Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Concepto de probabilidad a fortiori ( frecuentista )

ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 289 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Se lanza 450 veces un dado trucado y se obtiene: 210 veces 1; 87 veces 2; 45 veces 3; 32 veces 4; 9 veces 5, y el resto de veces 6. Calcula la frecuencia relativa de cada suceso elemental de este experimento.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee las páginas 288-290 de la Unidad Didáctica 13 del libro base

SOLUCIÓN.
Los sucesos elementales del experimento son los valores de las caras del dado: $\{1,2,3,4,5,6\}$. Y sus frecuencias relativas respectivas son:
$f_1=\dfrac{210}{450}=\dfrac{7}{15}\approx 0,47 = 47\,\%$
$f_2=\dfrac{87}{450}=\dfrac{29}{150}\approx 0,19 = 19\,\%$
$f_3=\dfrac{45}{450}=\dfrac{1}{10}= 0,1 = 10\,\%$
$f_4=\dfrac{32}{450}=\dfrac{16}{225}\approx 0,07=7\,\%$
$f_5=\dfrac{9}{450}=\dfrac{1}{50}= 0,02 = 2\,\%$
$f_6=\dfrac{450-(210+87+45+32+9)}{450}=\dfrac{67}{450}\approx 0,15 = 15\,\%$

Notemos que la suma es igual al $100\,\%$

Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Experiencia aleatoria compuesta. Pensar un espacio muestral ...

ENUNCIADO. El del ejercicio 6 de la página 285 del libro base ( ligeramente modificado )
Disponemos de dos urnas, A y B. La urna A contienen cuatro bolas rojas y dos bolas verdes, y la urna B tres bolas verdes, dos azules y una roja. Extraemos al azar una bola de cada urna. Piensa en tres espacios muestrales asociados a dicha experiencia aleatoria y descríbelos.


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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base

SOLUCIÓN.
e)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)

Ejercicio 2 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Espacios muestrales de experimentos compuestos

ENUNCIADO. El del ejercicio 4 de la página 285 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos compuestos:
a) Lanzar dos dados de seis caras ( numeradas del 1 al 6 )
b) Lanzar dos monedas y un dado de seis caras
c) Extraer, con reposición, dos bolas de una urna que contienen siete bolas numeradas del 1 al 7
d) Extraer, sin reposición, dos bolas de una urna que contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7

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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base

SOLUCIÓN.

a)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)

También podemos concebir un espacio muestral formado por 21 sucesos, que, a diferencia de los de arriba, no son equiprobables, y que consisten en descartar los dígitos repetidos ( sin tener en cuenta cuál de los dados ha dado el dígito ), esto es, considerando que salgan: dos unos, un uno y un dos, un uno y un tres, un uno y un cuatro, un uno y un cinco, un uno y un seis, un uno y un siete, dos doses, un dos y un tres, un dos y un cuatro, etcétera.

b)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)

Al igual que en el apartado anterior, también podemos concebir un espacio muestral formado también por 21 sucesos, que, a diferencia de los 28 de arriba, no son equiprobables, y que consisten en descartar el caracter de color de la moneda ( sin tener en cuenta de cuál de las dos monedas se obtiene cara o cruz ), esto es, considerando que salgan: un uno y dos caras, un uno y dos cruces, un uno y una cara y una cruz, un dos y dos caras, un dos y dos cruces, un dos y una cara y una cruz, etcétera.

c)
(Cliquea la imagen para verla en tamaño natural)

También aquí, podemos pensar en un espacio muestral formado no por 49 susecesos elementales sino por $7\cdot (7+1)/2=28$ sucesos, que, sin embargo no todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados al azar. Este espacio muestral ( con sucesos no equiprobables ) estaría formado por: dos unos, un uno y un dos, un uno y un tres, ..., un uno y un siete; dos doses, un dos y un tres, etcétera.


d)
En este caso el espacio muestral
$\Omega=\{12,13,14,15,16,17;21,23,24,25,26,27;31,32,34,35,36,37;$
  $;41,42,43,45,46,47;51,52,53,54,56,57;61,62,63,64,65,67;71,72,73,74,75,76\}$
está formado por $(7-1)\cdot 6 = 36$ sucesos con la misma probabilidad ( equiprobables )

Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Experimentos aleatorios y experimentos deterministas

ENUNCIADO. El del ejercicio 1 de la página 285 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 13 )
Escribe tres experimentos que sean deterministas y otros tres que sean aleatorios

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INDICACIÓN. Lee las páginas 284 y 285 de la Unidad Didáctica 13 del libro base

SOLUCIÓN.
Tres ejemplos de experimentos deterministas: abrir y cerrar un interruptor de la luz; dejar caer un objeto por un plano inclinado; medir el tiempo en un reloj
Tres ejemplos de experimentos aleatorios: lanzamiento de una moneda; evolución del estado del tiempo (meteorología); evolución de la bolsa

RMT - Ejercicio 6 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Medidas de ángulos. Sistema sexagesimal

ENUNCIADO. Un artesano carpintero quiere restaurar la rueda de un antiguo carro de labor, que tiene 12 radios (de madera). ¿ Cuál es la medida angular del ángulo central entre cada radio y sus radios vecinos ?

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SOLUCIÓN. Dividiendo una vuelta completa entre 12 partes obtenemos la amplitud angular de cada uno de los 12 sectores ( todos iguales ): $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$

RMT - Ejercicio 5 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Operaciones con cantidades de tiempo

ENUNCIADO. ¿ Cuántos minutos transcurren desde las 13:40 a las 15:10 ?

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SOLUCIÓN.
$15:10-13:40=$
  $=14:70-13:40=1:30=1\,\text{hora}\;\text{y}\;30\,\text{minutos}=60\,\text{minutos}+30 \,\text{minutos}$
    $=90\,\text{minutos}$

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Escalas de representación.

ENUNCIADO. En un mapa a escala 1:2000, el polígono que corresponde a una finca tiene una superficie de $15$ centímetros cuadrados. ¿ Cuántos metros cuadrados mide la finca ( sobre el terreno ) ?

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SOLUCIÓN.
$$\text{Área de la finca}=15\cdot 2\,000^2\,\text{cm}^2 = 15 \cdot 4\,000\,000\, \text{cm}^2\cdot \dfrac{1}{10\,000}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{cm}^2}=6\,000\,\text{m}^2$$

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Cuentas básicas. Gastos. Ingresos. Ahorros.

ENUNCIADO. María y Jorge han trabajaron recogiendo fruta durante un mes el pasado verano. El sueldo ( descontados los impuestos ) les aportó $1100$ euros a cada uno, y los gastos que tuvieron que hacer frente fueron de $700$ euros ( compartiendo comida y alojamiento ). El dinero que les quedó ( como ahorro ) para ayudar a cubrir los gastos de sus estudios ¿ Cuánto dinero les quedó entre los dos ?.

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SOLUCIÓN.
Ingresos: $2\cdot 1\,100=2\,200\,\text{euros}$
Gastos: $700\,\text{euros}$
Cantidad de dinero disponible para ayudar a pagar los estudios (ahorros):
Cantidad ahorrada=Ingresos-Gastos=$2\,200 \text{euros}-700\,\text{euros} = 1\,500\,\text{euros}$

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Descuentos. Tantos por ciento.

ENUNCIADO. Juan ha comprado una camiseta que estaba rebajada en un 6%. Ha pagado $12,50$ euros. ¿ Cuál era el precio de dicha camiseta ?.

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SOLUCIÓN. Denotemo por $x$ al precio de la camiseta, entonces podemos plantear la siguiente ecuación: $$\dfrac{100-6}{100}\,x=12,50$$ Resolvíendola, llegamos fácilmente a la solución $$x=\dfrac{12,50\cdot 100}{94}\approx 13\,\text{euros}\;\text{y}\;30\,\text{céntimos de euros}$$

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Proporcionalidad. Comprando combustible

ENUNCIADO. Si 1 litro de combustible cuesta $1,20$ euros y disponemos de $40$ euros para comprar combustible, ¿ con cuántos litros podremos llenar el depósito ?

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SOLUCIÓN.
El número de litros de combustible que podemos comprar con esa cantidad de dinero es $$\dfrac{1}{1,20}\,\dfrac{\text{L}}{\text{euros}}\cdot 40\,\text{euros} \approx 33,33 \,\text{L}$$ donde hemos planteado la proporción directa entre la magnitud 'cantidad de dinero' y la magnitud 'cantidad de combustible' utilizando los factores de conversión ( para variar ).

ESO2 - Estadística. Detección de la existencia de varias categorías en una misma población

RMT - Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Elaboración de un diagram de sectores

ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.

INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.

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SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Media aritmética simple. Parámetros de centralización ( posición )

ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.

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SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros ( o medidas ) de posición /siguación. Moda.

ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Obtención de la moda ( parámetro de posición/situación )

ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística de una variable. Diagramas de puntos, de barras, y línea poligonal de frecuencias

ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Recuento de los valores de una variable estadística. Tabla de frecuencias.

ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. ¿ Qué ocurre con los parámetros media, moda, mediana y rango cuando multiplicamos cada dato por una costante ?

ENUNCIADO. El del ejercicio 66 de la página 277 del libro base

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base

SOLUCIÓN.

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Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020. Estadística de 1 variable. Comparación de la centralización y de la dispersión de dos grupos

ENUNCIADO. El del ejercicio 67 de la página 277 del libro base ( ligeramente modificado )

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base

SOLUCIÓN.

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Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de dispersión. Varianza. Desviación estándar. Rango

ENUNCIADO. El del ejercicio 23 de la página 272 del libro base

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base

SOLUCIÓN.

( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de centralización. Moda, mediana y media

ENUNCIADO. El del ejercicio 19, apartado (a), de la página 270 del libro base

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base

SOLUCIÓN.

(Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural)

Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Climogramas.

ENUNCIADO. El del ejercicio 16 de la página 267 del libro base

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base

SOLUCIÓN.

NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )

( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.

Fuente: https://es.climate-data.org/

Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Diagramas de sectores

ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 265 del libro base
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265

SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$

Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de agosto de 2020 - Proporcionalidad. Un poco de álgebra

ENUNCIADO. Ejercicio 98 de la página 162 del libro base ( Unidad Didáctica 7 ) - ligeramente modificado -
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

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SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
  $bc=ad$
    $\Rightarrow bc-ad=0$
      $\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
        $\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
          $\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
            $\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
              $\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
                $\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$

RMT - Ejercicio 6 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020

INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados y los números triangulares. Busca en la Wikipedia la entrada "números pentagonales" para ver cuál es la expresión algebraica que (depende de $n$, para $n\ge 1$ ). Dando a $n$ los diez primeros valores consecutivos $1,2,3,\ldots,10$, utiliza dicha expresión para calcular el valor de los números pentagonales consecutivos.

ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales

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SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$

RMT - Ejercicio 5 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Números triangulares

INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados

ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.

SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.

El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..

El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...

El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....

El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....

y así sucesivamente.


Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):

$1\cdot 2)/2=1$

$2\cdot 3/2=3$

$3\cdot 4/2=6$

$4\cdot 5/2=10$

$5\cdot 6/2=15$

$6\cdot 7/2=21$

$7\cdot 8/2=28$

$8\cdot 9/2=36$

$9\cdot 10/2=45$

$10\cdot 11/2=55$

ESO2 - Estadística

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020

ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números cuadrados consecutivos

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:

. .
. .

Si lo pensamos desde el punto de vista aritmético, vemos que $4$ es un número cuadrado porqué puede escribirse como el producto de dos números enteros positivos más pequeños, $4=2 \cdot 2$, lo cual se puede escribir también, como $4=2^2$; así que, desde este enfoque, $4$ no es el número cuadrado más pequeño, $1$ también es un número cuadrado, ya que $1=1\cdot 1=1^2$, y por tanto es el número (entero positivo) cuadrado más pequeño. De esta reflexión podemos entresacar que, si nos fijáis bien, podemos escribir cualquier número cuadrado de la forma $n^2$, donde $n$ es un entero positivo. En consecuencia, los diez primero números cuadrados son:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020

ENUNCIADO. Una plantación de árboles tienes forma cuadrada. El área de la plantación es de 1 hectárea y tiene forma rectangular. Se divide dicho rectángulo en cuadrados de 4 metros de lado y en el centro de cada uno de dichos cuadrados se planta un árbol. ¿ Cuántos árboles habrá que plantar ?.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.

Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de 2020 - Estadística descriptiva de una variable. Frecuencias acumaladas ( absolutas y relativas )

INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base

ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base

ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Número de ordenaciones. Principios del recuento

INDICACIÓN. En un estante tenemos cinco libros: El Quijote de la Mancha, Moby Dick, Las aventuras de Huckelberry Finn, y un diccionario de inglés, ¿ de cuántas maneras podemos colocarlos ?

ENUNCIADO.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Parámetros de situación/posición

INDICACIÓN. Lee las páginas 269, 269 y 270 del libro base

ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$

Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Cantidades periódicas

ENUNCIADO. Si hoy es lunes, ¿ qué día de la semana será dentro de 1045 días ?

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SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$

Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Muestreo

INDICACIÓN. Lee las páginas 260 y 261 del libro base

Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.

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SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio de inclusión-exclusión.

ENUNCIADO. En un club de lectura hay 100 socios/as. En dicho club se leen libros y revistas. Al preguntar a todas y cada una de esas personas recogemos la siguiente información: 60 personas dicen que leen libros, y 70 personas dicen que leen revistas. ¿ Cuántas personas socias leen solamente libros ? ¿ Cuántas leen solamente revistas ? ¿ Cuántas leen libros y, también, revistas ?

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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio del palomar.

ENUNCIADO. Busca en la Wikipedia "principio del palomar" y resume brevemente lo que has entendido. Piensa en algún caso práctico en el que podría aplicarse dicho principio.

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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.

SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.

Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.

Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).

Ejercicio 4 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representación de la gráfica de una función lineal

Ejercico número 14 de la página 243 del libro base (ligeramente modificado)

ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)

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SOLUCIÓN.

Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representaciones gráficas de algunas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Ejemplos sencillos de gráficas de relaciones binarias y gráficas de funciones

Ejercico número 13 de la página 243 del libro base ( ligeramente modificado )

ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0

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SOLUCIÓN.

ESO2 - Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas

NOTA: Disculpad. En algún momento de la grabación, por esos errores de locución que suele darse en las grabaciones en directo, me he referido (indebidamente ) a los diagramas de flechas como diagramas 'digitales', cuando debería haber dicho diagramas sagitales. Cosas que pasan ... tonterías que a veces se dicen.

ESO2 - Relaciones binarias y aplicaciones entre dos conjuntos

Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Gráficas de funciones. Funciones lineales afines. Uso de la hoja de cálculo de GeoGebra

ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=-2x+3$. Elabora una tabla numérica, calculando las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ y representa los pares de números que así obtendrás en un diagrma cartesiano. ¿ Qué puedes decir acerca de este conjunto de puntos ?

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Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Funciones

ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=4x-1$. Calcula:
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$

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NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.


SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
  $=12-1$
    $=11$

b)
$2=4x-1$
  $2+1=4x-1+1$
    $2+1=4x$
      $3=4x$
        $\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
          $\dfrac{3}{4}=x$
Así pues, $x=\dfrac{3}{4}$

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Árboles equidistantes dispuestos en hilera

ENUNCIADO. Queremos plantar 24 árboles en hilera, igualmente distanciados unos de otros. Entre el primero y el último tiene que haber una distancia de 299 metros. ¿ Cuál deberá ser la distancia entre dos árboles contiguos ?.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Recuento de posibilidades. Principio de independencia.

ENUNCIADO. En un restaurante al que vas a cenar te dejan elegir tres opciones para el primer plato; dos para el segundo, y cuatro para el postre. ¿ Cuantas posibilidades tienes para elegir lo que quieres comer ?

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SOLUCIÓN.

ESO2 - Fotomatemática: vista de una ciudad ( Toledo ) con sistema de referencia

ESO2 - Recordad: La propiedad de Euler, v-a+c=2, sólo se cumple en los poliedros convexos

Supongamos que se cumpla en un poliedro cóncavo. Aquí tenéis algunos contraejemplos:

(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras

(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:

Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Análisis cualitativo de una función ( a partir de su gráfica )

ENUNCIADO: el del ejercicio 12 de la página 241

INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )

Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 10 de la página 240 del libro base
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función

INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

RMT - Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con potencias de base entera y de exponente un número natural

ENUNCIADO. Escribe cada uno de los siguientes productos en forma de una única potencia:

a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
  $=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
    $=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
      $=2^{5}\cdot 2^{4}$
        $=2^{5+4}$
          $=2^{9}$

b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
  $=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
    $=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
      $=3^{4}\cdot 3^{4}$
        $=3^{4+4}$
          $=3^{8}$

c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
  $=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
    $=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
      $=5^{9} \cdot 5^{24}$
        $=5^{9+24}$
          $=5^{33}$

d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
  $=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
    $=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
      $=7^{2}\cdot 7^{6}$
        $=7^{2+6}$
          $=7^{8}$

RMT - Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Aproximación de raíces cuadradas de números enteros positivos pequeños

ENUNCIADO. Escribe el número entero positivo menor que la raíz cuadrada que se pide que sea el más próximo a ésta, y escribe también el resto de dicha aproximación:

a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$

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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril

ENUNCIADO. Efectua la siguiente suma de productos de dos maneras distintas:

$5·34+5·13+5·36+5·17$

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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con números enteros

ENUNCIADO. Halla las cifras que faltan en la siguiente suma:

$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$

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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Puntos de corte con los ejes de coordenadas

Ejercicio 9 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$

INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verlas en tamaño natural )

Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Discontinuidades

Ejercicio 8 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):

INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente

RMT - Ejercicio 2 de la seman del 30 de marzo al 5 de abril - Unidades agrarias de área, proporcionalidad

ENUNCIADO. Un agricultar tiene que arar unos campos de cultivo que, en total, tienen una extensión de 0,1 kilómetros cuadrados. Con su tractor, tarda 30 minutos en arar 500 metros cuadrados. ¿ Cuánto tiempo va a tardar para ararlo todo ?.

NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas


SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Proporcionalidad, capacidad, volumen

ENUNCIADO. En un frasco hay 0,5 decilitros de medicamento que se administra mediante inyecciones. En cada inyección se administran 2 centímetros cúbicos de medicamento. ¿ Par cuántas inyecciones tenemos ?.

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )

Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones

Ejercicio 2 de la página 237, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Averigua la fórmula que expresa la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Haz lo mismo con el área de un círculo y su radio.

INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 1 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones

Ejercicio 1 de la página 237, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Confecciona una tabla de valores, haz una gráfica y halla una fórmula que describa la siguiente función: "La longitud de camino recorrido (en kilómetros) es igual a sesenta veces el tiempo transcurrido ( en horas )"

INDICACIÓN. Lee las páginas 236 y 237
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Trapecio equilátero

ENUNCIADO. Calcula el área y el perímetro de un trapecio equilátero cuyas basas miden 12 centímetros y 16 centímetros, respectivamente, y la distancia perpendicular entre ellas es de 4 decímetros.

INDICACIÓN. Consulta en la Wikipedia la entrada "trapecio"
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic sobre la imagen para verla en su tamaño natural )

A continuación, calculemos el perímetro, $\mathcal{P}$:

$\mathcal{P}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|$, y como $|AB|=|CD|$, tenemos que $\mathcal{P}=2|AB|+|BC|+|CD|$   (1)

Para calcular $|AB|$ aplicamos el teorema de Pitágoras en $\triangle ABB'$: $|AB|=|\sqrt{|AB'|^2+|BB'|^2}|=|\sqrt{2^2+40^2}|=|\sqrt{1604}|$ cm

Por consiguiente, de (1), $\mathcal{P}=2|\sqrt{1604}|+12+16\approx 108$ cm

$\square$

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Unidades de medida y proporcionalidad

ENUNCIADO.
Un vehículo viaja a una velocidad de 85 kilómetros por hora. Se pide:
a) Expresa dicha velocidad en metros por minuto.
b) ¿ Cuántos metros recorre en 2 minutos y 40 segundos ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 4 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - Relación entre las longitudes de los elementos de un tronco de cono

Ejercicio número 15 de la página 220
ENUNCIADO. Calcula el radio de la base menor de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor es de 13 centímtros, la altura del tronco de cono es de 15 centímetros y la prolongación de la altura mide 9 centímetros.

INDICACIÓN. Lee la página 220 del libro base.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 3 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - área lateral, área de la base, área total y volumen de un cilindro

Ejercicio número 6 de la página 218
ENUNCIADO. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de base circular, de 5 cm de radio y 16 cm de altura.

INDICACIÓN. Lee la página 218 del libro base.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )

Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020

Ejercicio número 12 ( ampliado ) de la página 219 del libro base

ENUNCIADO. Un cono está engendrado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 8 centímetros. Calcula:
a) El diámetro de la base
b) La generatriz del cono
c) El área lateral del cono
d) El volumen del cono
e) El área de la base

INDICACIÓN. Lee con atención la página número 219
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo - cilindro

Ejercicio número 9 de la página 218 ( ligeramente modificado ) del libro base

ENUNCIADO. Calcula el volumen de un lápiz sin punta, de forma cilíndrica, que tiene 20 centímetros de longitud y cuya base circular tiene un diámetrno de 1 centímetro. Calcula también el área lateral.

INDICACIÓN. Lee con atención las páginas 216, 217 y 218
NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - aplicaciones de las fracciones

ENUNCIADO. Un depósito de agua está medio lleno. Juan añade una tercera parte la cantidad que contiene, y, a continuación, Merche repone una cantidad de agua igual a una quina parte de la capacidad del depósito. Luego, Andrés vacía el depósito tal como la ha dejado Merche, llevándose 26 L de agua. ¿ Qué capacidad tiene el depósito ?

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Efectúa la siguiente operación combinada, calculando la fracción reducida resultante $$\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{6}{5}-\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$$

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Apps de GeoGebra para smartphones y otros dispositivos móviles

URGENTE. - Por favor, utilizad el aula virtual durante este periodo de confinamiento por el Covid19

LA SIGUIENTE NOTA URGENTE VA DIRIGIDA A LAS MADRES Y A LOS PADRES DE MIS ALUMNOS Y ALUMNAS

Estimada madre y estimado padre:

Las tareas de Matemáticas de todos mis cursos para mis alumnos y alumnas están organizadas en el Aula Virtual del curso que les corresponda:

2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=57
RMT - 2.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=63
3.º de ESO ( grupos A y B&C: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=58
4.º de ESO: https://aulavirtual3.educa.madrid.org/ies.delibes.madrid/course/view.php?id=60


Desde la misma, tu hijo/hija - con tus apellidos no deduzco de quién se trata - puede comunicarse conmigo a través de la mensajería interna ( del aula ). Tal como se explica en el plan de trabajo que está colgado en la página web del instituto, es necesario que los alumnos y alumnas se automatriculen en el aula virtual, identificándose primero en el sistema, con el nombre de usuario/a y contraseña proporcionada por EducaMadrid a través del instituto; si tu hijo/a no tiene dicha acreditación, tienes que telefonear al instituto para que te la proporcionen y guardarla a buen recaudo. Por otra parte, y como medida de emergencia para paliar la eventualidad de no disponer de credenciales, el aula está abierta a visitantes, los cuales pueden visualizar todos los contenidos de la misma, si bien no pueden participar activamente en los foros de dudas y ejercicios, cuestionarios, envío de tareas, etcétera; en tal caso, tampoco podrían participar en otras actividades evaluables que se realicen a distancia. Por ello - insisto - es inprescindble automatricularse ( no se necesita clave de aula para ello ) y es muy sencillo; en el aula virtual, en "Novedades" he colgado un vídeo explicativo, para que no haya ninguna duda de cómo hacerlo.

El trabajo está organizado por semanas. La exposición de contenidos la estoy haciendo mediante vídeos de mi canal de vídeo didácticod [ https://www.youtube.com/c/Cuadernosdematematicas ]. Las tareas están en los foros de ejercicios y dudas. Los alumnos y alumnas tienen que realizar en sus cuadernos de clase ( bolígrafo y papel ) los ejercicios que se van proponiendo en los hilos (de los foros) respectivos. Cada hilo ( ejercicio ) enlaza a una entrada del blog de Matemáticas de la asignatura que corresponda a tu hijo/a:

2.º de ESO: https://cdme2.blogspot.com/
3.º de ESO: https://cdme3.blogspot.com/
4.º de ESO: https://cdme4.blogspot.com/

Desde luego, los alumnos y alumnas pueden (deben) participar activamente en los foros de ejercicios y dudas, exponiendo dudas e interviniendo en los debates que se generen, lo cual también es evaluable. Después de un plazo de 48 horas como máximo de haber propuesto cada ejercicio, añado la solución debajo del enunciado, en la misma entrada del blog -- todo esto se explica concienzudamente en las indicaciones que he ido colgando hasta el momento --. Una vez haya aparecido la solución ( resolución y comentarios ) de cada ejercicio -- los alumnos/as tienen que preocuparse de consultar otra vez dicha entrada del blog ( enlazada en el ejercicio del foro semanal )- y corregir lo que proceda en sus cuadernos, en color rojo -- tal como se viene haciendo en las clases presenciales desde inicio de curso -. Cuando sea posible volver al instituto, por supuesto, revisaré los cuadernos.

En la cabecera del aula virtual encontrarás un foro de "Novedades", que es muy importante consultar, pues desde dicho foro voy informando y estableciendo las eventuales indicaciones e instrucciones concretas que puedan sobrevenir sobre el trabajo en mi aula virtual de Matemáticas de 3.º de ESO A y B&C.

Probablemente, y a efectos de evaluación, tu hijo/hija también tendrá que enviar algún trabajo y responder a cuestionarios en línea (desde el aula virtual), que, de momento, todavía no he habilitado. Todo ello se hará conforme a las instrucciones que vayan apareciendo en el aula virtual. Por ello, vuelvo a insistir: es de primera necesidad que tu hijo/a acceda al aula virtual y se automatricule en la misma.

Todos los viernes tenemos sesión de tutoría de 3.º de ESO A, de 13:35 a 14:30 ( en regimen normal de clases ). Para suplirla durante el tiempo que dure la emergencia sanitaria, he habilitado una sala de conversación ( 'chat' ) en la misma aula virtual de Matemáticas, que se encuentra en la cabecera del aula virtual. La sala de conversación estará abierta todos los viernes a esta hora. Para consultas privadas de tutoría, utiliza, por favor, este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).

He dispuesto dos correos para comunicaciones de emergencia ( previendo el caso que se colapsen los servidores de las aulas virtuales ): fscymtmcs@gmail.com ( para la asignatura de Matemáticas ) y joan.aranes@educa.madrid.org ( para mi tutoría de 3.º de ESO )

Si tienes cualquier otra duda acerca de la organización en mi asignatura y en mi tutoría durante el periodo de emergencia sanitaria, por favor, utiliza este buzón de correo ( joan.aranes@educa.madrid.org ), y, en el caso de que dicho servidor de correo estuviese colapsado, utiliza el buzón de emergencia ( fscymtmcs@gmail.com ).

Salud
Joan

Algunas indicaciones de cómo trabajar en el aula virtual

Ejercicio 4 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Cálculo del área de un poliedro regular

Ejercicio 8 de la página 195

ENUNCIADO. Calcula el área de un tetraedro, la de un hexaedro, la de un octaedro y la de un icosaedro, todos ellos regulares de 10 cm de arista.
INDICACIÓN. Lee las páginas 194 y 195 del libro base

SOLUCIÓN.

Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Pirámides

Ejercicio 22 de la página 201 del libro base

ENUNCIADO. Calcula la apotema y la altura de una pirámide de base hexagonal regular de 8 cm de lado de la base y 17 cm de arista lateral

INDICACIÓN. Lee la página 201 del libro base

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 4 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Operaciones combinadas con números enteros

ENUNCIADO. Realiza la siguiente operación combinada, obteniendo el número entero resultante:
$$\text{opuesto}(|1-3|)+2\cdot(4-12)\div 4+(2-6)^3$$

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Proporcionalidad

ENUNCIADO. Aprovechando unas rebajas en las que se hace un 6% de descuento sobre el precio de todos los productos, Elvira ha comprado un electrodoméstico por el cual ha pagado 125 euros. ¿ Cuál es el precio de dicho electrodoméstico ?.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020

Ejercicio 3 de la página 193 del libro base

ENUNCIADO. Un poliedro convexo tiene seis caras y ocho vértices. ¿ Cuántas aristas tiene ?

SOLUCIÓN. Según la propiedad de Euler, v-a+c=2, donde v indica el número de vértices; a, el número de aristas, y c el número de caras. Entonces, 8-a+6=2, luego a=8+6-2=12

Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020

Ejercicio número 26 de la página 203 del texto base.

ENUNCIADO. Una pirámide recta tiene como base un cuadrado de 34,50 m de lado. Sabiendo que la altura es de 21,65 m, calcula:
a) el área lateral
b) el volumen

AYUDA. Recuerda que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del área de la base por la altura.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 3 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020

Ejercicio número 86 de la página 207 del libro de texto base

ENUNCIADO. Halla el volumen de la escalera de la figura. Cada escalón mide lo mismo de altura y de profundidad. Si ponemos una alfombra cara cubrir los peldaños, ¿ qué superficie debe tener ?

SOLUCIÓN.

Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Las aristas de una piscina que tiene forma de prisma recto de base rectangular ( ortoedro ) miden 8, 12 y 3 metros, respectivamente. Calcula la capacidad de la misma expresada en litros.

NOTA (1). Dentro de un máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
NOTA (2). Si utilizas un smartphone tienes que hacer clic en "visualiza como página web" para poder leer bien las fórmulas en pantalla

SOLUCIÓN. El volumen de la piscina es igual a $8·12·3=288\, \text{m}^3$, luego teniendo en cuenta que $1 \, \text{m}^3$ corresponde a $1\,000 \, \text{L}$ de capacidad, en la piscina caben $288\, \text{m}^3·1000\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^3}=288\,000\,\, \text{L}$
$\square$

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4 dm de radio

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 16 de marzo al 22 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Calcula el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 5 dm

SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo

ENUNCIADO. Calcula el área de un triángulo equilátero de 12 decímetros de lado.

AYUDA. Tendrás que emplear el teorema de Pitágoras.


SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 9 al 15 de marzo

ENUNCIADO. Busca en Wikipedia las medidas de un campo de juego reglamentario de fútbol y calcula su área y su perímetro. ¿ Cuál es el número de vueltas que debemos dar al campo para asegurarnos de haber recorrido 7 kilómetros ?.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 2 de la semana del 12 al 15 de marzo

ENUNCIADO. ¿ Es posible embalar una varilla recta y rígida de 3,8 dm de
longitud en una caja que tiene forma de prisma recto de base rectangular
cuyas aristas midel 1, 2 y 3 dm, respectivamente ? Haz los cálculos y
escribe el razonamiento de manera clara.

SOLUCIÓN.

Teletrabajo y emergencia sanitaria por el Covid19

COMUNICADO IMPORTANTE

Para paliar las consecuencias del cierre de aulas presenciales por la emergencia sanitaria del Covid19, vamos a esforzarnos en el uso de las herramientas virtuales. Especialmente nos centraremos en el trabajo en las siguientes aulas virtuales:

(1) Aula Virtual de Matemáticas de 2.º de ESO
(2) Aula Virtual de Recuperación de Matemáticas de 2.º de ESO ( para los que también estéis matriculados en esta optativa).

Recordad que para el jueves 26/03/2020 está programado el examen de recuperación del 2.º trimestre (temas 5,6,7 y 8) de Matemáticas de 2.º de ESO, y el viernes 27/03/2020 el examen de recuperación del 2.º trimestre de Recuperación de Matemáticas.

Por otra parte, os pido que durante estos días sin clase presencial estudiéis también las unidades didácticas 9 ( Poliedros ) y 10 ( Cuerpos redondos ) del libro de texto base, leyendo las dos lecciones, haciendo resúmenes y realizando ejercicios, por lo menos los que aparecen en cada uno de los epígrafes. Como podréis ver, en el aula virtual iré guiando vuestro trabajo. Consultad también el calendario del aula virtual, que encontraréis en la parte superior del marco lateral derecho ( del aula virtual ), por si hubiese algún cambio en las fechas..

Los alumnos y las alumnas de Recuperación de Matemáticas también realizaréis en vuestro cuaderno los ejercicios que aparecerán en los foros de ejercicios de vuestra aula virtual, corrigiéndolos ( en color rojo ) cuando, uno o dos días después de haberlos propuesto, vaya colgando las resoluciones.

He organizado el aula virtual por espacios semanales, intentando emular las sesiones presenciales. En ella encontraréis vídeos explicativos, tareas propuestas, y las correcciones de las mismas, que colgaré debajo del enunciado a posterior ( después de uno o dos días de haberlos propuesto). La participación a través del aula virtual contará como nota B ( con un peso del 20% ). En el caso de tener que realizar alguna prueba a distancia de tipo "examen" de los temas 10 y 11 se haría mediante cuestionarios, que contarían como nota A ( con un peso del 80% ), si bien confío en que el examen presencial de estos dos temas pueda hacerse después del final de la emergencia sanitaria, que se espera para dentro de unos quince días, el jueves 26/03/2020; probablemente, a la vuelta de las vacaciones de Semana Santa.

Para participar activamente en el aula virtual es necesario que os identifiquéis en el sistema con vuestras credenciales de EducaMadrid. Si no las tenéis o las habéis perdido, poneros en contacto telefónico con el IES y se os facilitarán. Tenéis que automatricularos en cada aula virtual (no se requiere clave de automatriculación) si todavía no lo habéis hecho. En caso de que, por alguna razón, no pudieseis acceder como participantes en el aula virtual, os recuerdo que aún sin tener las credenciales podéis visualizar el contenido entrando como invitados, pero en tal caso no podréis participar activamente ( interviniendo en los foros de ejercicios, enviando cuestionarios con vuestras respuestas, etcétera ).

Como de costumbre, es necesario que vayáis trabajando también con vuestro cuaderno de clase, que ya sabéis que cuenta como nota B, y, por supuesto, con el libro de texto base, ya que, junto con las pruebas escritas se espera que se podrá evaluar (el trabajo de cuaderno) en cuanto se retomen las clases presenciales. Espero que teleestudiéis mucho desde vuestras casas y que utilicéis todos los recursos que hemos puesto a vuestra disposición. Los profesores y profesoras estaremos atendiendo las aulas virtuales en jornada laboral.

Recordad que os facilité también una dirección de correo electrónico, fscymtmcs@gmail.com, para que podáis consultarme dudas en el caso de que, como último recurso, no dispongáis de las credenciales para el aula virtual; en tal caso, os recuerdo una vez más que también podéis visualizar los contenidos si entráis en calidad de visitantes. También dejaré abiertos los espacios de comentarios de las entradas de mis blogs, por si queréis intervenir también de esta manera. Pero, repito, lo importante es que os centréis en las aulas virtuales. Desde éstas dirigiré todos los enlaces a mis materiales externos, y es en éstas donde espero que interactuemos de manera habitual en el día a día de las clases ( virtuales ).

Cuidaros mucho y hasta pronto
Joan

Explicación de la fórmula del interés simple y resolución de algunos ejericios a modo de ejemplos prácticos

-oOo-Corrección de una errata ( del final de la grabación ): donde dice "100/360 días" tiene que decir 100/360 años.
-oOo-Observación: En matemática financiera/comercial, por convenio, todos los meses del año se cuentan de 30 días por igual. Notad que, así la duración convenida de 1 año comercial ( que se cuenta de 360 días) es múltiplo de 30, y ello facilita los cálculos de contabilidad.

Ejercicio resuelto, a modo de ejemplo, de reparto inversamente proporcional

Presentación del primer tema del nuevo curso

En este primer tema de este nuevo curso, que lleva el título de "Divisibilidad y números enteros", estudiaremos los siguientes contenidos:


Operaciones básicas con números enteros y sus propiedades

• Suma y resta ( la resta puede verse como una operación combinada de la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo )

• Producto

• División entera

• Operaciones combinadas con números enteros

Divisores y múltiplos

• Números primos y números compuestos

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo