámide recta tiene como base un cuadrado de 34,50 m de lado. Sabiendo que la altura es de 21,65 m, calcula:
a) el área lateral
b) el volumen
AYUDA. Recuerda que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del área de la base por la altura.
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020
Ejercicio número 86 de la página 207 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el volumen de la escalera de la figura. Cada escalón mide lo mismo de altura y de profundidad. Si ponemos una alfombra cara cubrir los peldaños, ¿ qué superficie debe tener ?
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Halla el volumen de la escalera de la figura. Cada escalón mide lo mismo de altura y de profundidad. Si ponemos una alfombra cara cubrir los peldaños, ¿ qué superficie debe tener ?
SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020
ENUNCIADO. Las aristas de una piscina que tiene forma de prisma recto de base rectangular ( ortoedro ) miden 8, 12 y 3 metros, respectivamente. Calcula la capacidad de la misma expresada en litros.
NOTA (1). Dentro de un máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
NOTA (2). Si utilizas un smartphone tienes que hacer clic en "visualiza como página web" para poder leer bien las fórmulas en pantalla
SOLUCIÓN. El volumen de la piscina es igual a $8·12·3=288\, \text{m}^3$, luego teniendo en cuenta que $1 \, \text{m}^3$ corresponde a $1\,000 \, \text{L}$ de capacidad, en la piscina caben $288\, \text{m}^3·1000\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^3}=288\,000\,\, \text{L}$
$\square$
NOTA (1). Dentro de un máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
NOTA (2). Si utilizas un smartphone tienes que hacer clic en "visualiza como página web" para poder leer bien las fórmulas en pantalla
SOLUCIÓN. El volumen de la piscina es igual a $8·12·3=288\, \text{m}^3$, luego teniendo en cuenta que $1 \, \text{m}^3$ corresponde a $1\,000 \, \text{L}$ de capacidad, en la piscina caben $288\, \text{m}^3·1000\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^3}=288\,000\,\, \text{L}$
$\square$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
ENUNCIADO. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4 dm de radio
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020
ENUNCIADO. Calcula el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 5 dm
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo
ENUNCIADO. Calcula el área de un triángulo equilátero de 12 decímetros de lado.
AYUDA. Tendrás que emplear el teorema de Pitágoras.
SOLUCIÓN.
AYUDA. Tendrás que emplear el teorema de Pitágoras.
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 9 al 15 de marzo
ENUNCIADO. Busca en Wikipedia las medidas de un campo de juego reglamentario de fútbol y calcula su área y su perímetro. ¿ Cuál es el número de vueltas que debemos dar al campo para asegurarnos de haber recorrido 7 kilómetros ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Ejercicio 2 de la semana del 12 al 15 de marzo
ENUNCIADO. ¿ Es posible embalar una varilla recta y rígida de 3,8 dm de
longitud en una caja que tiene forma de prisma recto de base rectangular
cuyas aristas midel 1, 2 y 3 dm, respectivamente ? Haz los cálculos y
escribe el razonamiento de manera clara.
SOLUCIÓN.
longitud en una caja que tiene forma de prisma recto de base rectangular
cuyas aristas midel 1, 2 y 3 dm, respectivamente ? Haz los cálculos y
escribe el razonamiento de manera clara.
SOLUCIÓN.
miércoles, 11 de marzo de 2020
Teletrabajo y emergencia sanitaria por el Covid19
COMUNICADO IMPORTANTE
Para paliar las consecuencias del cierre de aulas presenciales por la emergencia sanitaria del Covid19, vamos a esforzarnos en el uso de las herramientas virtuales. Especialmente nos centraremos en el trabajo en las siguientes aulas virtuales:
(1) Aula Virtual de Matemáticas de 2.º de ESO
(2) Aula Virtual de Recuperación de Matemáticas de 2.º de ESO ( para los que también estéis matriculados en esta optativa).
Recordad que para el jueves 26/03/2020 está programado el examen de recuperación del 2.º trimestre (temas 5,6,7 y 8) de Matemáticas de 2.º de ESO, y el viernes 27/03/2020 el examen de recuperación del 2.º trimestre de Recuperación de Matemáticas.
Por otra parte, os pido que durante estos días sin clase presencial estudiéis también las unidades didácticas 9 ( Poliedros ) y 10 ( Cuerpos redondos ) del libro de texto base, leyendo las dos lecciones, haciendo resúmenes y realizando ejercicios, por lo menos los que aparecen en cada uno de los epígrafes. Como podréis ver, en el aula virtual iré guiando vuestro trabajo. Consultad también el calendario del aula virtual, que encontraréis en la parte superior del marco lateral derecho ( del aula virtual ), por si hubiese algún cambio en las fechas..
Los alumnos y las alumnas de Recuperación de Matemáticas también realizaréis en vuestro cuaderno los ejercicios que aparecerán en los foros de ejercicios de vuestra aula virtual, corrigiéndolos ( en color rojo ) cuando, uno o dos días después de haberlos propuesto, vaya colgando las resoluciones.
He organizado el aula virtual por espacios semanales, intentando emular las sesiones presenciales. En ella encontraréis vídeos explicativos, tareas propuestas, y las correcciones de las mismas, que colgaré debajo del enunciado a posterior ( después de uno o dos días de haberlos propuesto). La participación a través del aula virtual contará como nota B ( con un peso del 20% ). En el caso de tener que realizar alguna prueba a distancia de tipo "examen" de los temas 10 y 11 se haría mediante cuestionarios, que contarían como nota A ( con un peso del 80% ), si bien confío en que el examen presencial de estos dos temas pueda hacerse después del final de la emergencia sanitaria, que se espera para dentro de unos quince días, el jueves 26/03/2020; probablemente, a la vuelta de las vacaciones de Semana Santa.
Para participar activamente en el aula virtual es necesario que os identifiquéis en el sistema con vuestras credenciales de EducaMadrid. Si no las tenéis o las habéis perdido, poneros en contacto telefónico con el IES y se os facilitarán. Tenéis que automatricularos en cada aula virtual (no se requiere clave de automatriculación) si todavía no lo habéis hecho. En caso de que, por alguna razón, no pudieseis acceder como participantes en el aula virtual, os recuerdo que aún sin tener las credenciales podéis visualizar el contenido entrando como invitados, pero en tal caso no podréis participar activamente ( interviniendo en los foros de ejercicios, enviando cuestionarios con vuestras respuestas, etcétera ).
Como de costumbre, es necesario que vayáis trabajando también con vuestro cuaderno de clase, que ya sabéis que cuenta como nota B, y, por supuesto, con el libro de texto base, ya que, junto con las pruebas escritas se espera que se podrá evaluar (el trabajo de cuaderno) en cuanto se retomen las clases presenciales. Espero que teleestudiéis mucho desde vuestras casas y que utilicéis todos los recursos que hemos puesto a vuestra disposición. Los profesores y profesoras estaremos atendiendo las aulas virtuales en jornada laboral.
Recordad que os facilité también una dirección de correo electrónico, fscymtmcs@gmail.com, para que podáis consultarme dudas en el caso de que, como último recurso, no dispongáis de las credenciales para el aula virtual; en tal caso, os recuerdo una vez más que también podéis visualizar los contenidos si entráis en calidad de visitantes. También dejaré abiertos los espacios de comentarios de las entradas de mis blogs, por si queréis intervenir también de esta manera. Pero, repito, lo importante es que os centréis en las aulas virtuales. Desde éstas dirigiré todos los enlaces a mis materiales externos, y es en éstas donde espero que interactuemos de manera habitual en el día a día de las clases ( virtuales ).
Cuidaros mucho y hasta pronto
Joan
Para paliar las consecuencias del cierre de aulas presenciales por la emergencia sanitaria del Covid19, vamos a esforzarnos en el uso de las herramientas virtuales. Especialmente nos centraremos en el trabajo en las siguientes aulas virtuales:
(1) Aula Virtual de Matemáticas de 2.º de ESO
(2) Aula Virtual de Recuperación de Matemáticas de 2.º de ESO ( para los que también estéis matriculados en esta optativa).
Recordad que para el jueves 26/03/2020 está programado el examen de recuperación del 2.º trimestre (temas 5,6,7 y 8) de Matemáticas de 2.º de ESO, y el viernes 27/03/2020 el examen de recuperación del 2.º trimestre de Recuperación de Matemáticas.
Por otra parte, os pido que durante estos días sin clase presencial estudiéis también las unidades didácticas 9 ( Poliedros ) y 10 ( Cuerpos redondos ) del libro de texto base, leyendo las dos lecciones, haciendo resúmenes y realizando ejercicios, por lo menos los que aparecen en cada uno de los epígrafes. Como podréis ver, en el aula virtual iré guiando vuestro trabajo. Consultad también el calendario del aula virtual, que encontraréis en la parte superior del marco lateral derecho ( del aula virtual ), por si hubiese algún cambio en las fechas..
Los alumnos y las alumnas de Recuperación de Matemáticas también realizaréis en vuestro cuaderno los ejercicios que aparecerán en los foros de ejercicios de vuestra aula virtual, corrigiéndolos ( en color rojo ) cuando, uno o dos días después de haberlos propuesto, vaya colgando las resoluciones.
He organizado el aula virtual por espacios semanales, intentando emular las sesiones presenciales. En ella encontraréis vídeos explicativos, tareas propuestas, y las correcciones de las mismas, que colgaré debajo del enunciado a posterior ( después de uno o dos días de haberlos propuesto). La participación a través del aula virtual contará como nota B ( con un peso del 20% ). En el caso de tener que realizar alguna prueba a distancia de tipo "examen" de los temas 10 y 11 se haría mediante cuestionarios, que contarían como nota A ( con un peso del 80% ), si bien confío en que el examen presencial de estos dos temas pueda hacerse después del final de la emergencia sanitaria, que se espera para dentro de unos quince días, el jueves 26/03/2020; probablemente, a la vuelta de las vacaciones de Semana Santa.
Para participar activamente en el aula virtual es necesario que os identifiquéis en el sistema con vuestras credenciales de EducaMadrid. Si no las tenéis o las habéis perdido, poneros en contacto telefónico con el IES y se os facilitarán. Tenéis que automatricularos en cada aula virtual (no se requiere clave de automatriculación) si todavía no lo habéis hecho. En caso de que, por alguna razón, no pudieseis acceder como participantes en el aula virtual, os recuerdo que aún sin tener las credenciales podéis visualizar el contenido entrando como invitados, pero en tal caso no podréis participar activamente ( interviniendo en los foros de ejercicios, enviando cuestionarios con vuestras respuestas, etcétera ).
Como de costumbre, es necesario que vayáis trabajando también con vuestro cuaderno de clase, que ya sabéis que cuenta como nota B, y, por supuesto, con el libro de texto base, ya que, junto con las pruebas escritas se espera que se podrá evaluar (el trabajo de cuaderno) en cuanto se retomen las clases presenciales. Espero que teleestudiéis mucho desde vuestras casas y que utilicéis todos los recursos que hemos puesto a vuestra disposición. Los profesores y profesoras estaremos atendiendo las aulas virtuales en jornada laboral.
Recordad que os facilité también una dirección de correo electrónico, fscymtmcs@gmail.com, para que podáis consultarme dudas en el caso de que, como último recurso, no dispongáis de las credenciales para el aula virtual; en tal caso, os recuerdo una vez más que también podéis visualizar los contenidos si entráis en calidad de visitantes. También dejaré abiertos los espacios de comentarios de las entradas de mis blogs, por si queréis intervenir también de esta manera. Pero, repito, lo importante es que os centréis en las aulas virtuales. Desde éstas dirigiré todos los enlaces a mis materiales externos, y es en éstas donde espero que interactuemos de manera habitual en el día a día de las clases ( virtuales ).
Cuidaros mucho y hasta pronto
Joan
lunes, 10 de febrero de 2020
Explicación de la fórmula del interés simple y resolución de algunos ejericios a modo de ejemplos prácticos
jueves, 6 de febrero de 2020
martes, 17 de septiembre de 2019
Presentación del primer tema del nuevo curso
En este primer tema de este nuevo curso, que lleva el título de "Divisibilidad y números enteros", estudiaremos los siguientes contenidos:
Operaciones básicas con números enteros y sus propiedades
Divisores y múltiplos
Operaciones básicas con números enteros y sus propiedades
- Suma y resta ( la resta puede verse como una operación combinada de la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo )
- Producto
- División entera
- Operaciones combinadas con números enteros
Divisores y múltiplos
- Números primos y números compuestos
- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
miércoles, 20 de septiembre de 2017
Cuántos litros caben en el depósito sabiendo que ...
ENUNCIADO. En un depósito quedan $10$ litros de combustible, que representa el $20\,\%$ de la capacidad del depósito. ¿ Cuántos litros caben en dicho depósito ?.
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la capacidad del depósito, entonces podemos plantear la siguiente proporción directa: $$\dfrac{x}{10}=\dfrac{100}{20}$$ con lo cual $$x=\dfrac{10\cdot 100}{20}=50\; \text{litros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la capacidad del depósito, entonces podemos plantear la siguiente proporción directa: $$\dfrac{x}{10}=\dfrac{100}{20}$$ con lo cual $$x=\dfrac{10\cdot 100}{20}=50\; \text{litros}$$
$\square$
lunes, 10 de octubre de 2016
Exercici sobre el càlcul de l'àrea d'un triangle rectangle
Enunciat:
Calculeu l'àrea del triangle rectangle de la figura
Resolució.
$A=\dfrac{6 \cdot a }{2} \quad \quad (1)$
Calcularem l'altura $a$ a partir del triangle rectangle (la meitat del t. equilater):
$10^2=a^2+6^2$ (teorema de Pitàgores)
d'on
$a^2=100-36$
és a dir
$a^2=64$
i, per tant
$a=\sqrt{64} = 8 \; \text{cm}$
i, per tant, posant això a l'expressió de l'àrea (1), trobem
$A=\dfrac{6 \cdot 8}{2} \; \text{cm}^2$
que, simplificada, queda
$A = 24 \; \text{cm}^2$
$\square$
Un altre exercici sobre els factors d'escala dels mapes
Enunciat:
Calculeu l'àrea de la peça real de forma rectangular, que apareix dibuixada a escala $1:5$ a la figura de sota
Resolució.
La raó de semblança $r$ és igual a $5$ (cada costat té una longitud cinc vegades més gran a la realitat que la que indica el croquis). Llavors, l'àrea de la peça real és $r^2$ vegades més gran que l'àrea de la peça dibuixada. Per tant, com que l'àrea del rectangle del croquis mesura $3 \cdot 2 = 6 \; \text{cm}^2$, l'àrea de la peça real serà igual a $6 \cdot 5^2 \; \text{cm}^2$, és a dir, $150\; \text{cm}^2$
$\square$
Un exercici sobre el factor d'escala dels mapes
Enunciat:
La figura representa un mapa a escala $1:25\,000$ en el qual s'hi representen dues poblacions (A i B) connectades per un camí (línia vermella), la longitud del qual (sobre el mapa) és de $3\; \text{dm}$. Calculeu la longitud del trajecte real (sobre el terreny) entre les poblacions A i B, si es vol anar pel camí resenyat al mapa.
Resolució.
La raó de semblança $r$ és igual a $25\,000$ (una determinada magnitud de longitud és vint-i-cinc mil vegades més gran a la realitat que la mesurada sobre el mapa). Llavors, la longitud sobre el terreny del tros de camí que connecta A i B, és igual a $3 \cdot 25\,000 \; \text{dm}$, és a dir, $7\,500 \; \text{m}$, que, expressat en forma complexa, és igual a $7\;\text{km}$ i $500 \; \text{m}$
$\square$
jueves, 29 de septiembre de 2016
Un exercici sobre el càlcul de l'àrea i del perímetre d'una figura plana
Enunciat:
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn
Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $
Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$
$\square$
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn
Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $
Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$
$\square$
martes, 6 de septiembre de 2016
Un ejercicio de estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. A partir de los siguientes datos ( de una cierta variable estadística ) $$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
se pide:
a) Elaborar una tabla de frecuencias
b) Dibujar el diagrama de barras
c) Calcular la moda, la media y la mediana
SOLUCIÓN.
a)
b)
c)
La moda corresponde al valor que se repite un mayor número de veces, en este caso es igual $2$ ( se repite $7$ veces )
La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número de valores ( que es $19$ ): $\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 5 +4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$
La mediana es el valor central de los datos ordenados de menor a mayor; consultando la columna de frecuencias acumuladas vemos que es igual a $x_{10}=2$
$\square$
se pide:
a) Elaborar una tabla de frecuencias
b) Dibujar el diagrama de barras
c) Calcular la moda, la media y la mediana
SOLUCIÓN.
a)
b)
c)
La moda corresponde al valor que se repite un mayor número de veces, en este caso es igual $2$ ( se repite $7$ veces )
La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número de valores ( que es $19$ ): $\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 5 +4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$
La mediana es el valor central de los datos ordenados de menor a mayor; consultando la columna de frecuencias acumuladas vemos que es igual a $x_{10}=2$
$\square$
Resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2\,(x-1)=5\,(x+1)$
b) $\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x}$
SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=5\,(x+1)$
$2x-2=5x+5$
$-2+(-5)=5x+(-2x)$
$-2-5=5x-2x$
$-7=3x$
$x=\dfrac{-7}{3}$
$x=-\dfrac{7}{3}$
b)
$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x} \Leftrightarrow 3\,(1-x)=2\,(x+1)$
$3-3\,x=2x+2$
$3+(-2)=2x-(-3x)$
$3-2=2x+3x$
$1=5x$
$x=\dfrac{1}{5}$
$\square$
a) $2\,(x-1)=5\,(x+1)$
b) $\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x}$
SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=5\,(x+1)$
$2x-2=5x+5$
$-2+(-5)=5x+(-2x)$
$-2-5=5x-2x$
$-7=3x$
$x=\dfrac{-7}{3}$
$x=-\dfrac{7}{3}$
b)
$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x} \Leftrightarrow 3\,(1-x)=2\,(x+1)$
$3-3\,x=2x+2$
$3+(-2)=2x-(-3x)$
$3-2=2x+3x$
$1=5x$
$x=\dfrac{1}{5}$
$\square$
Área y perímetro de un trapecio isósceles
ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles tal que la longitud de cada uno de los lados oblicuos es igual a $5$ decímetros, siendo las longitudes de los lados paralelos $7$ y $13$ decímetros, respectivamente.
SOLUCIÓN.
El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$
Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$
Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
$\square$
Medidas en un depósito ...
ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ En cuánto tiempo se vaciará el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $3 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?
SOLUCIÓN.
a)
b) El volumen de un ortoedro viene dado por el producto de las longitudes de las tres aristas desiguales, $$V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \,\text{m}^3 = 6000\,\text{dm}^3$$
Teniendo en cuenta la equivalencia $1\,\text{dm}^3= 1\,\text{L}$, la capacidad $C$ del depósito es igual a $$C=6000\,\text{L}$$
c) Por la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman en la figura, $$d^2=1^2+2^2+3^2$$ por tanto $$d=\sqrt{14}\,\text{dm}$$ ( Observación: $3 < \text{14} < 4 $ )
d) Planteando la proporción entre la cantidad de agua que contiene el depósito en un momento dado y el tiempo que se tarda en vaciarla, $$\dfrac{3}{1}=\dfrac{6000}{t}$$ siendo $t$ el tiempo ( en minutos ) necesario para vaciar el depósito lleno. Así, $$\dfrac{t}{6000}=\dfrac{1}{3}$$ es decir $$t=\dfrac{6000}{3}=2000\, \text{min}=1\,\text{día}\;\; 9\,\text{h}\,\,20 \,\text{min}$$
$\square$
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ En cuánto tiempo se vaciará el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $3 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?
SOLUCIÓN.
a)
b) El volumen de un ortoedro viene dado por el producto de las longitudes de las tres aristas desiguales, $$V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \,\text{m}^3 = 6000\,\text{dm}^3$$
Teniendo en cuenta la equivalencia $1\,\text{dm}^3= 1\,\text{L}$, la capacidad $C$ del depósito es igual a $$C=6000\,\text{L}$$
c) Por la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman en la figura, $$d^2=1^2+2^2+3^2$$ por tanto $$d=\sqrt{14}\,\text{dm}$$ ( Observación: $3 < \text{14} < 4 $ )
d) Planteando la proporción entre la cantidad de agua que contiene el depósito en un momento dado y el tiempo que se tarda en vaciarla, $$\dfrac{3}{1}=\dfrac{6000}{t}$$ siendo $t$ el tiempo ( en minutos ) necesario para vaciar el depósito lleno. Así, $$\dfrac{t}{6000}=\dfrac{1}{3}$$ es decir $$t=\dfrac{6000}{3}=2000\, \text{min}=1\,\text{día}\;\; 9\,\text{h}\,\,20 \,\text{min}$$
$\square$
Relación entre los volúmenes y escala lineal
ENUNCIADO. Un cierto cubo tiene un volumen de $27$ decímetros cúbicos. Considérese ahora otro cubo cuya arista tiene una longitud igual a la tercera parte de la longitud de la arista del primer cubo, ¿ cuál es el volumen del segundo cubo ? ¿ Cuál es el área del desarrollo plano de cada uno de los dos cubos ?.
SOLUCIÓN. Llamemos $V$ al volumen pedido. Sabemos que $V < 27$. Sabemos también que la razón de los volúmenes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo $$\dfrac{V}{27}=r^3$$ siendo $r$ la razón de semejanza, que es igual a $\dfrac{1}{3}$. Así, $$\dfrac{V}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$ esto es $$\dfrac{V}{27}=\dfrac{1}{27}$$ y por tanto $$V=1\,\text{dm}^3$$
La longitud de la arista de dicho cubo es tal que $\ell^3=1$, luego $\ell=\sqrt[3]{1}=1\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo plano del cubo consta de $6$ cuadrados iguales, el área $A$ pedida es igual a $A=6\cdot \ell^2=6 \cdot 1^2=6\cdot 1=6 \,\text{dm}^2$
Por otra parte, el área del cubo grande $A'$ ha de cumplir que $$\dfrac{A}{A'}=r^2$$ así $$\dfrac{6}{A'}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{6}=9$$ luego $$A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$$
NOTA: Otro forma de calcular el área del cubo grande es la siguiente. Como sabemos que su volumen es de $27\,\text{dm}^3$, entonces la longitud de una de sus aristas ( todas iguales ) es $(\ell')^3=27$, por tanto $$\ell'=\sqrt[3]{27}=3\,\text{dm}$$ Por consiguiente, sus caras son cuadrados de $3\,\text{dm}$ de lado, y el área de una de sus caras es $3^2=9\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo del cubo consta de $6$ caras cuadradas iguales, el área pedida es $A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$
$\square$
SOLUCIÓN. Llamemos $V$ al volumen pedido. Sabemos que $V < 27$. Sabemos también que la razón de los volúmenes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo $$\dfrac{V}{27}=r^3$$ siendo $r$ la razón de semejanza, que es igual a $\dfrac{1}{3}$. Así, $$\dfrac{V}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$ esto es $$\dfrac{V}{27}=\dfrac{1}{27}$$ y por tanto $$V=1\,\text{dm}^3$$
La longitud de la arista de dicho cubo es tal que $\ell^3=1$, luego $\ell=\sqrt[3]{1}=1\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo plano del cubo consta de $6$ cuadrados iguales, el área $A$ pedida es igual a $A=6\cdot \ell^2=6 \cdot 1^2=6\cdot 1=6 \,\text{dm}^2$
Por otra parte, el área del cubo grande $A'$ ha de cumplir que $$\dfrac{A}{A'}=r^2$$ así $$\dfrac{6}{A'}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{6}=9$$ luego $$A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$$
NOTA: Otro forma de calcular el área del cubo grande es la siguiente. Como sabemos que su volumen es de $27\,\text{dm}^3$, entonces la longitud de una de sus aristas ( todas iguales ) es $(\ell')^3=27$, por tanto $$\ell'=\sqrt[3]{27}=3\,\text{dm}$$ Por consiguiente, sus caras son cuadrados de $3\,\text{dm}$ de lado, y el área de una de sus caras es $3^2=9\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo del cubo consta de $6$ caras cuadradas iguales, el área pedida es $A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$
$\square$
Plantear y resolver mediante el álgebra
ENUNCIADO. La mitad de la cuarta parte de una cierta cantidad, sumada a la tercer parte de esa misma cantidad, es igual a $14$. ¿ De qué cantidad ( no necesariamente entera ) estamos hablando ?.
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la cantidad pedida. Entonces, traduciendo al lenguaje del álgebra $$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\,x\right)+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ ecuación que es equivalente a la siguiente $$\dfrac{1}{8}\,x+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ Reduciendo a común denominador ( el mínimo común múltiplo de los denominadores es igual a $24$ ), $$24\cdot \dfrac{1}{8}\,x+24\cdot \dfrac{1}{3}=24\cdot 14$$ que podemos expresar de la forma $$3x+8x=336$$ $$11x=336$$ de donde $$x=\dfrac{336}{11}$$
Observación: Notemos que $30 < x < 31 $
$\square$
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la cantidad pedida. Entonces, traduciendo al lenguaje del álgebra $$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\,x\right)+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ ecuación que es equivalente a la siguiente $$\dfrac{1}{8}\,x+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ Reduciendo a común denominador ( el mínimo común múltiplo de los denominadores es igual a $24$ ), $$24\cdot \dfrac{1}{8}\,x+24\cdot \dfrac{1}{3}=24\cdot 14$$ que podemos expresar de la forma $$3x+8x=336$$ $$11x=336$$ de donde $$x=\dfrac{336}{11}$$
Observación: Notemos que $30 < x < 31 $
$\square$
lunes, 5 de septiembre de 2016
martes, 14 de junio de 2016
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Calcular la moda, la media y la mediana de siguiente conjunto de datos tomados de una cierta variable estadística $X$:
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$
$\square$
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$
$\square$
Ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $3\,(1-x)=4\,(x+4)$
b) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$
SOLUCIÓN.
a)
$3\,(1-x)=4\,(x+4)$
$3\cdot 1 -3\, x=4\,x+4\cdot 4$
$3 -3\, x=4\,x+16$
$3 -16=4\,x+3\,x$
$-13=7\,x$
$x=\dfrac{-13}{7}=-\dfrac{13}{7}$
b)
$\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$
$5\cdot (3+x)=2\,x$
$5\cdot 3+5\,x=2\,x$
$15+5\,x=2\,x$
$5\,x-2\,x=-15$
$3\,x=-15$
$x=\dfrac{-15}{3}=-\dfrac{15}{3}=-5$
$\square$
a) $3\,(1-x)=4\,(x+4)$
b) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$
SOLUCIÓN.
a)
$3\,(1-x)=4\,(x+4)$
$3\cdot 1 -3\, x=4\,x+4\cdot 4$
$3 -3\, x=4\,x+16$
$3 -16=4\,x+3\,x$
$-13=7\,x$
$x=\dfrac{-13}{7}=-\dfrac{13}{7}$
b)
$\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$
$5\cdot (3+x)=2\,x$
$5\cdot 3+5\,x=2\,x$
$15+5\,x=2\,x$
$5\,x-2\,x=-15$
$3\,x=-15$
$x=\dfrac{-15}{3}=-\dfrac{15}{3}=-5$
$\square$
Cuerpos en el espacio
ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $2$, $3$ y $4$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ Cuánto tiempo tardará en vaciarse el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $2 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?
SOLUCIÓN.
a)
b)
El volumen del depósito es igual a $V=2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \; \text{m^2} = 24\,000\; \text{dm}^3$
c)
Como $1 \; \text{dm}^3$ equivale a $1 \; \text{L}$ de capacidad, la capacidad del depósito es de $24\,000 \; \text{L}$
d)
Para calcular la diagonal del ortoedro ( dibujada en rojo ) debemos tener en cuenta los dos triángulos rectángulos que se configuran ( aparecen sombreados en la figura ), entonces llamando $d$ a la diagonal del ortoedro y $\ell$ a la diagonal de la cara de la base, podemos escribir $d^2=\ell^2+3 ^2 \quad \quad (1)$ ( por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo sombreado de marrón ); y, aplicando el mismo teorema al triángulo sombreado en azul, $\ell^2=2^2+4^2 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (2) en (1) resulta $d^2=2^2+3^2+4^2$, y por tanto $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}\; \text{m}$
e)
Denotando por $t$ al tiempo pedido y planteando la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{24\,000}$, de donde despejando $t$, obtenemos $$t=12\,000\; \text{min}=200\;\text{h}=8\;\text{días}\;8\;\text{h}$$
$\square$
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ Cuánto tiempo tardará en vaciarse el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $2 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?
SOLUCIÓN.
a)
b)
El volumen del depósito es igual a $V=2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \; \text{m^2} = 24\,000\; \text{dm}^3$
c)
Como $1 \; \text{dm}^3$ equivale a $1 \; \text{L}$ de capacidad, la capacidad del depósito es de $24\,000 \; \text{L}$
d)
Para calcular la diagonal del ortoedro ( dibujada en rojo ) debemos tener en cuenta los dos triángulos rectángulos que se configuran ( aparecen sombreados en la figura ), entonces llamando $d$ a la diagonal del ortoedro y $\ell$ a la diagonal de la cara de la base, podemos escribir $d^2=\ell^2+3 ^2 \quad \quad (1)$ ( por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo sombreado de marrón ); y, aplicando el mismo teorema al triángulo sombreado en azul, $\ell^2=2^2+4^2 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (2) en (1) resulta $d^2=2^2+3^2+4^2$, y por tanto $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}\; \text{m}$
e)
Denotando por $t$ al tiempo pedido y planteando la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{24\,000}$, de donde despejando $t$, obtenemos $$t=12\,000\; \text{min}=200\;\text{h}=8\;\text{días}\;8\;\text{h}$$
$\square$
Área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado
ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de $5$ centímetros de radio. ¿ Cuál es el área de uno de los cuatro segmentos circulares delimitados por la circunferencia y los lados del cuadrado ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.
Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$
Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.
Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$
Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$
$\square$
Área y perímetro de un sector circular
ENUNCIADO. Calcular el perímetro y el área de un sector circular de $150^{\circ}$ de amplitud angular, y de radio igual a $10$ centímetros.
SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es igual a $\pi\cdot 10^2 = 100\,\pi\; \text{cm}^2$ y el perímetro es igual a $2\cdot\pi\cdot 10=20\,\pi\;\text{cm}$. Como, en un sector circular, ambas magnitudes son proporcionales al ángulo central de dicho sector, $$\dfrac{ \mathcal{A}_\text{sector}}{150^{\circ}}=\dfrac{100\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \mathcal{A}_\text{sector}=\dfrac{150}{360}\cdot 100\,\pi=\dfrac{5}{12}\cdot 100\,\pi=\dfrac{125}{3}\,\pi\; \text{cm}^2 \approx 131\;\text{cm}^2$$
La longitud del arco del sector circular se calcula también mediante una proporción similar:$$\dfrac{ \ell_\text{arco}}{150^{\circ}}=\dfrac{20\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \ell_{\text{arco}}=\dfrac{150}{360}\cdot 20\,\pi=\dfrac{25}{3}\,\pi\; \text{cm} \approx 26\;\text{cm}$$ por lo tanto, y añadiendo la longitud de los dos radios, resulta que el perímetro del sector es igual a $$\mathcal{P}_{\text{sector}}=\ell+2\,r=\dfrac{25}{3}\,\pi+2\cdot 10=\dfrac{25}{3}\,\pi+20\; \text{cm} \approx 46\;\text{cm}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es igual a $\pi\cdot 10^2 = 100\,\pi\; \text{cm}^2$ y el perímetro es igual a $2\cdot\pi\cdot 10=20\,\pi\;\text{cm}$. Como, en un sector circular, ambas magnitudes son proporcionales al ángulo central de dicho sector, $$\dfrac{ \mathcal{A}_\text{sector}}{150^{\circ}}=\dfrac{100\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \mathcal{A}_\text{sector}=\dfrac{150}{360}\cdot 100\,\pi=\dfrac{5}{12}\cdot 100\,\pi=\dfrac{125}{3}\,\pi\; \text{cm}^2 \approx 131\;\text{cm}^2$$
La longitud del arco del sector circular se calcula también mediante una proporción similar:$$\dfrac{ \ell_\text{arco}}{150^{\circ}}=\dfrac{20\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \ell_{\text{arco}}=\dfrac{150}{360}\cdot 20\,\pi=\dfrac{25}{3}\,\pi\; \text{cm} \approx 26\;\text{cm}$$ por lo tanto, y añadiendo la longitud de los dos radios, resulta que el perímetro del sector es igual a $$\mathcal{P}_{\text{sector}}=\ell+2\,r=\dfrac{25}{3}\,\pi+2\cdot 10=\dfrac{25}{3}\,\pi+20\; \text{cm} \approx 46\;\text{cm}$$
$\square$
Figuras semejantes
ENUNCIADO. Las medidas de un sobre son $10 \times 6$ centímetros. ¿ Cuáles son las medidas de otro sobre semejante al anterior, pero cuya área sea el doble de la de aquel ?.
SOLUCIÓN.
El área del primer sobre vale $10\cdot 6=60\; \text{cm}^2$, luego el área del segundo sobre es de $2 \cdot 60 = 120 \; \text{cm}^2$. La razón de semejanza es igual a la raíz cuadrada de la razón aritmética de las áreas de los dos sobres $r=\sqrt{\dfrac{120}{60}}=\sqrt{2}$.
Por tanto, el lado del segundo sobre que corresponde al de $10$ centímetros de longitud del primero es igual a $10 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \; \text{cm}$; y la longitud del otro lado es igual a $6 \cdot \sqrt{2} \approx 8,5 \; \text{cm}$.
Las medidas del segundo sobre son, por tanto, $14,1 \times 8,5$ centímetros. $\square$
SOLUCIÓN.
El área del primer sobre vale $10\cdot 6=60\; \text{cm}^2$, luego el área del segundo sobre es de $2 \cdot 60 = 120 \; \text{cm}^2$. La razón de semejanza es igual a la raíz cuadrada de la razón aritmética de las áreas de los dos sobres $r=\sqrt{\dfrac{120}{60}}=\sqrt{2}$.
Por tanto, el lado del segundo sobre que corresponde al de $10$ centímetros de longitud del primero es igual a $10 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \; \text{cm}$; y la longitud del otro lado es igual a $6 \cdot \sqrt{2} \approx 8,5 \; \text{cm}$.
Las medidas del segundo sobre son, por tanto, $14,1 \times 8,5$ centímetros. $\square$
domingo, 12 de junio de 2016
Ejercicios resueltos del examen final del tercer trimestre ( temas 11,12, 13 y 14 ), realizado del Viernes 9/06/2016
Un ejercicio sobre cuerpos de revolución. Cono.
ENUNCIADO. La generatriz de un cono mide $5$ decímetros, y el radio de la base $3$ decímetros. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del cono y anotar en ella las medidas
b) Calcular el volumen del cono
c) Dibujar una figura esquemática del desarrollo plano del cono y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado \par
d) Calcular el área lateral del cono
e) Calcular el área de la base
f) Calcular el área total del desarrollo plano del cono
g) Calcular el ángulo del trazado en el desarrollo plano de la superficie lateral del cono
SOLUCIÓN.
a)
b)
El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot r^2\cdot h \quad \quad (1)$, donde $h$ representa la altura del cono, esto es, la longitud del segmento $OQ$. Debemos, pues calcular su valor; si nos fijamos en el triángulo rectángulo $\triangle\{OPQ\}$, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, $h^2+r^2=g^2$ ( donde $g$ indica la generatriz y $r$ el radio de la base ). Poniendo los datos del problema, $$h^2+3^2=5^2$$ luego $h^2=5^2-3^2=16$ y, por tanto, $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$; con lo cual, de (1), $$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^3\approx 38\;\text{dm}^3$$
c)
El área lateral del cono viene dada por $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=\pi\cdot r \cdot g$ y, poniendo los datos del problema, obtenemos $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=15\,\pi \;\text{dm}^2\approx 47\;\text{dm}^2$
d)
El área de la base es $\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot r^2$, y con los datos del problema obtenemos $$\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 28\;\text{dm}^2$$
e)
El área total del desarrollo plano del cono es la suma del área de la base y del área lateral, luego su valor es $15\,\pi+9\,\pi=24\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 75\;\text{dm}^2$
f)
El ángulo central del sector circular, $\alpha$, que representa el desarrollo plano de la superficie lateral del cono se calcula mediante la siguiente proporción ( entre la amplitud angular y la longitud del arco), $$\dfrac{\alpha}{2\,\pi\cdot r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\,\pi\cdot g}$$ por lo que, despejando $\alpha$, se obtiene $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{r}{g}$$, que con los datos del problema tiene el siguiente valor $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{3}{5} = 216^{\circ}$$
$\square$
a) Dibujar una figura esquemática del cono y anotar en ella las medidas
b) Calcular el volumen del cono
c) Dibujar una figura esquemática del desarrollo plano del cono y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado \par
d) Calcular el área lateral del cono
e) Calcular el área de la base
f) Calcular el área total del desarrollo plano del cono
g) Calcular el ángulo del trazado en el desarrollo plano de la superficie lateral del cono
SOLUCIÓN.
a)
b)
El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot r^2\cdot h \quad \quad (1)$, donde $h$ representa la altura del cono, esto es, la longitud del segmento $OQ$. Debemos, pues calcular su valor; si nos fijamos en el triángulo rectángulo $\triangle\{OPQ\}$, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, $h^2+r^2=g^2$ ( donde $g$ indica la generatriz y $r$ el radio de la base ). Poniendo los datos del problema, $$h^2+3^2=5^2$$ luego $h^2=5^2-3^2=16$ y, por tanto, $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$; con lo cual, de (1), $$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\cdot 3^2\cdot 4=12\,\pi\;\text{dm}^3\approx 38\;\text{dm}^3$$
c)
El área lateral del cono viene dada por $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=\pi\cdot r \cdot g$ y, poniendo los datos del problema, obtenemos $\mathcal{A}_{\text{lateral}}=15\,\pi \;\text{dm}^2\approx 47\;\text{dm}^2$
d)
El área de la base es $\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot r^2$, y con los datos del problema obtenemos $$\mathcal{A}_{\text{base}}=\pi\cdot 3^2=9\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 28\;\text{dm}^2$$
e)
El área total del desarrollo plano del cono es la suma del área de la base y del área lateral, luego su valor es $15\,\pi+9\,\pi=24\,\pi\;\text{dm}^2 \approx 75\;\text{dm}^2$
f)
El ángulo central del sector circular, $\alpha$, que representa el desarrollo plano de la superficie lateral del cono se calcula mediante la siguiente proporción ( entre la amplitud angular y la longitud del arco), $$\dfrac{\alpha}{2\,\pi\cdot r}=\dfrac{360^{\circ}}{2\,\pi\cdot g}$$ por lo que, despejando $\alpha$, se obtiene $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{r}{g}$$, que con los datos del problema tiene el siguiente valor $$\alpha=360^{\circ}\cdot \dfrac{3}{5} = 216^{\circ}$$
$\square$
Cuerpos en el espacio. Un ejercicio sobre un ortoedro ( prisma recto de base rectangular ).
ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de prisma recto, de base rectangular. Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $4$, $5$ y $6$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
c) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
b) ¿ Cuántos cubos de $1,5$ litros de capacidad es necesario llenar para vaciarlo ?
d) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
e) Dibujar una figura que mueste el desarrollo plano del depósito ( está abierto por la cara superior ), y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado
f) Calcular el área total de las paredes del depósito
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy similar a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
c) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
b) ¿ Cuántos cubos de $1,5$ litros de capacidad es necesario llenar para vaciarlo ?
d) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
e) Dibujar una figura que mueste el desarrollo plano del depósito ( está abierto por la cara superior ), y anotar en ella las medidas que vienen dadas en el enunciado
f) Calcular el área total de las paredes del depósito
SOLUCIÓN. Este ejercicio es muy similar a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
Un ejercicio de aplicación del teorema de Pitágoras
ENUNCIADO. Considerar la siguiente figura:
Las longitudes de los segmentos $a$, $AD$ y $DB$ miden $4 \; \text{cm}$, $3 \; \text{cm}$ y $2 \; \text{cm}$, respectivamente. Se pide:
a) Calcular el área del triángulo $\triangle\{ABC\}$
b) Calcular el perímetro del triángulo $\triangle\{ABC\}$
SOLUCIÓN.
a)
El área del triángulo $\triangle\{ABC\}$ es igual a $\dfrac{a \cdot AD}{2}=\dfrac{4 \cdot 3}{2}=6\,\text{cm}^2$
b)
El perímetro del triángulo $\triangle\{ABC\}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, $a+b+c$ y aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos ( rectángulos ) $\triangle\{ADC\}$ y $\triangle\{ADB\}$ obtenemos $4 +\sqrt{(4+2)^2+3^2}+\sqrt{2^2+3^2}=4+\sqrt{45}+\sqrt{13} \; \text{cm} \approx 14 \, \text{cm}$
$\square$
Las longitudes de los segmentos $a$, $AD$ y $DB$ miden $4 \; \text{cm}$, $3 \; \text{cm}$ y $2 \; \text{cm}$, respectivamente. Se pide:
a) Calcular el área del triángulo $\triangle\{ABC\}$
b) Calcular el perímetro del triángulo $\triangle\{ABC\}$
SOLUCIÓN.
a)
El área del triángulo $\triangle\{ABC\}$ es igual a $\dfrac{a \cdot AD}{2}=\dfrac{4 \cdot 3}{2}=6\,\text{cm}^2$
b)
El perímetro del triángulo $\triangle\{ABC\}$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados, $a+b+c$ y aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos ( rectángulos ) $\triangle\{ADC\}$ y $\triangle\{ADB\}$ obtenemos $4 +\sqrt{(4+2)^2+3^2}+\sqrt{2^2+3^2}=4+\sqrt{45}+\sqrt{13} \; \text{cm} \approx 14 \, \text{cm}$
$\square$
Un ejercicio de aplicación del teorema de Tales
ENUNCIADO. Las rectas $r$, $s$ y $t$ de la figura son paralelas. Hallar $x$ e $y$.
SOLUCIÓN.
Nota: los datos del problema, así como los resultados, vienen expresadas en unidades arbitrarias de longitud
Por el teorema de Tales podemos escribir: $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$, $$x=\dfrac{2\cdot 5}{3}=\dfrac{10}{3} \approx 3,33$$ de manera análoga, para el el último par de segmentos interceptados $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1,5}{y}$$ luego $$2\,y=1,5 \cdot 3$$ y despejando $y$ obtenemos $$y=\dfrac{1,5\cdot 3}{2}=2,25$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Nota: los datos del problema, así como los resultados, vienen expresadas en unidades arbitrarias de longitud
Por el teorema de Tales podemos escribir: $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{5}$$ y despejando $x$, $$x=\dfrac{2\cdot 5}{3}=\dfrac{10}{3} \approx 3,33$$ de manera análoga, para el el último par de segmentos interceptados $$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1,5}{y}$$ luego $$2\,y=1,5 \cdot 3$$ y despejando $y$ obtenemos $$y=\dfrac{1,5\cdot 3}{2}=2,25$$
$\square$
martes, 7 de junio de 2016
Poliedros no convexos que no cumplen la propiedad de Euler
La propiedad de Euler sobre los poliedros ( $v-a+c=2$, donde $v$ denota el número de vértices; $a$, el número de aristas; y $c$, el número de caras ) es válida para todo poliedro convexo; ahora bien, existen poliedros no convexos que también la cumplen; por ejemplo, un prisma cuya base tenga forma de "L". Por supuesto, los hay ( no convexos ) que no la cumplen, aunque a veces cuesta dar con alguno -- el otro día, en clase, me pasó eso: no daba con ninguno --. Uno de estos poliedros ( ya tengo unos cuántos para mostrar ) es un prisma con un agujero ciego, con el mismo contorno de la base, tal como se muestra en la siguiente figura
Los hay, también, que son muy complicados, como por ejemplo el poliedro de Szászár ( fuente: Wikipedia ). Siguiendo el enlace podréis echarle un vistazo.
Los hay, también, que son muy complicados, como por ejemplo el poliedro de Szászár ( fuente: Wikipedia ). Siguiendo el enlace podréis echarle un vistazo.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)