Resolución de una ecuación de segundo grado completa, transformándola convenientemente

Enunciat:
Resoleu l'equació $x^2+x-1=0$ sense fer ús de l'expressió general de la solució d'una equació de 2n grau completa.

Solució:
Fent ús de la identitat notable $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$, podem escriure el primer membre de la següent forma
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^2-1$
que, simplificat, queda
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{5}{4}$
per tant l'equació original, escrita d'una manera més convenient per poder trobar la solució, és equivalent a la següent
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{5}{4}=0$
llavors
  $\bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2=\dfrac{5}{4}$
i extraient l'arrel quadrada a cada membre de la igualtat per desfer la potència al quadrat del primer membre obtenim
  $\pm \left(x+\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{5}{4}}$
  $ x+\dfrac{1}{2}=\pm\,\sqrt{\dfrac{5}{4}}$
per tant,
  $x=-\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
        $=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
és a dir
$x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\\vee\\\dfrac{-1 -\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix}\right.$
$\square$

Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los números enteros ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
    Calculeu
      a) el màxim comú divisor de $-72$ i $-84$
      b) el mínim comú múltiple de $-72$ i $-84$

Solució:
  a)
Tinguem en compte que, tractant amb nombres enters que, en aquest cas, son negatius:
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)$
Factoritzant ambdós nombres obtenim
      $72=2^3\cdot 3^2$
      $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$
per tant
    $\text{m.c.d}(-72,-84)=\text{m.c.d}(\left|-72\right|,\left|-84\right|)=\pm ( 2^2\cdot 3 ) = \pm 12$

  b)
Emprant la propietat
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
obtenim
        $\text{m.c.m}(-72,-84) = \big((-72)\cdot (-84)\big) \div \text{m.c.d}(-72,-84)$
                                        $= \big((-72)\cdot (-84)\big) \div ( \pm 12 )$
                                        $= 6\,048 \div ( \pm 12 )$
                                        $= \pm 504$

$\square$

[nota del autor]

Un grupo de jóvenes asisten a una fiesta. Si se marchasen tres chicos

Enunciat:
Quaranta-tres joves assisteixen a una festa. Si marxessin 3 nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quantes noies hi havia?

Solució:
Designem amb $n$ el nombre de nois que inicialment hi ha a la festa; llavors, si en marxen tres, $n-3$ és el nombre de nois que es queden.

Tenint en compte, a més a més, que en marxar tres persones hi quedaran 40 persones i que el nombre de noies (en aquesta situació) [ que és $40-(n-3)$ ] ha de ser el triple que el de nois, escriurem la següent equació,

              $40-(n-3)=3\,(n-3)$

Resolent aquesta equació trobarem el nombre de nois que hi havia inicialment a la festa:

        $40-(n-3)=3\,(n-3)$
        $40=4\,(n-3)$
        $10=n-3$
        $n=10+3$
          $=13 \quad \text{nois}$

Per tant hi queden $13-3=10 \quad \text{nois}$ i $3\cdot 10= 30 \quad \text{noies}$. I com que no ha marxat cap noia, a la festa hi havia inicialment $30$ noies ( i $1 3$ nois).

$\square$

La suma de dos números naturales consecutivos es ...

Enunciat:
La suma de dos nombres naturals senars consecutius és igual a 156. Determineu aquests nombres.

Solució:
Si $n$ és un nombre enter positiu ( $ n=0,1,2,\ldots $ ), llavors $2\,n+1$ és un nombre senar, i $(2\,n+1)+2$ és el nombre senar consecutiu al primer. D'acord amb la informació de l'enunciat podrem plantejar la següent equació:
              $(2\,n+1)+\big((2\,n+1)+2\big)=156$
Resolem-la:
      $(2\,n+1)+\big((2\,n+1)+2\big)=156$
        $2\,n+1+2\,n+3=156$
        $4\,n+4=156$
        $4\,n=156-4$
        $n=\dfrac{152}{4}$
              $=38$
D'aquest valor de $n$ trobem, doncs, els valors del primer nombre senar demanat
        $2\,n+1=2 \cdot 38+1$
          $=77$
i del seu senar consecutiu
        $2\,n+3=2 \cdot 38+3$
          $=77+2$
          $=79$
$\square$

Queremos embaldosar el suelo de una habitación rectangular con baldosas cuadradas ...

Enunciat:
    Volem enrajolar una habitació rectangular amb el nombre més petit possible de rajoles quadrades, sense haver de trencar i ajustar les rajoles. Els costats de l'habitació mesuren $420 \; \text{cm}$ i $528 \; \text{cm}$, respectivament. De quina mida han de ser les rajoles ? Quantes rajoles necessitarem ?

Solució:
    Imaginant una fila de rajoles al llarg d'un dels costats veiem que n'hi ha d'haver un nombre enter (no ha de faltar ni sobrar cap tros de rajola); i, al llarg de l'altre costat ha de passar el mateix. Llavors, el costat $c$ de les rajoles ha de correspondre al màxim comú divisor de les longituds dels costats de l'habitació:
                                      $c=\text{m.c.d.(420,528)}=12 \; \text{cm}$
Llavors, el nombre de rajoles és igual al nombre de quadrats amb què podem quadricular l'habitació rectangular; necessitem, per tant, el següent nombre de rajoles
                                      $\dfrac{420}{12}\cdot \dfrac{528}{12}=35 \cdot 44 = 1\,540 \, \text{rajoles}$
$\square$

María tiene cuatro mandarinas menos que Sara ...

Enunciat:
La Maria té 4 mandarines menys que la Sara. Si la Maria li'n donés dues, la Sara en tindria el triple que ella. Quantes mandarines té cadascuna ?

Solució:
Anomenem $s$ al nombre de mandarines que té la Sara abans que en doni dues a la Maria.

Llavors, podem plantejar l'equació que expressa, en el llenguatge de l'àlgebra, la informació de l'enunciat. Tenint en compte el nombre inicial de mandarines que tenia cada una i la transferència de mandarines que es descriu, podrem escriure:

          $3\,\big((s-4)-2 \big)=s+2$

  On, al primer membre, i, dins del primer parèntesi, $s-4$ representa el nombre de mandarines que té la Maria (abans que la Sara li'n doni dues de les seves); i, al segon membre, $s+2$ és el nombre de mandarines que tindrà la Sara quan la Maria li'n doni dues de les seves. El factor $3$ que hi ha davant del primer parèntesi del primer membre indica que el nombre de mandarines amb què es quedarà la Maria serà igual a una tercera part de les que arribarà a tenir la Sara, és a dir, la Sara en tindrà el triple de les que tindrà la Maria.

Resolem, ara, l'equació:
      $3\,\big((s-4)-2 \big)=s+2$
        $3\,(s-6 )=s+2$
        $3\,s-18=s+2$
        $3\,s-s=2+18$
        $2\,s=20$
        $s=10$, que és el nombre de mandarines que té la Sara (abans que en doni dues d'aquestes a la Maria).

I, d'aquí, deduïm que la Maria té $10-4=6$ mandarines ( abans de fer la transferència).

$\square$

En una caja hay bolas blancas y negras ...

Enunciat:
En una capsa hi ha boles blanques i negres. La diferència entre el nombre de boles blanques i el nombre de boles negres és 1. Si retirem 3 boles negres de la capsa, el nombre de boles blanques que hi haurà, ara, dins de la capsa serà el triple que el nombre de boles negres que hi quedaran.
    a Quantes boles blanques hi ha inicialment a la capsa?
    b) Quantes boles hi ha inicialment a la capsa?

Solució:
  a)
Anomenem amb $b$ el nombre de boles blanques que, inicialment, hi ha a la capsa.

D'acord amb la informació de l'enunciat sabem que:
    $b-1$ és el nombre inicial de boles negres que hi ha a la capsa
    $(b-1)-3$ és el nombre final de boles negres que hi quedaran a la capsa
    $3\big((b-1)-3\big)$ és el nombre final de boles blanques que hi quedaran a la capsa. Llavors,
          $3\big((b-1)-3\big)=b$
            $3\,(b-4)=b$
            $3\,b-12=b$
            $3\,b-b=12$
            $2\,b=12$
            $b=6 \quad \text{boles blanques}$

  b)
El nombre de boles negres que hi ha (inicialment) a la capsa és igual a $(b-1)|_{b=6}=6-1=5 \quad \text{boles negres}$. Per tant, el nombre de boles que, inicialment, hi ha a la capsa és $6+5=11$ boles en total.

$\square$

Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios ...

Resoleu l'equció:
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$

Solució:
  Procediment A:
Observem que es tracta d'una equació de primer grau amb una incògnita i amb coeficients fraccionaris. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múltiple del conjunt de denominadors dels coeficients, i, simplificant, obtindrem una equació equivalent amb coeficients enters, que serà més senzilla.

Calculem el mínim comú múltiple dels denominadors de dels coeficients
    $\{\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{1}{12}\,\,,\,\dfrac{7}{75}\,,\,\dfrac{5}{36}\}$
i obtenim
$\text{m.c.m}(15,12,75,36)=3^2\cdot 5^2 \cdot 2^2 = 900$
Multiplicant els dos membres de l'equació per aquest nombre podrem escriure l'equació equivalent
    $900\cdot \dfrac{2}{15}\,x+900\cdot \dfrac{1}{12}=900\cdot \dfrac{7}{75}-900\cdot \dfrac{5}{36}\,x$
que, simplificant, queda
    $120\,x+75=84-125\,x$
Agrupant, ara, els termes semblants a un i altre membre de la igualtat arribem a
    $120\,x+125\,x=84-75$
i, operant, s'obté
    $245\,x=9$
d'on, aïllant la incògnita s'arriba al valor d'aquesta que satisfà al igualtat plantejada
    $x=\dfrac{9}{245}$
$\square$

  Variant del procediment A:
Reduïm a comú denominador els coeficients fraccionaris:
    $\{\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{1}{12}\,\,,\,\dfrac{7}{75}\,,\,\dfrac{5}{36}\}$
obtenint el conjunt de fraccions de denominador comú
    $\{\dfrac{2 \cdot (900 \div 15)}{900}\,,\,\dfrac{1 \cdot (900 \div 12)}{900}\,\,,\,\dfrac{7 \cdot (900 \div 75)}{900}\,,\,\dfrac{5 \cdot (900 \div 36)}{900}\}$
que, fent les operacions, són
    $\{\dfrac{120}{900}\,,\,\dfrac{75)}{900}\,\,,\,\dfrac{84}{900}\,,\,\dfrac{125}{900}\}$
En substituir els coeficients originals pels corresponents equivalents que acabem de calcular podrem escriure l'equació original de la forma
    $\dfrac{120}{900}\,x+\dfrac{75}{900}=\dfrac{84}{900}-\dfrac{125}{900}\,x$
és a dir
    $\dfrac{120\,x+75}{900}=\dfrac{84-125\,x}{900}$
i multiplicant per $900$ a cada membre
    $900\ cdot \dfrac{120\,x+75}{900}=900\,\dfrac{84-125\,x}{900}$
podrem simplificar i escriure-la de la manera següent
    $120\,x+75=84-125\,x$
i, finalment, agrupant els termes semblants a cada costat de l'igual
    $120\,x+125\,x=84-75$
que, per la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, és equivalent a
    $(120+125)\,x=84-75$
operant s'obté
    $245\,x=9$
i, dividint ambdós membres per $245$
    $\dfrac{245\,x}{245}=\dfrac{9}{245}$
i simplificant, ens quedarà aïllada la incògnita
    $x=\dfrac{9}{245}$
$\square$

  Procediment B:
Operarem, ara, amb nombres fraccionaris i, per tant, agrupem ja els termes semblants a cada membre de la igualtat. A partir de l'equació original
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
podem escriure
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{5}{36}\,x=\dfrac{7}{75}-\dfrac{1}{12}$
i, per la propietat distributiva del producte respecte de la suma, ho podem posar així
    $\big(\dfrac{2}{15}+\dfrac{5}{36}\big)\,x=\big(\dfrac{7}{75}-\dfrac{1}{12}\big)$
a partir d'aquí, sumant els coeficients fraccionaris; s'obté
    $\dfrac{49}{180}\,x=\dfrac{1}{100}$
és a dir
    $\dfrac{49}{18}\,x=\dfrac{1}{10}$
i aïllant la incògnita arribem a
    $x=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{49}{18}}$
i efectuant el quocient de les fraccions trobem
            $x=\dfrac{18}{490}$
resultat que, simplificat, queda
            $x=\dfrac{9}{245}$
$\square$

Nota 1: Per comprovar que el resultat és obtingut cal substituir-lo a l'equació original i mirar si les quantitats que s'obtenen a cada membre són iguals. Vegem-ho.
L'equació original és
    $\dfrac{2}{15}\,x+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\,x$
Substituint, trobem que el primer membre és igual a
    $\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{9}{245}+\dfrac{1}{12}$
que, operant, queda
            $\dfrac{1297}{14700}$
i que el segon membre té el següent valor
    $\dfrac{7}{75}-\dfrac{5}{36}\cdot \dfrac{9}{245}$
que també és igual a
            $\dfrac{1297}{14700}$
Per tant, queda comprovat el resultat obtingut.

Nota 2: En general, no és convenient operar amb les expressions decimals dels coeficients fraccionaris dels termes de l'equació, per vàries raons: a) les expressions decimal d'aquests coeficients fraccionaris són de tipus decimal periòdic:

  $\dfrac{2}{15}=0,1\bar{3}$
  $\dfrac{1}{12}=0,08\bar{3}$
  $\dfrac{7}{75}=0,09\bar{3}$
  $\dfrac{5}{36}=0,13\bar{8}$

Per tant, ens veuríem obligats a fer aproximacions; és a dir, no obtindríem el resultat exacte ans un d'aproximat la qual cosa, en aquest exercici és innecessari i, doncs, inacceptable; b) treballar amb expressions decimals és gairebé sempre més farragós i feixuc que fer ús del càlcul amb fraccions (que podem realitzar amb les funcions de càlcul fraccionari de la calculadora científica bàsica ).

Calcular la fracción resultante ...

Enunciat:
Efectueu la següent operació amb fraccions:
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$

Solució:
Primer de tot, simplifiquem les fraccions que siguin reductibles:
    $\dfrac{60}{5}=12$
i tornem a escriure l'expressió numèrica equivalent
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuació, respectant la prioritat de les operacions, efectuem primer les que hi ha dins del parèntesi, per tant, efectuem en primer lloc la divisió
    $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Posem aquest resultat a la línia principal del càlcul i continuem
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
        $=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuació, continuem fent les operacions del parèntesi, que són sumes i restes, per tant reduïm a comú denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) i trobem que
      $\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
        $=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
        $=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
        $=\dfrac{25-14+40}{60}$
        $=\dfrac{51}{60}$
        $=\dfrac{17}{30}$
Posem aquest resultat a la línia principal del càlcul i continuem
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
        $=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
        $=17\cdot \dfrac{12}{20}$
        $=17\cdot \dfrac{3}{5}$
        $=\dfrac{51}{5}$
$\square$

Fracciones equivalentes

Enunciat:
Donats els nombres racionals equivalents $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$, justifiqueu la següent propietat:
                $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors,
$a\,(b+d)=b\,(a+c)$
és a dir
$a\,b+a\,d=b\,a+b\,c$
i, donat que $a\,b=b\,a$
la igualt anterior és equivalent a
$a\,b+a\,d=a\,b+b\,c$
Sumant $-a\,b$ a cada membre queda
$-a\,b+a\,b+a\,d=-a\,b+a\,b+b\,c$
i simplificant,
$a\,d=b\,c$
Finalment, dividint ambdós membres de la igualtat per $b\,d$ ens queda
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Hem acabat.

Exemple:
Si
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$
llavors
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2+4}{3+6}$
        $=\dfrac{6}{9}$

Comentari:
També es compleix que
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{c-a}{d-b}$

Exemple:
$\dfrac{24}{15}=\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{10}=\dfrac{-16}{-10}$

Observació:
Atenció, però. Tingueu en compte que a partir de
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
no es pot caure en la temptació d'escriure coses errònies; per exemple, cal tenir en compte que
      $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a\,c}{b\,d}$

Exemple:
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6} \neq \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 6}$

$\square$

El perímetro de un triángulo rectángulo ...

Enunciat:
El perímetre d'un triangle rectangle mesura vint-i-quatre metres, i, la longitud d'un dels catets és igual a tres quartes partes de la de l'altre. Calculeu l'àrea del triangle.

Solució:
Anomenem $x$ al catet més llarg, llavors la longitud de l'altre ve donada per
    $\dfrac{3}{4}\,x$
i la longitud de la hipotenusa per ( teorema de Pitàgores)
    $\sqrt{x^2+\Big(\dfrac{3}{4}\,x\Big)^2}$
és a dir
    $\sqrt{\Big(\dfrac{25}{16}\,x\Big)^2}$
que és igual a
    $\dfrac{5}{4}\,x$
per tant, d'acord amb l'enunciat, podem escriure
    $x+\dfrac{3}{4}\,x +\dfrac{5}{4}\,x=24$
sumant els termes semblants del primer membre queda
    $\dfrac{12}{4}\,x=24$
    $3\,x=24$
i d'aquí
    $x=8 \,\text{cm}$
Llavors l'altre catet, la longitud del quals és igual a tres quartes parts de la d'aquest, mesura $x=6 \, \text{cm}$

Calculem, ara, l'àrea $\mathcal{A}$ del triangle rectangle; per això, prenem com a base un dels catets, llavors l'altura corresponent és la longitud de l'altre catet, per tant
      $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\,(8\cdot 6) = 24 \, \text{m}^2$
i hem acabat.
$\square$

Ordenando fracciones ...

Enunciat:
Ordeneu els següents nombres racionals sense fer ús de la seva expressió decimal
                                          $\{\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{13}{20}\,,\,\dfrac{3}{4}\}$

Solució:
Per establir l'ordenació procedirem de la manera següent:
  1r pas: trobarem una fracció equivalent de cada una de les donades, de tal manera que totes tres tinguin el mateix denominador ( reducció a comú denominador )
  2n pas: fet això, tan sols quedarà comparar els numeradors; l'ordre dels numeradors és el mateix que el de les fraccions amplificades.

Per reduir a comú denominador, calculem un múltiple comú dels tres denominadors, que serà el denominador comú. Els nous numeradors els calcularem multiplicant pel mateix nombre enter que multipliquem el denominador original per obtenir el múltiple comú. ( Nota: per bé que val qualsevol múltiple comú, és natural que calculem el més petit ( mínim comú múltiple ).

El mínim comú múltiple dels denominadors és
      $\text{m.c.m}(5,20,4)=20$
Llavors, ajustant convenientment els numeradors arribem a
      $\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \cdot (20 \div 5)}{20}= \dfrac{16}{20}$
      $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot (20 \div 4)}{20}= \dfrac{15}{20}$
      $13/20$   ( ja té el denominador comú: no cal fer res )
Veiem que l'odre dels numeradors és
      $13 \prec 15 \prec 20$
que ens indica l'ordre de les fraccions reduïdes a comú denominador
      $\dfrac{13}{20} \prec \dfrac{15}{20} \prec \dfrac{16}{20}$
i, tenint en compte les equivalències, arribem al resultat demanat:
      $\dfrac{13}{20} \prec \dfrac{3}{4} \prec \dfrac{4}{5}$
$\square$

Las longitudes de los lados de un cierto triángulo rectángulo que corresponden a una terna pitagórica ...

Enunciat:
Les longituds dels costats d'un triangle són $6 \, \text{dm}$, $8 \, \text{dm}$ i $10 \, \text{dm}$. Quin tipus de triangle és ?.

Solució:
Observem que el conjunt dels tres nombres que corresponen a les longituds dels costats $(6,8,10)$ és una terna pitagòrica; en efecte, $10^2$ ( que és $100$ ) és igual a la suma de $8^2$ ( que és $64$ ) i $6^2$ ( que és $36$ ), per tant el triangle donat és un triangle rectangle ( l'angle que formen els dos costats més curts és de $90^{\circ}$ ). $\square$

Diseñar una estrategia de cálculo

Enunciado:
Diseñar una estrategia de cálculo para encontrar el resultado de la siguiente operación
    $28\cdot 43$

Solución:
    $28 \cdot 43$
      $=(25+3) \cdot 43$
      $=25\cdot 43 + 3\cdot 43$
      $=43 \cdot 100 \div 2 \div 2+3\cdot 43$
      $=4300 \div 2 \div 2 + 129$
      $=2150 \div 2+129$
      $=1075+129$
      $=1075+130-1$
      $=1205-1$
      $=1204$
$\square$

[nota del autor]

Diseñar una estrategia de cálculo ...

Enunciado:
Diseñar una estrategia de cálculo mental para llegar al resultado de la siguiente operación
    $0,52 \div 0,026$

Solución:
    $0,52 \div 0,026$
      $=( 0,52 \cdot 1000) \div ( 0,026 \cdot 1000)$
      $=520 \div 26$
      $=10\cdot 2 \cdot 26 \div 26$
      $=10\cdot 2 \cdot 1$
      $=20$
$\square$

[nota del autor]

Valorar la expresión algebraica ...

Enunciado:
Valorar la expresión algebraica
    $4\,\bigg(x^2-\dfrac{2}{3}\,x\bigg)$
si $x$ toma el valor $-1$

Solución:
    $4\,\bigg[x^2-\dfrac{2}{3}\,x\bigg]_{x=-1}=4\cdot \bigg((-1)^2-\dfrac{2}{3}\cdot (-1)\bigg)$
                                    $=4\cdot \big(1+\dfrac{2}{3}\big)$
                                    $=4\cdot \big(\dfrac{5}{3}\big)$
                                    $=\dfrac{4\cdot 5}{3}$
                                    $=\dfrac{20}{3}$
$\square$

Aplicar el Teorema de Tales

Enunciado:
Calcular el valor de $x$

Solución:
Por el Teorema de Tales, podemos escribir
    $\dfrac{x}{4}=\dfrac{2}{5}$
esto es
    $\dfrac{x}{2}=\dfrac{4}{5}$
de donde
    $5\,x=4\cdot 2$
y por tanto
    $5\,x=8 \Rightarrow x=\dfrac{8}{5}$
$\square$

Aplicar el Teorema de Tales para calcular el valor de $x$

Enunciado:
Calcular el valor de $x$

Solución:
Por el el Teorema de Tales, podemos escribir
    $\dfrac{x}{5}=\dfrac{3}{6}$
que es lo mismo que
    $\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{6}$
por tanto
    $6\,x=3\cdot 5$
y, resolviendo la ecuación
    $6\,x=15 \Rightarrow x=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$
$\square$

Dados los triángulos semejantes ...

Enunciat:
Considerant els triangles semblants de la figura ( els angles homòlegs són iguals i, per tant, els costats corresponents són proporcionals ), calculeu el valor de la raó de semblança, $r$, i les longituds dels costats $a$ i $b'$.

Solució:
La raó aritmètica de les longituds dels costats corresponents dels quals en donen la seva mesura permet escriure la raó de semblança, que és igual a
    $\dfrac{306}{612}$
que, simplficant, queda
    $r=\dfrac{1}{2}$
Llavors s'ha de complir també que
    $\dfrac{b'}{268}=r$
és a dir
    $\dfrac{b'}{268}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow b'=\dfrac{268}{2}=134\, \text{mm}$
I, semblantment, podem escriure
    $\dfrac{300}{a}=r$
és a dir
    $\dfrac{300}{a}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=300\cdot 2 = 600 \, \text{mm}$
$\square$

El precio de veta al público de unos pantalones ...

Enunciat:
El preu de venda al públic d'un pantalons, inclòs el $21\,\%$ d'IVA, és de $60,00 \, \text{euros}$. Quin és el preu sense IVA ?.

Solució:
Per resoldre aquest problema cal entendre que apareixen en escena dues magnituds proporcionals: el preu de venda al públic ( que incorpora l'IVA ), que anomenarem $\mathcal{V}$, i, el preu nominal, que anomenarem $\mathcal{N}$. Aquest problema és de proporcionalitat directa perquè és evident que si el preu nominal de l'article agumenta, el preu de venda al públic també augmenta. Llavors, si $v_1$ i $v_2$ són dos valors de la magnitud $\mathcal{V}$, i $n_1$ i $n_2$ són els dos valors respectius de la magnitutd $\mathcal{N}$, s'ha de complir la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques ) directa:
    $\dfrac{n_1}{v_1}=\dfrac{n_2}{v_2}$
        Remarca:   És important que ens fixem bé en el següent detall: els dos valors de $\mathcal{N}$ figuren als numeradors i els dos valors respectius de $\mathcal{V}$ als denominadors ( de forma equivalent, també podríem posar els dos valors de $\mathcal{N}$ als denominadors i els dos valors respectius de $\mathcal{V}$ als numeradors ).

Ara, posant els valors donats a l'enunciat, que són:
  $n_1=100$
  $v_1=100+21=121$
  $n_2=\text{?}$
  $v_2=60$
haurem de resoldre aquesta equació
    $\dfrac{100}{121}=\dfrac{n_2}{60,00}$
llavors, multiplicant ambdós membres de l'equació per $60$ arribem a
    $n_2 = \dfrac{60\cdot 100}{121}$
        $\approx 49,59 \, \text{euro}$

$\square$

División de un segmento en partes proporcionales

Considerem un segment $\overline{AB}$ i la seva longitud, com a magnitud. Suposem que la longitud d'aquest segment és de cinc unitats de longitud ($5$ u. de l.) Situem a continuació un punt $P$ entre els dos extrems de tal manera que el divideixi en dues parts $\overline{AP}$ i $\overline{PB}$: la primera, $a$, de longitud igual, per exemple, a $2$, i, la segona, $b$, de longitud igual, per exemple, a $3$.

Entenem aquí per raó (aritmètica) de les quantitats $3$ i $2$ (de la magnitud longitud), el nombre de vegades que la longitud $\overline{PB}$ - considerant-la com un nou patró de mesura - abasta la longitud $\overline{AP}$, és a dir,
$\dfrac{3}{2}$

A continuació, considerem també un altre segment $\overline{A'B'}$, de longitud igual, per exemple, a $15$ u. de l. Imaginem-lo dividit en dues parts $a'$ i $b'$, que guardin la mateixa proporció que les del segment $\overline{AB}$. Per això, plantejarem la proporció, és a dir, la igualtat entre les dues raons aritmètiques:
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$

és a dir,
    $\dfrac{2}{3}=\dfrac{a'}{15-a'}$
D'aquí trobarem que
    $a' = 6$ u. de l.
I, per tant, que
    $b' = 15 -6 = 9$ u. de l.
$\square$

Queremos comprar una camisa ...

Enunciat:
Volem comprar una camisa que té un preu de venda al públic ( i, per tant, ja inclou l'IVA ) de $20,00\, \text{euros}$. Quin és el preu nominal?.

Solució:
Tenint en compte que, en el moment de resoldre el problema, l'IVA vigent és del $21\,\text{\%}$, ranonarem de la següent manera per interpretar aquest percentatge:
Suposem un objecte que té un preu nominal de $100 \, \text{euros}$, el seu preu de venda al públic serà, doncs, de $100+21 = 121 \, \text{euros}$. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{100}{121}=\dfrac{x}{20,00}$
( $x$ representa el preu nominal corresponent al preu de venda al públic que se'ns dóna )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{100 \cdot 20,00}{121} \approx 16,52\,\text{euros}$
$\square$

De rebajas ...

Enunciat:
Per uns pantalons que estaven rebaixats un $10\,\%$ hem pagat $60,00\, \text{euros}$. Abans de les rebaixes, quin era el preu de venda al públic d'aquest article ?.

Solució:
Interpretem aquest percentatge de descompte ( $10\,\%$ sobre el preu de venda al públic ):
Suposem un objecte que té un preu de venda al públic de $100$ euros i que, en fer-nos una rebaixa de $10$ euros de cada $100$ en total, costa (cal pagar) $100-10 = 90$ euros. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{100}{90}=\dfrac{x}{60,00}$
( $x$ representa el preu de venda al públic abans de fer-nos la rebaixa )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{100 \cdot 60,00}{90} \approx 66,67\,\text{euros}$
$\square$

Sin hacer uso de la división con decimales, acotar ...

Enunciado:
Sin hacer uso de la división con decimales, acotar la fracción $\frac{11}{3}$ entre los dos números enteros más próximos.

Solución:
El cociente de la división entera, $11 \div 3$ es $3$; y, el resto, $2$. Por tanto,
      $3 \prec \frac{11}{3} \prec (3+1)=4$
$\square$

¿ Puede construirse un triángulo de lados $a$, $2\,a$ i $4\,a$ ( on el paràmetre $a$ és un nombre real positiu ) ?

Enunciat:
Es pot construir un triangle amb tres segments de longituds $a$, $2\,a$ i $4\,a$ ( on el paràmetre $a$ és un nombre real positiu ) ?

Solució:
No és pot construir perquè no es compleix la condició necessària (la suma de les longituds dels dos costats més petits ha de ser més gran que la longitud del costat més llarg de tots tres); en aquest cas, això no es verifica:
    la suma dels dos més curst, $a+2\,a$, és igual a $3\,a$, que és menor que la longitud del més llarg, $4\,a$
$\square$

Operaciones con fracciones

Enunciat:
Efectueu les següents operacions amb fraccions
  a)
      $\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{7}$
  b)
      $\dfrac{5}{2}\div\dfrac{3}{7}$

Solució:
a)
      $\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{3}{7} = \dfrac{5 \cdot 3}{2 \cdot 7}=\dfrac{15}{14}$
b)
      $\dfrac{5}{2}\div\dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{2}\cdot \text{invers}\Big(\dfrac{3}{7}\Big)= \dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{5 \cdot 7}{2 \cdot 3}=\dfrac{35}{6}$
$\square$

Dados $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostrar que si ...

Enunciat:
Donats $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, on $b \neq 0$ i $d \neq 0$, demostreu que si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
llavors
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$

Solució:
Si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $a\,(b+d)=b\,(a+c) \quad \quad \quad (1)$
Semblantment, si
    $\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$
llavors
    $c\,(b+d)=d\,(a+c) \quad \quad \quad (2)$
Dividint membre a membre (1) entre (2) podem escriure
    $\dfrac{a\,(b+d)}{c\,(b+d)}=\dfrac{b\,(a+c)}{d\,(a+c)}$
i, simplificant, arribem a
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
$\square$

Nota:
Semblantment,
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}=\dfrac{-a+c}{-b+d}$


Exemple:
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1+2}{2+4}=\dfrac{1-2}{2-4}=\dfrac{-1+2}{-2+4}$
en efecte
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{-1}{-2}$

Ejemplo de estrategias para el cálculo mental. Propiedades de las operaciones básicas

Enunciat:
Dissenyeu una estratègia de càlcul mental per arribar al resultat de la següent operació
    $4,7 \cdot 0,012$

Solució:
    $4,7 \cdot 0,012$
      $=47 \cdot 12 \div 10 \div 1000$
      $=47 \cdot 12 \div 10\,000$
      $=47 \cdot (10+2) \div 10\,000$
      $=\big(470 + 2\,(45+2)\big) \div 10\,000$
      $=\big(470 + 90 + 4\big) \div 10\,000$
      $=564 \div 10\,000$
      $=0,0564$
$\square$

Descuentos proporcionales

Enunciat:
Unes sabates tenen un preu de venda al públic de $40,00\, \text{euros}$. Si a l'hora de pagar ens fan un descompte del $5\,\%$, quant ens costarà ?.

Solució:
Interpretem aquest percentatge de descompte ( $5\,\%$ sobre el preu de venda al públic ):
Suposem un objecte que té un preu de venda al públic de $100$ euros i que, en fer-nos una rebaixa de $5$ euros de cada $100$ en total, costa (cal pagar) $100-5 = 95$ euros. Llavors, d'acord amb la proporció a la qual apunta el percentatge, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques
    $\dfrac{95}{100}=\dfrac{x}{40,00}$
( $x$ representa la quantitat a pagar )
Resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{95 \cdot 40,00}{100} = 38,00\,\text{euros}$
$\square$

Ejercicio con porcentajes de impuestos

Enunciat:
El preu nominal ( el preu nominal no inclou l'IVA ) d'un article és de
$50,00 \; \text{euro}$. Quin és el preu de venda al públic ( incorporant-hi l'IVA ) ?.

Solució:
Considerarem que l'IVA és del $21\,\%$ ( abril de 2013 ). Del significat d'aquest percentatge deduïm que si el preu nominal fos de $100$ euros, el preu de venda que li correspon és de $100+21=121$ euros. Llavors, en proporció, i designant el preu de venda al públic per $x$, podrem plantejar la següent igualtat entre raons aritmètiques:
    $\dfrac{121}{100}=\dfrac{x}{50,00}$
i resolent aquesta equació de primer grau trobem
    $x=\dfrac{50,00\cdot 121}{100}=60,50 \; \text{euros}$
$\square$