ENUNCIADO. Lee las páginas 304 y 306 del libro base y explica a tu manera de qué se esta hablando en esta sección. Haz un resumen de los pasos que se describen para conseguir el objetivo señalado.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. En estas páginas del libro base se habla de cómo realizar simulaciones numéricas de un experimento aleatorio con la instrucción AleatorioEntre(valor_mínimo,valor_máximo) así como de la instrucción Secuencia de GeoGebra. Con ello se obtiene una lista de valores simulados, que, a continuación, podemos estudiar desde el punto de vista estadístico ( con las utilidades de estadística básica de GeoGebra ); así, para un número muy grande de realizaciones del experimento aleatoria - mejor dicho, de su simulación numérica - podemos interpretar la probabilidad de un determinado suceso elemental de la experiencia aleatoria como la frecuencia relativa que se obtiene al realizar el recuento estadístico ( concepto a fortiori, o frecuentista, de la probabilidad).
jueves, 14 de mayo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. A vueltas con la noción de probabilidad geométrica.
Ejercicio 65 de la página 299 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Una ruleta que tiene forma de círculo está dividida en seis sectores circulares, cinco de ellos ( A, B, C, D y E ) tienen los siguientes valores de ángulo central: $45^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$, y $60^\circ$, respectivamente. Calcula la probabilidad de obtener dichos resultados, así como la de obtener el del sexto sector F.
AYUDA. La probabilidad de que la ruleta quede en un determinado sector es proporcional al área del mismo.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Por el principio de Laplace, la probabilidad de que se obtenga como resultado un cierto sector $X$ del círculo ( el índice de la ruleta cae en él al quedarse ésta parada ) es igual a $P(X)=\dfrac{\mathcal{Á}(X)}{\pi\,r^2}$, y como el área del sector circular es proporcional a la medida de su ángulo central $\hat{X}$, la probabilidad anterior se puede escribir como $P(X)=\dfrac{\hat{X}}{360^{\circ}}$
Así pues, $P(A)=P(B)=\dfrac{45}{360}=\dfrac{1}{8}$; $P(C)=P(D)=\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$, y $P(E)=\dfrac{360-2\cdot(45+60)}{360}=\dfrac{5}{12}$
COMPROBACIÓN. La suma de las probabilidades ha de ser igual a $1$( probabilidad total); en efecto, $2\cdot (\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})+\dfrac{5}{12}=\ldots=1$
ENUNCIADO. Una ruleta que tiene forma de círculo está dividida en seis sectores circulares, cinco de ellos ( A, B, C, D y E ) tienen los siguientes valores de ángulo central: $45^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$, y $60^\circ$, respectivamente. Calcula la probabilidad de obtener dichos resultados, así como la de obtener el del sexto sector F.
AYUDA. La probabilidad de que la ruleta quede en un determinado sector es proporcional al área del mismo.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Por el principio de Laplace, la probabilidad de que se obtenga como resultado un cierto sector $X$ del círculo ( el índice de la ruleta cae en él al quedarse ésta parada ) es igual a $P(X)=\dfrac{\mathcal{Á}(X)}{\pi\,r^2}$, y como el área del sector circular es proporcional a la medida de su ángulo central $\hat{X}$, la probabilidad anterior se puede escribir como $P(X)=\dfrac{\hat{X}}{360^{\circ}}$
Así pues, $P(A)=P(B)=\dfrac{45}{360}=\dfrac{1}{8}$; $P(C)=P(D)=\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$, y $P(E)=\dfrac{360-2\cdot(45+60)}{360}=\dfrac{5}{12}$
COMPROBACIÓN. La suma de las probabilidades ha de ser igual a $1$( probabilidad total); en efecto, $2\cdot (\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})+\dfrac{5}{12}=\ldots=1$
miércoles, 13 de mayo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - El experimento de la aguja de Buffon
ENUNCIADO. Lee el enunciado del ejercicio 73 de la página 300 y realiza el experimento aleatorio que se describe ( llamado "de la aguja de Buffon" ). Toma una hoja de papel ( DIN A4 ) y traza en toda la hoja líneas paralelas separadas una distancia igual a la longitud de una aguja de coser. Lanza ahora 100 veces la aguja de coser sobre la hoja listada y anota el número de veces $n$ que cae cruzando alguna de las líneas. Haz una fotografía de la hoja de papel con algunos lanzamientos de la aguja - puedes utilizar si quieres varias agujas iguales ( 10 estaría bien ) y lanzarlas todas a la vez -. A continuación divide $n$ entre 100. Según lo que puedes leer en dicho enunciado, el resultado debería parecerse a $\dfrac{2}{\pi}$ ¿ Qué resultado obtienes ? ¿ Qué podrías destacar como comentario después de la realización de este experimento ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SUGERENCIA. Finalmente, utiliza este simulador del experimento https://mste.illinois.edu/activity/buffon/ y diviértete cambiando el número de lanzamientos de una misma aguja. Podrás ver qué sucede cuando el número de lanzamientos es muy grande.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SUGERENCIA. Finalmente, utiliza este simulador del experimento https://mste.illinois.edu/activity/buffon/ y diviértete cambiando el número de lanzamientos de una misma aguja. Podrás ver qué sucede cuando el número de lanzamientos es muy grande.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
lunes, 11 de mayo de 2020
Ejercicio 1 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Un ejercicio rutinario de estadística básica con GeoGebra
ENUNCIADO.
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
a) Organiza el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
1.ª parte
b) Si todavía no lo has hecho, instala el programa de software libre GeoGebra Clásico 5
c) Empleando GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras ). Por tanto esta vez tendrás que mandar también los archivos de trabajo de GeoGebra [.ggb ], además del archivo habitual que contenga la fotografía de la página de tu cuaderno con los cálculos que te pido a continuación.
2.ª parte
d) Sin GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
e) Determina la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Determina la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
g) Calcula la media aritmética ( parámetro de situación )
h) Calcula la desviación media ( parámetro de dispersión )
i) Calcula el rango ( parámetro de dispersión )
INSTRUCCIÓN. Tienes que enviar también el
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
a) Organiza el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
1.ª parte
b) Si todavía no lo has hecho, instala el programa de software libre GeoGebra Clásico 5
c) Empleando GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras ). Por tanto esta vez tendrás que mandar también los archivos de trabajo de GeoGebra [.ggb ], además del archivo habitual que contenga la fotografía de la página de tu cuaderno con los cálculos que te pido a continuación.
2.ª parte
d) Sin GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
e) Determina la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Determina la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
g) Calcula la media aritmética ( parámetro de situación )
h) Calcula la desviación media ( parámetro de dispersión )
i) Calcula el rango ( parámetro de dispersión )
INSTRUCCIÓN. Tienes que enviar también el
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Área y perímetro de un cuadrado
ENUNCIADO. Queremos vallar una finca agraria que tiene forma cuadrada y cuya área es de $1$ hectárea. ¿ Cuántos metros de valla necesitaremos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Como $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y la finca tiene forma cuadrada de lado $\ell$, entonces $\ell^2=10\,000$, luego $\ell=|\sqrt{10\,000}|=100\,\text{m}$, así que el perímetro de la finca tiene una longitud iguala $4\,\ell=4\cdot 100= 400\,\text{m}$, por lo que necesitaremos $400\,\text{m}$ de valla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Como $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y la finca tiene forma cuadrada de lado $\ell$, entonces $\ell^2=10\,000$, luego $\ell=|\sqrt{10\,000}|=100\,\text{m}$, así que el perímetro de la finca tiene una longitud iguala $4\,\ell=4\cdot 100= 400\,\text{m}$, por lo que necesitaremos $400\,\text{m}$ de valla.
Ejercicio 5 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO.
Manuel cobra un salario de $1\,200$ euros, pero se le retiene el $19\,\%$ en concepto de IRPF (Impuesto sobre la Renta de las Personas Física). ¿ De cuánto dinero dispone para cubrir sus gastos ?
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SOLUCIÓN. La cantidad de dinero neto del cual podrá disponer es $1200\cdot \dfrac{100-19}{100}=972$ euros
Manuel cobra un salario de $1\,200$ euros, pero se le retiene el $19\,\%$ en concepto de IRPF (Impuesto sobre la Renta de las Personas Física). ¿ De cuánto dinero dispone para cubrir sus gastos ?
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SOLUCIÓN. La cantidad de dinero neto del cual podrá disponer es $1200\cdot \dfrac{100-19}{100}=972$ euros
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO. Efectua las siguientes operaciones con fracciones:
a) $\dfrac{35}{24}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{10}{18}$
c) $\dfrac{5}{6}\div \dfrac{15}{12}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
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NOTA 2. En un plazo aproximado de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
a) $\dfrac{35}{24}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{10}{18}$
c) $\dfrac{5}{6}\div \dfrac{15}{12}$
d) $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3$
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RMT - Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO. Expresa como producto de factores primos los siguientes números: 12, 16, 18,24, 30,32, 36, 28, 40, 42 y 45
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RMT - Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
ENUNCIADO. Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 36 y 60
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RMT - Ejercicio 1 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Operaciones combinadas con números enteros
ENUNCIADO. Realiza las siguientes operaciones combinadas con números enteros
$$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)=$
$=15\cdot 0 +17\cdot 1$
$=0+17$
$=17$
$$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$(7+8)\cdot (1+2-3)+(8+9)\cdot (5-4)=$
$=15\cdot 0 +17\cdot 1$
$=0+17$
$=17$
lunes, 4 de mayo de 2020
Ejercicio 9 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades ambientándonos en el juego del dominó.
ENUNCIADO. El del ejercicio 16 de la página 292 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se extrae sin mirar una ficha de una bolsa que contiene un juego de dominó. Halla la probabilidad de obtener:
a) Un doble
b) Una ficha con un solo 6
c) Una ficha cuyos puntos sumen 4
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. Un juego de dominó consta de 28 cifras, que son las siguientes:
La suma de las puntuaciones de los dos lados de las fichas es:
Sabido ésto, vamos a aplicar el principio de Laplace ( las 28 fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ):
a) P("ficha doble")=$\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) P("ficha con solo un 6")=$\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\approx 0,21=21\,\%$
c) P("ficha con suma igual a 4")=$\dfrac{3}{28}\approx 0,11=11\,\%$
Se extrae sin mirar una ficha de una bolsa que contiene un juego de dominó. Halla la probabilidad de obtener:
a) Un doble
b) Una ficha con un solo 6
c) Una ficha cuyos puntos sumen 4
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. Un juego de dominó consta de 28 cifras, que son las siguientes:
0|0 0|1 1|1 0|2 1|2 2|2 0|3 1|3 2|3 3|3 0|4 1|4 2|4 3|4 4|4 0|5 1|5 2|5 3|5 4|5 5|5 0|6 1|6 2|6 3|6 4|6 5|6 6|6
La suma de las puntuaciones de los dos lados de las fichas es:
0 1 2 2 3 4 3 4 5 6 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 12
Sabido ésto, vamos a aplicar el principio de Laplace ( las 28 fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ):
a) P("ficha doble")=$\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) P("ficha con solo un 6")=$\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\approx 0,21=21\,\%$
c) P("ficha con suma igual a 4")=$\dfrac{3}{28}\approx 0,11=11\,\%$
Ejercicio 8 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Extracción de una carta al azar de una baraja española
ENUNCIADO. El del ejercicio 15 de la página 292 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Extraemos una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Calcula las siguientes probabilidades:
a) Sacar una carta de oros
b) Sacar una figura
c) No sacar un as
d) Sacar una carta de oros o bien una figura
e) No sacar una figura
f) Sacar el rey de oros
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. En una baraja española hay cuatro palos ( oros, bastos, copas, y espadas ); en cada palo hay tres figuras: sota (10), caballo (11) y rey (12); el as es la carta con el número 1, y el resto de cartas de cada palo están numeradas con 2,3,4,5,6,7,8 y 9. Procedemos a aplicar el principio de Laplace y las propiedades básicas:
a) P("sacar una carta de oros")=$\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) a) P("sacar una carta que sea figura")=$\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
c) P("no sacar un as")=1-P("sacar un as")=$1-\dfrac{4}{48}=\dfrac{11}{12}\approx 0,92=92\,\%$
d) Por el principio de inclusión-exclusión, podemos escribir:
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=P("sacar una carta de oros")+P("sacar una carta que sea figura") - P("sacar una carta de oros y que sea figura")
Así
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=$\dfrac{12}{48}+\dfrac{3\cdot 4}{48}-\dfrac{3}{48}=\dfrac{7}{16}\approx0,44=44\,\%$
e) P("no sacar una carta que sea figura")=1-P("sacar una carta que sea figura")=$1-\dfrac{3\cdot 4}{48}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75=75\,\%$
f) P("sacar el rey de oros")=$\dfrac{1}{48}\approx 0,02 = 2\,\%$
Extraemos una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Calcula las siguientes probabilidades:
a) Sacar una carta de oros
b) Sacar una figura
c) No sacar un as
d) Sacar una carta de oros o bien una figura
e) No sacar una figura
f) Sacar el rey de oros
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 291-293 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. En una baraja española hay cuatro palos ( oros, bastos, copas, y espadas ); en cada palo hay tres figuras: sota (10), caballo (11) y rey (12); el as es la carta con el número 1, y el resto de cartas de cada palo están numeradas con 2,3,4,5,6,7,8 y 9. Procedemos a aplicar el principio de Laplace y las propiedades básicas:
a) P("sacar una carta de oros")=$\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
b) a) P("sacar una carta que sea figura")=$\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{1}{4}=0,25=25\,\%$
c) P("no sacar un as")=1-P("sacar un as")=$1-\dfrac{4}{48}=\dfrac{11}{12}\approx 0,92=92\,\%$
d) Por el principio de inclusión-exclusión, podemos escribir:
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=P("sacar una carta de oros")+P("sacar una carta que sea figura") - P("sacar una carta de oros y que sea figura")
Así
P("sacar una carta de oros o bien una carta que sea figura")=$\dfrac{12}{48}+\dfrac{3\cdot 4}{48}-\dfrac{3}{48}=\dfrac{7}{16}\approx0,44=44\,\%$
e) P("no sacar una carta que sea figura")=1-P("sacar una carta que sea figura")=$1-\dfrac{3\cdot 4}{48}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75=75\,\%$
f) P("sacar el rey de oros")=$\dfrac{1}{48}\approx 0,02 = 2\,\%$
Ejercicio 7 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Propiedad del suceso contrario
ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 290 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
La probabilidad del suceso (A): obtener un número primo menor o igual que 5 lanzando un dado en forma de dodecaedro regular (12 caras) es de $0,25$. Escribe los resultados del suceso contrario $\bar{A}$ y halla su probabilidad.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. El suceso contrario de $A$, esto es $\bar{A}$ ( no obtener un número primo menor o igual que $5$ ) corresponde a obtener cualquier número comprendido entre $1$ y $12$ que no sea ni $3$ ni $5$. Como $P(A)+P(\bar{A})=1$ ( probabilidad total ), la probabilidad pedida es $P(\bar{A})=1-0,25=0,75$
La probabilidad del suceso (A): obtener un número primo menor o igual que 5 lanzando un dado en forma de dodecaedro regular (12 caras) es de $0,25$. Escribe los resultados del suceso contrario $\bar{A}$ y halla su probabilidad.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN. El suceso contrario de $A$, esto es $\bar{A}$ ( no obtener un número primo menor o igual que $5$ ) corresponde a obtener cualquier número comprendido entre $1$ y $12$ que no sea ni $3$ ni $5$. Como $P(A)+P(\bar{A})=1$ ( probabilidad total ), la probabilidad pedida es $P(\bar{A})=1-0,25=0,75$
Ejercicio 6 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Probabilidad total
ENUNCIADO. El del ejercicio 13 de la página 290 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Una urna contiene bolas rojas, verdes y amarillas. Si la probabilidad de extraer bola roja es de $0,7$, ¿ cuál es la de extraer bola verde o amarilla ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Como la suma de probabilidades totales ha de ser igual a $1$, la probabilidad pedida es igual a $1-0,7=0,3$
Una urna contiene bolas rojas, verdes y amarillas. Si la probabilidad de extraer bola roja es de $0,7$, ¿ cuál es la de extraer bola verde o amarilla ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Como la suma de probabilidades totales ha de ser igual a $1$, la probabilidad pedida es igual a $1-0,7=0,3$
Ejercicio 5 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Experimentos aleatorios. Frecuencia relativa. Concepto a fortiori ( frecuentista ) de la probabilidad
ENUNCIADO. El del ejercicio 11 de la página 289 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se lanzan 200 veces dos monedas trucadas y se obtiene: 32 veces dos caras, 96 veces una cara y una cruz; y, el resto de veces, dos cruces. Halla la frecuencia relativa de cada uno de los sucesos de esta experiencia aleatoria
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son: {dos caras (A), una cara y una cruz (B), dos cruces (C)}. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_A=\dfrac{32}{200}=\dfrac{4}{25}=0,16 = 16\,\%$
$f_B=\dfrac{96}{200}=\dfrac{12}{25}= 0,48 = 48\,\%$
$f_C=\dfrac{200-(32+96)}{200}=\dfrac{9}{25}= 0,36 = 36\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Se lanzan 200 veces dos monedas trucadas y se obtiene: 32 veces dos caras, 96 veces una cara y una cruz; y, el resto de veces, dos cruces. Halla la frecuencia relativa de cada uno de los sucesos de esta experiencia aleatoria
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son: {dos caras (A), una cara y una cruz (B), dos cruces (C)}. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_A=\dfrac{32}{200}=\dfrac{4}{25}=0,16 = 16\,\%$
$f_B=\dfrac{96}{200}=\dfrac{12}{25}= 0,48 = 48\,\%$
$f_C=\dfrac{200-(32+96)}{200}=\dfrac{9}{25}= 0,36 = 36\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Concepto de probabilidad a fortiori ( frecuentista )
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 289 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se lanza 450 veces un dado trucado y se obtiene: 210 veces 1; 87 veces 2; 45 veces 3; 32 veces 4; 9 veces 5, y el resto de veces 6. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental de este experimento.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son los valores de las caras del dado: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_1=\dfrac{210}{450}=\dfrac{7}{15}\approx 0,47 = 47\,\%$
$f_2=\dfrac{87}{450}=\dfrac{29}{150}\approx 0,19 = 19\,\%$
$f_3=\dfrac{45}{450}=\dfrac{1}{10}= 0,1 = 10\,\%$
$f_4=\dfrac{32}{450}=\dfrac{16}{225}\approx 0,07=7\,\%$
$f_5=\dfrac{9}{450}=\dfrac{1}{50}= 0,02 = 2\,\%$
$f_6=\dfrac{450-(210+87+45+32+9)}{450}=\dfrac{67}{450}\approx 0,15 = 15\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Se lanza 450 veces un dado trucado y se obtiene: 210 veces 1; 87 veces 2; 45 veces 3; 32 veces 4; 9 veces 5, y el resto de veces 6. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental de este experimento.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son los valores de las caras del dado: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_1=\dfrac{210}{450}=\dfrac{7}{15}\approx 0,47 = 47\,\%$
$f_2=\dfrac{87}{450}=\dfrac{29}{150}\approx 0,19 = 19\,\%$
$f_3=\dfrac{45}{450}=\dfrac{1}{10}= 0,1 = 10\,\%$
$f_4=\dfrac{32}{450}=\dfrac{16}{225}\approx 0,07=7\,\%$
$f_5=\dfrac{9}{450}=\dfrac{1}{50}= 0,02 = 2\,\%$
$f_6=\dfrac{450-(210+87+45+32+9)}{450}=\dfrac{67}{450}\approx 0,15 = 15\,\%$
Notemos que la suma es igual al $100\,\%$
Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Experiencia aleatoria compuesta. Pensar un espacio muestral ...
ENUNCIADO. El del ejercicio 6 de la página 285 del libro base ( ligeramente modificado )
Disponemos de dos urnas, A y B. La urna A contienen cuatro bolas rojas y dos bolas verdes, y la urna B tres bolas verdes, dos azules y una roja. Extraemos al azar una bola de cada urna. Piensa en tres espacios muestrales asociados a dicha experiencia aleatoria y descríbelos.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
e)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
Disponemos de dos urnas, A y B. La urna A contienen cuatro bolas rojas y dos bolas verdes, y la urna B tres bolas verdes, dos azules y una roja. Extraemos al azar una bola de cada urna. Piensa en tres espacios muestrales asociados a dicha experiencia aleatoria y descríbelos.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
e)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
Ejercicio 2 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Espacios muestrales de experimentos compuestos
ENUNCIADO. El del ejercicio 4 de la página 285 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos compuestos:
a) Lanzar dos dados de seis caras ( numeradas del 1 al 6 )
b) Lanzar dos monedas y un dado de seis caras
c) Extraer, con reposición, dos bolas de una urna que contienen siete bolas numeradas del 1 al 7
d) Extraer, sin reposición, dos bolas de una urna que contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
a)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
También podemos concebir un espacio muestral formado por 21 sucesos, que, a diferencia de los de arriba, no son equiprobables, y que consisten en descartar los dígitos repetidos ( sin tener en cuenta cuál de los dados ha dado el dígito ), esto es, considerando que salgan: dos unos, un uno y un dos, un uno y un tres, un uno y un cuatro, un uno y un cinco, un uno y un seis, un uno y un siete, dos doses, un dos y un tres, un dos y un cuatro, etcétera.
b)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
Al igual que en el apartado anterior, también podemos concebir un espacio muestral formado también por 21 sucesos, que, a diferencia de los 28 de arriba, no son equiprobables, y que consisten en descartar el caracter de color de la moneda ( sin tener en cuenta de cuál de las dos monedas se obtiene cara o cruz ), esto es, considerando que salgan: un uno y dos caras, un uno y dos cruces, un uno y una cara y una cruz, un dos y dos caras, un dos y dos cruces, un dos y una cara y una cruz, etcétera.
c)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
También aquí, podemos pensar en un espacio muestral formado no por 49 susecesos elementales sino por $7\cdot (7+1)/2=28$ sucesos, que, sin embargo no todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados al azar. Este espacio muestral ( con sucesos no equiprobables ) estaría formado por: dos unos, un uno y un dos, un uno y un tres, ..., un uno y un siete; dos doses, un dos y un tres, etcétera.
d)
En este caso el espacio muestral
$\Omega=\{12,13,14,15,16,17;21,23,24,25,26,27;31,32,34,35,36,37;$
$;41,42,43,45,46,47;51,52,53,54,56,57;61,62,63,64,65,67;71,72,73,74,75,76\}$
está formado por $(7-1)\cdot 6 = 36$ sucesos con la misma probabilidad ( equiprobables )
Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos compuestos:
a) Lanzar dos dados de seis caras ( numeradas del 1 al 6 )
b) Lanzar dos monedas y un dado de seis caras
c) Extraer, con reposición, dos bolas de una urna que contienen siete bolas numeradas del 1 al 7
d) Extraer, sin reposición, dos bolas de una urna que contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
a)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
b)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
c)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)
d)
En este caso el espacio muestral
$\Omega=\{12,13,14,15,16,17;21,23,24,25,26,27;31,32,34,35,36,37;$
$;41,42,43,45,46,47;51,52,53,54,56,57;61,62,63,64,65,67;71,72,73,74,75,76\}$
está formado por $(7-1)\cdot 6 = 36$ sucesos con la misma probabilidad ( equiprobables )
Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Experimentos aleatorios y experimentos deterministas
ENUNCIADO. El del ejercicio 1 de la página 285 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Escribe tres experimentos que sean deterministas y otros tres que sean aleatorios
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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Tres ejemplos de experimentos deterministas: abrir y cerrar un interruptor de la luz; dejar caer un objeto por un plano inclinado; medir el tiempo en un reloj
Tres ejemplos de experimentos aleatorios: lanzamiento de una moneda; evolución del estado del tiempo (meteorología); evolución de la bolsa
Escribe tres experimentos que sean deterministas y otros tres que sean aleatorios
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base
SOLUCIÓN.
Tres ejemplos de experimentos deterministas: abrir y cerrar un interruptor de la luz; dejar caer un objeto por un plano inclinado; medir el tiempo en un reloj
Tres ejemplos de experimentos aleatorios: lanzamiento de una moneda; evolución del estado del tiempo (meteorología); evolución de la bolsa
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal
ENUNCIADO. Un artesano carpintero quiere restaurar la rueda de un antiguo carro de labor, que tiene 12 radios (de madera). ¿ Cuál es la medida angular del ángulo central entre cada radio y sus radios vecinos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Dividiendo una vuelta completa entre 12 partes obtenemos la amplitud angular de cada uno de los 12 sectores ( todos iguales ): $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$
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SOLUCIÓN. Dividiendo una vuelta completa entre 12 partes obtenemos la amplitud angular de cada uno de los 12 sectores ( todos iguales ): $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Operaciones con cantidades de tiempo
ENUNCIADO. ¿ Cuántos minutos transcurren desde las 13:40 a las 15:10 ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$15:10-13:40=$
$=14:70-13:40=1:30=1\,\text{hora}\;\text{y}\;30\,\text{minutos}=60\,\text{minutos}+30 \,\text{minutos}$
$=90\,\text{minutos}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$15:10-13:40=$
$=14:70-13:40=1:30=1\,\text{hora}\;\text{y}\;30\,\text{minutos}=60\,\text{minutos}+30 \,\text{minutos}$
$=90\,\text{minutos}$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Escalas de representación.
ENUNCIADO. En un mapa a escala 1:2000, el polígono que corresponde a una finca tiene una superficie de $15$ centímetros cuadrados. ¿ Cuántos metros cuadrados mide la finca ( sobre el terreno ) ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$$\text{Área de la finca}=15\cdot 2\,000^2\,\text{cm}^2 = 15 \cdot 4\,000\,000\, \text{cm}^2\cdot \dfrac{1}{10\,000}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{cm}^2}=6\,000\,\text{m}^2$$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$$\text{Área de la finca}=15\cdot 2\,000^2\,\text{cm}^2 = 15 \cdot 4\,000\,000\, \text{cm}^2\cdot \dfrac{1}{10\,000}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{cm}^2}=6\,000\,\text{m}^2$$
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Cuentas básicas. Gastos. Ingresos. Ahorros.
ENUNCIADO. María y Jorge han trabajaron recogiendo fruta durante un mes el pasado verano. El sueldo ( descontados los impuestos ) les aportó $1100$ euros a cada uno, y los gastos que tuvieron que hacer frente fueron de $700$ euros ( compartiendo comida y alojamiento ). El dinero que les quedó ( como ahorro ) para ayudar a cubrir los gastos de sus estudios ¿ Cuánto dinero les quedó entre los dos ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ingresos: $2\cdot 1\,100=2\,200\,\text{euros}$
Gastos: $700\,\text{euros}$
Cantidad de dinero disponible para ayudar a pagar los estudios (ahorros):
Cantidad ahorrada=Ingresos-Gastos=$2\,200 \text{euros}-700\,\text{euros} = 1\,500\,\text{euros}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ingresos: $2\cdot 1\,100=2\,200\,\text{euros}$
Gastos: $700\,\text{euros}$
Cantidad de dinero disponible para ayudar a pagar los estudios (ahorros):
Cantidad ahorrada=Ingresos-Gastos=$2\,200 \text{euros}-700\,\text{euros} = 1\,500\,\text{euros}$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Descuentos. Tantos por ciento.
ENUNCIADO. Juan ha comprado una camiseta que estaba rebajada en un 6%. Ha pagado $12,50$ euros. ¿ Cuál era el precio de dicha camiseta ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemo por $x$ al precio de la camiseta, entonces podemos plantear la siguiente ecuación: $$\dfrac{100-6}{100}\,x=12,50$$ Resolvíendola, llegamos fácilmente a la solución $$x=\dfrac{12,50\cdot 100}{94}\approx 13\,\text{euros}\;\text{y}\;30\,\text{céntimos de euros}$$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemo por $x$ al precio de la camiseta, entonces podemos plantear la siguiente ecuación: $$\dfrac{100-6}{100}\,x=12,50$$ Resolvíendola, llegamos fácilmente a la solución $$x=\dfrac{12,50\cdot 100}{94}\approx 13\,\text{euros}\;\text{y}\;30\,\text{céntimos de euros}$$
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Comprando combustible
ENUNCIADO. Si 1 litro de combustible cuesta $1,20$ euros y disponemos de $40$ euros para comprar combustible, ¿ con cuántos litros podremos llenar el depósito ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de litros de combustible que podemos comprar con esa cantidad de dinero es $$\dfrac{1}{1,20}\,\dfrac{\text{L}}{\text{euros}}\cdot 40\,\text{euros} \approx 33,33 \,\text{L}$$ donde hemos planteado la proporción directa entre la magnitud 'cantidad de dinero' y la magnitud 'cantidad de combustible' utilizando los factores de conversión ( para variar ).
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de litros de combustible que podemos comprar con esa cantidad de dinero es $$\dfrac{1}{1,20}\,\dfrac{\text{L}}{\text{euros}}\cdot 40\,\text{euros} \approx 33,33 \,\text{L}$$ donde hemos planteado la proporción directa entre la magnitud 'cantidad de dinero' y la magnitud 'cantidad de combustible' utilizando los factores de conversión ( para variar ).
lunes, 27 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Elaboración de un diagram de sectores
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.
INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.
INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Media aritmética simple. Parámetros de centralización ( posición )
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros ( o medidas ) de posición /siguación. Moda.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Obtención de la moda ( parámetro de posición/situación )
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística de una variable. Diagramas de puntos, de barras, y línea poligonal de frecuencias
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Recuento de los valores de una variable estadística. Tabla de frecuencias.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. ¿ Qué ocurre con los parámetros media, moda, mediana y rango cuando multiplicamos cada dato por una costante ?
ENUNCIADO. El del ejercicio 66 de la página 277 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020. Estadística de 1 variable. Comparación de la centralización y de la dispersión de dos grupos
ENUNCIADO. El del ejercicio 67 de la página 277 del libro base ( ligeramente modificado )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de dispersión. Varianza. Desviación estándar. Rango
ENUNCIADO. El del ejercicio 23 de la página 272 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de centralización. Moda, mediana y media
ENUNCIADO. El del ejercicio 19, apartado (a), de la página 270 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
(Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural)
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Climogramas.
ENUNCIADO. El del ejercicio 16 de la página 267 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )
( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.
Fuente: https://es.climate-data.org/
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )
( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.
Fuente: https://es.climate-data.org/
Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Diagramas de sectores
ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 265 del libro base
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265
SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265
SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$
viernes, 24 de abril de 2020
Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de agosto de 2020 - Proporcionalidad. Un poco de álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 98 de la página 162 del libro base ( Unidad Didáctica 7 ) - ligeramente modificado -
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
$bc=ad$
$\Rightarrow bc-ad=0$
$\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
$\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
$\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
$\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
$\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
$bc=ad$
$\Rightarrow bc-ad=0$
$\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
$\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
$\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
$\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
$\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados y los números triangulares. Busca en la Wikipedia la entrada "números pentagonales" para ver cuál es la expresión algebraica que (depende de $n$, para $n\ge 1$ ). Dando a $n$ los diez primeros valores consecutivos $1,2,3,\ldots,10$, utiliza dicha expresión para calcular el valor de los números pentagonales consecutivos.
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Números triangulares
INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.
El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..
El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...
El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....
El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....
y así sucesivamente.
Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):
$1\cdot 2)/2=1$
$2\cdot 3/2=3$
$3\cdot 4/2=6$
$4\cdot 5/2=10$
$5\cdot 6/2=15$
$6\cdot 7/2=21$
$7\cdot 8/2=28$
$8\cdot 9/2=36$
$9\cdot 10/2=45$
$10\cdot 11/2=55$
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.
El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..
El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...
El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....
El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....
y así sucesivamente.
Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):
$1\cdot 2)/2=1$
$2\cdot 3/2=3$
$3\cdot 4/2=6$
$4\cdot 5/2=10$
$5\cdot 6/2=15$
$6\cdot 7/2=21$
$7\cdot 8/2=28$
$8\cdot 9/2=36$
$9\cdot 10/2=45$
$10\cdot 11/2=55$
jueves, 23 de abril de 2020
miércoles, 22 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números cuadrados consecutivos
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:
. . . .Si lo pensamos desde el punto de vista aritmético, vemos que $4$ es un número cuadrado porqué puede escribirse como el producto de dos números enteros positivos más pequeños, $4=2 \cdot 2$, lo cual se puede escribir también, como $4=2^2$; así que, desde este enfoque, $4$ no es el número cuadrado más pequeño, $1$ también es un número cuadrado, ya que $1=1\cdot 1=1^2$, y por tanto es el número (entero positivo) cuadrado más pequeño. De esta reflexión podemos entresacar que, si nos fijáis bien, podemos escribir cualquier número cuadrado de la forma $n^2$, donde $n$ es un entero positivo. En consecuencia, los diez primero números cuadrados son:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
ENUNCIADO. Una plantación de árboles tienes forma cuadrada. El área de la plantación es de 1 hectárea y tiene forma rectangular. Se divide dicho rectángulo en cuadrados de 4 metros de lado y en el centro de cada uno de dichos cuadrados se planta un árbol. ¿ Cuántos árboles habrá que plantar ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.
Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de 2020 - Estadística descriptiva de una variable. Frecuencias acumaladas ( absolutas y relativas )
INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base
ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra
lunes, 20 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Número de ordenaciones. Principios del recuento
INDICACIÓN. En un estante tenemos cinco libros: El Quijote de la Mancha, Moby Dick, Las aventuras de Huckelberry Finn, y un diccionario de inglés, ¿ de cuántas maneras podemos colocarlos ?
ENUNCIADO.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
ENUNCIADO.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Parámetros de situación/posición
INDICACIÓN. Lee las páginas 269, 269 y 270 del libro base
ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$
Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.
ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$
Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Cantidades periódicas
ENUNCIADO. Si hoy es lunes, ¿ qué día de la semana será dentro de 1045 días ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$
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SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$
Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Muestreo
INDICACIÓN. Lee las páginas 260 y 261 del libro base
Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.
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SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.
Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.
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SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.
viernes, 17 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio de inclusión-exclusión.
ENUNCIADO. En un club de lectura hay 100 socios/as. En dicho club se leen libros y revistas. Al preguntar a todas y cada una de esas personas recogemos la siguiente información: 60 personas dicen que leen libros, y 70 personas dicen que leen revistas. ¿ Cuántas personas socias leen solamente libros ? ¿ Cuántas leen solamente revistas ? ¿ Cuántas leen libros y, también, revistas ?
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
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RMT - Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio del palomar.
ENUNCIADO. Busca en la Wikipedia "principio del palomar" y resume brevemente lo que has entendido. Piensa en algún caso práctico en el que podría aplicarse dicho principio.
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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
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SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
Ejercicio 4 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representación de la gráfica de una función lineal
Ejercico número 14 de la página 243 del libro base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
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SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representaciones gráficas de algunas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Ejemplos sencillos de gráficas de relaciones binarias y gráficas de funciones
Ejercico número 13 de la página 243 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
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SOLUCIÓN.
jueves, 16 de abril de 2020
ESO2 - Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas
NOTA: Disculpad. En algún momento de la grabación, por esos errores de locución que suele darse en las grabaciones en directo, me he referido (indebidamente ) a los diagramas de flechas como diagramas 'digitales', cuando debería haber dicho diagramas sagitales. Cosas que pasan ... tonterías que a veces se dicen.
martes, 14 de abril de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Gráficas de funciones. Funciones lineales afines. Uso de la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=-2x+3$. Elabora una tabla numérica, calculando las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ y representa los pares de números que así obtendrás en un diagrma cartesiano. ¿ Qué puedes decir acerca de este conjunto de puntos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Funciones
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=4x-1$. Calcula:
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
Así pues, $x=\dfrac{3}{4}$
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Árboles equidistantes dispuestos en hilera
ENUNCIADO. Queremos plantar 24 árboles en hilera, igualmente distanciados unos de otros. Entre el primero y el último tiene que haber una distancia de 299 metros. ¿ Cuál deberá ser la distancia entre dos árboles contiguos ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Recuento de posibilidades. Principio de independencia.
ENUNCIADO. En un restaurante al que vas a cenar te dejan elegir tres opciones para el primer plato; dos para el segundo, y cuatro para el postre. ¿ Cuantas posibilidades tienes para elegir lo que quieres comer ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 10 de abril de 2020
ESO2 - Recordad: La propiedad de Euler, v-a+c=2, sólo se cumple en los poliedros convexos
Supongamos que se cumpla en un poliedro cóncavo. Aquí tenéis algunos contraejemplos:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
viernes, 3 de abril de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Análisis cualitativo de una función ( a partir de su gráfica )
ENUNCIADO: el del ejercicio 12 de la página 241
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )
Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Crecimiento y decrecimiento
Ejercicio 10 de la página 240 del libro base
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
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RMT - Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con potencias de base entera y de exponente un número natural
ENUNCIADO. Escribe cada uno de los siguientes productos en forma de una única potencia:
a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
$=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
$=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
$=2^{5}\cdot 2^{4}$
$=2^{5+4}$
$=2^{9}$
b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
$=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
$=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
$=3^{4}\cdot 3^{4}$
$=3^{4+4}$
$=3^{8}$
c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
$=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
$=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
$=5^{9} \cdot 5^{24}$
$=5^{9+24}$
$=5^{33}$
d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
$=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
$=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
$=7^{2}\cdot 7^{6}$
$=7^{2+6}$
$=7^{8}$
a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
$=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
$=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
$=2^{5}\cdot 2^{4}$
$=2^{5+4}$
$=2^{9}$
b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
$=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
$=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
$=3^{4}\cdot 3^{4}$
$=3^{4+4}$
$=3^{8}$
c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
$=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
$=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
$=5^{9} \cdot 5^{24}$
$=5^{9+24}$
$=5^{33}$
d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
$=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
$=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
$=7^{2}\cdot 7^{6}$
$=7^{2+6}$
$=7^{8}$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Aproximación de raíces cuadradas de números enteros positivos pequeños
ENUNCIADO. Escribe el número entero positivo menor que la raíz cuadrada que se pide que sea el más próximo a ésta, y escribe también el resto de dicha aproximación:
a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$
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a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$
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miércoles, 1 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril
ENUNCIADO. Efectua la siguiente suma de productos de dos maneras distintas:
$5·34+5·13+5·36+5·17$
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$5·34+5·13+5·36+5·17$
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RMT - Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con números enteros
ENUNCIADO. Halla las cifras que faltan en la siguiente suma:
$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$
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$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$
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Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Puntos de corte con los ejes de coordenadas
Ejercicio 9 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$
INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
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ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$
INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
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Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Discontinuidades
Ejercicio 8 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):
INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
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SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):
INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
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SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente
lunes, 30 de marzo de 2020
RMT - Ejercicio 2 de la seman del 30 de marzo al 5 de abril - Unidades agrarias de área, proporcionalidad
ENUNCIADO. Un agricultar tiene que arar unos campos de cultivo que, en total, tienen una extensión de 0,1 kilómetros cuadrados. Con su tractor, tarda 30 minutos en arar 500 metros cuadrados. ¿ Cuánto tiempo va a tardar para ararlo todo ?.
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SOLUCIÓN.
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SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Proporcionalidad, capacidad, volumen
ENUNCIADO. En un frasco hay 0,5 decilitros de medicamento que se administra mediante inyecciones. En cada inyección se administran 2 centímetros cúbicos de medicamento. ¿ Par cuántas inyecciones tenemos ?.
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Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones
Ejercicio 2 de la página 237, Unidad 11, del libro base
ENUNCIADO. Averigua la fórmula que expresa la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Haz lo mismo con el área de un círculo y su radio.
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
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ENUNCIADO. Averigua la fórmula que expresa la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Haz lo mismo con el área de un círculo y su radio.
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
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Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones
Ejercicio 1 de la página 237, Unidad 11, del libro base
ENUNCIADO. Confecciona una tabla de valores, haz una gráfica y halla una fórmula que describa la siguiente función: "La longitud de camino recorrido (en kilómetros) es igual a sesenta veces el tiempo transcurrido ( en horas )"
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
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ENUNCIADO. Confecciona una tabla de valores, haz una gráfica y halla una fórmula que describa la siguiente función: "La longitud de camino recorrido (en kilómetros) es igual a sesenta veces el tiempo transcurrido ( en horas )"
INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
jueves, 26 de marzo de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Trapecio equilátero
ENUNCIADO. Calcula el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas basas miden 12 centímetros y 16 centímetros, respectivamente, y la distancia perpendicular entre ellas es de 4 decímetros.
INDICACIÓN. Consulta en la Wikipedia la entrada "trapecio"
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A continuación, calculemos el perímetro, $\mathcal{P}$:
$\mathcal{P}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$, y como $|AB|=|CD|$, tenemos que $\mathcal{P}=2|AB|+|BC|+|CD|$ (1)
Para calcular $|AB|$ aplicamos el teorema de Pitágoras en $\triangle ABB'$: $|AB|=|\sqrt{|AB'|^2+|BB'|^2}|=|\sqrt{2^2+40^2}|=|\sqrt{1604}|$ cm
Por consiguiente, de (1), $\mathcal{P}=2|\sqrt{1604}|+12+16\approx 108$ cm
$\square$
INDICACIÓN. Consulta en la Wikipedia la entrada "trapecio"
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A continuación, calculemos el perímetro, $\mathcal{P}$:
$\mathcal{P}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$, y como $|AB|=|CD|$, tenemos que $\mathcal{P}=2|AB|+|BC|+|CD|$ (1)
Para calcular $|AB|$ aplicamos el teorema de Pitágoras en $\triangle ABB'$: $|AB|=|\sqrt{|AB'|^2+|BB'|^2}|=|\sqrt{2^2+40^2}|=|\sqrt{1604}|$ cm
Por consiguiente, de (1), $\mathcal{P}=2|\sqrt{1604}|+12+16\approx 108$ cm
$\square$
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Unidades de medida y proporcionalidad
ENUNCIADO.
Un vehículo viaja a una velocidad de 85 kilómetros por hora. Se pide:
a) Expresa dicha velocidad en metros por minuto.
b) ¿ Cuántos metros recorre en 2 minutos y 40 segundos ?
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Un vehículo viaja a una velocidad de 85 kilómetros por hora. Se pide:
a) Expresa dicha velocidad en metros por minuto.
b) ¿ Cuántos metros recorre en 2 minutos y 40 segundos ?
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Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Relación entre las longitudes de los elementos de un tronco de cono
Ejercicio número 15 de la página 220
ENUNCIADO. Calcula el radio de la base menor de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor es de 13 centímtros, la altura del tronco de cono es de 15 centímetros y la prolongación de la altura mide 9 centímetros.
INDICACIÓN. Lee la página 220 del libro base.
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ENUNCIADO. Calcula el radio de la base menor de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor es de 13 centímtros, la altura del tronco de cono es de 15 centímetros y la prolongación de la altura mide 9 centímetros.
INDICACIÓN. Lee la página 220 del libro base.
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Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - área lateral, área de la base, área total y volumen de un cilindro
Ejercicio número 6 de la página 218
ENUNCIADO. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de base circular, de 5 cm de radio y 16 cm de altura.
INDICACIÓN. Lee la página 218 del libro base.
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ENUNCIADO. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de base circular, de 5 cm de radio y 16 cm de altura.
INDICACIÓN. Lee la página 218 del libro base.
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lunes, 23 de marzo de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020
Ejercicio número 12 ( ampliado ) de la página 219 del libro base
ENUNCIADO. Un cono está engendrado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 8 centímetros. Calcula:
a) El diámetro de la base
b) La generatriz del cono
c) El área lateral del cono
d) El volumen del cono
e) El área de la base
INDICACIÓN. Lee con atención la página número 219
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Un cono está engendrado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 8 centímetros. Calcula:
a) El diámetro de la base
b) La generatriz del cono
c) El área lateral del cono
d) El volumen del cono
e) El área de la base
INDICACIÓN. Lee con atención la página número 219
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SOLUCIÓN.
Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo - cilindro
Ejercicio número 9 de la página 218 ( ligeramente modificado ) del libro base
ENUNCIADO. Calcula el volumen de un lápiz sin punta, de forma cilíndrica, que tiene 20 centímetros de longitud y cuya base circular tiene un diámetrno de 1 centímetro. Calcula también el área lateral.
INDICACIÓN. Lee con atención las páginas 216, 217 y 218
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Calcula el volumen de un lápiz sin punta, de forma cilíndrica, que tiene 20 centímetros de longitud y cuya base circular tiene un diámetrno de 1 centímetro. Calcula también el área lateral.
INDICACIÓN. Lee con atención las páginas 216, 217 y 218
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SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - aplicaciones de las fracciones
ENUNCIADO. Un depósito de agua está medio lleno. Juan añade una tercera parte la cantidad que contiene, y, a continuación, Merche repone una cantidad de agua igual a una quina parte de la capacidad del depósito. Luego, Andrés vacía el depósito tal como la ha dejado Merche, llevándose 26 L de agua. ¿ Qué capacidad tiene el depósito ?
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SOLUCIÓN.
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SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - operaciones combinadas con fracciones
ENUNCIADO. Efectúa la siguiente operación combinada, calculando la fracción reducida resultante $$\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{6}{5}-\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$$
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 20 de marzo de 2020
jueves, 19 de marzo de 2020
URGENTE. - Por favor, utilizad el aula virtual durante este periodo de confinamiento por el Covid19
Estimada madre y estimado padre:
Las tareas de Matemáticas de todos mis cursos para mis alumnos y alumnas están organizadas en el Aula Virtual del curso que les corresponda:
2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=57
RMT - 2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=63
3.º de ESO ( grupos A y B&C: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=58
4.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=60
Desde la misma, tu hijo/hija - con tus apellidos no deduzco de quién se trata - puede comunicarse conmigo a través de la mensajería interna ( del aula ). Tal como se explica en el plan de trabajo que está colgado en la página web del instituto, es necesario que los alumnos y alumnas se automatriculen en el aula virtual, identificándose primero en el sistema, con el nombre de usuario/a y contraseña proporcionada por EducaMadrid a través del instituto; si tu hijo/a no tiene dicha acreditación, tienes que telefonear al instituto para que te la proporcionen y guardarla a buen recaudo. Por otra parte, y como medida de emergencia para paliar la eventualidad de no disponer de credenciales, el aula está abierta a visitantes, los cuales pueden visualizar todos los contenidos de la misma, si bien no pueden participar activamente en los foros de dudas y ejercicios, cuestionarios, envío de tareas, etcétera; en tal caso, tampoco podrían participar en otras actividades evaluables que se realicen a distancia. Por ello - insisto - es inprescindble automatricularse ( no se necesita clave de aula para ello ) y es muy sencillo; en el aula virtual, en "Novedades" he colgado un vídeo explicativo, para que no haya ninguna duda de cómo hacerlo.
El trabajo está organizado por semanas. La exposición de contenidos la estoy haciendo mediante vídeos de mi canal de vídeo didácticod [ https://www.youtube.com/c/Cuadernosdematematicas ]. Las tareas están en los foros de ejercicios y dudas. Los alumnos y alumnas tienen que realizar en sus cuadernos de clase ( bolígrafo y papel ) los ejercicios que se van proponiendo en los hilos (de los foros) respectivos. Cada hilo ( ejercicio ) enlaza a una entrada del blog de Matemáticas de la asignatura que corresponda a tu hijo/a:
2.º de ESO: https://cdme2.blogspot.com/
3.º de ESO: https://cdme3.blogspot.com/
4.º de ESO: https://cdme4.blogspot.com/
Desde luego, los alumnos y alumnas pueden (deben) participar activamente en los foros de ejercicios y dudas, exponiendo dudas e interviniendo en los debates que se generen, lo cual también es evaluable. Después de un plazo de 48 horas como máximo de haber propuesto cada ejercicio, añado la solución debajo del enunciado, en la misma entrada del blog -- todo esto se explica concienzudamente en las indicaciones que he ido colgando hasta el momento --. Una vez haya aparecido la solución ( resolución y comentarios ) de cada ejercicio -- los alumnos/as tienen que preocuparse de consultar otra vez dicha entrada del blog ( enlazada en el ejercicio del foro semanal )- y corregir lo que proceda en sus cuadernos, en color rojo -- tal como se viene haciendo en las clases presenciales desde inicio de curso -. Cuando sea posible volver al instituto, por supuesto, revisaré los cuadernos.
En la cabecera del aula virtual encontrarás un foro de "Novedades", que es muy importante consultar, pues desde dicho foro voy informando y estableciendo las eventuales indicaciones e instrucciones concretas que puedan sobrevenir sobre el trabajo en mi aula virtual de Matemáticas de 3.º de ESO A y B&C.
Probablemente, y a efectos de evaluación, tu hijo/hija también tendrá que enviar algún trabajo y responder a cuestionarios en línea (desde el aula virtual), que, de momento, todavía no he habilitado. Todo ello se hará conforme a las instrucciones que vayan apareciendo en el aula virtual. Por ello, vuelvo a insistir: es de primera necesidad que tu hijo/a acceda al aula virtual y se automatricule en la misma.
Todos los viernes tenemos sesión de tutoría de 3.º de ESO A, de 13:35 a 14:30 ( en regimen normal de clases ). Para suplirla durante el tiempo que dure la emergencia sanitaria, he habilitado una sala de conversación ( 'chat' ) en la misma aula virtual de Matemáticas, que se encuentra en la cabecera del aula virtual. La sala de conversación estará abierta todos los viernes a esta hora. Para consultas privadas de tutoría, utiliza, por favor, este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).
He dispuesto dos correos para comunicaciones de emergencia ( previendo el caso que se colapsen los servidores de las aulas virtuales ): fscymtmcs@gmail.com ( para la asignatura de Matemáticas ) y joan.aranes@educa.madrid.org ( para mi tutoría de 3.º de ESO )
Si tienes cualquier otra duda acerca de la organización en mi asignatura y en mi tutoría durante el periodo de emergencia sanitaria, por favor, utiliza este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).
Salud
Joan
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