En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?
Solución:
$\square$
martes, 17 de junio de 2014
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas ?
Enunciado:
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?
Solución:
$\square$
En unas rebajas, se aplica un descuento del $2\,\%$ sobre el precio original de un cierto artículo. Aprovechando la oferta, lo hemos comprado y nos ha costado $15$ euros. ¿Cuánto nos hubiese costado antes de las rebajas?
Solución:
$\square$
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule: a) $\measuredangle A+\measuredangle B$ b) $\measuredangle A-\measuredangle B$ c) $3\,(\measuredangle B)$ d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$
Enunciado:
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule:
a) $\measuredangle A+\measuredangle B$
b) $\measuredangle A-\measuredangle B$
c) $3\,(\measuredangle B)$
d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$
Soluciones:
a)
$\measuredangle A+\measuredangle B=26º \;21'\; 25''$
Operaciones:
b)
$\measuredangle A-\measuredangle B=14º \;39'\; 55''$
Operaciones:
c)
$3\,(\measuredangle B)=17º \; 32'\;15''$
Operaciones:
d)
$\dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)=1º \; 56' \; 55''$
Operaciones:
$\square$
Las medidas de dos ángulos son $\measuredangle A=20º\; 30'\; 40''$ y $\measuredangle B=5º\; 50'\; 45''$. Calcule:
a) $\measuredangle A+\measuredangle B$
b) $\measuredangle A-\measuredangle B$
c) $3\,(\measuredangle B)$
d) \dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)$
Soluciones:
a)
$\measuredangle A+\measuredangle B=26º \;21'\; 25''$
Operaciones:
b)
$\measuredangle A-\measuredangle B=14º \;39'\; 55''$
Operaciones:
c)
$3\,(\measuredangle B)=17º \; 32'\;15''$
Operaciones:
d)
$\dfrac{1}{3}\,(\measuredangle B)=1º \; 56' \; 55''$
Operaciones:
$\square$
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes: $$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$ a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras b) ¿Cuál es el valor de la moda? Razónese c) ¿Cuál es el valor de la mediana? Razónese d) Calcule la media aritmética e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes:
$$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? Razónese
c) ¿ Cuál es el valor de la mediana ? Razónese
d) Calcule la media aritmética
e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$
Solución:
$\square$
$$\{1,2,3,2,4,1,2,3,2,3,4,3,3,5,4\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? Razónese
c) ¿ Cuál es el valor de la mediana ? Razónese
d) Calcule la media aritmética
e) Calcule el tanto por ciento de valores que son menores que $3$
Solución:
$\square$
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide ...
Enunciado:
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide:
a) Dibuje la figura y anote en ella los datos del enunciado
b) Calcule el perímetro
c) Calcule el área
Solución:
Considere un triángulo isósceles $\triangle{\{A,B,C\}}$, tal que $AB=BC=5\,\text{cm}$ y $AC=6\,\text{cm}$. Se pide:
a) Dibuje la figura y anote en ella los datos del enunciado
b) Calcule el perímetro
c) Calcule el área
Solución:
Resuelva las siguientes ecuaciones
Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) $x-1=3\,(1-x)$
b) $x^2+2\,x+1=0$
c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$
Solución:
$\square$
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) $x-1=3\,(1-x)$
b) $x^2+2\,x+1=0$
c) $\left\{\begin{matrix}
x & + & y &=1\\
x & - & y &=1\\
\end{matrix}\right.$
d) $\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x}{6}$
Solución:
Operaciones combinadas ...
Enunciado:
1. Calcule el número entero resultante:
a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$
2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$
Solución:
$\square$
1. Calcule el número entero resultante:
a) $4\cdot ( 2 \cdot 3 -1)^2$
2. Calcule y exprese el resultado en forma de fracción ( simplificada ):
b) $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{7}{2}\cdot \dfrac{4}{21}$
d) $\dfrac{9}{2}\div \dfrac{3}{8}$
Solución:
$\square$
sábado, 14 de junio de 2014
viernes, 13 de junio de 2014
Cálculo del área de un polígono con la ayuda de una cuadrícula
Queremos calcular el área del polígono cóncavo representado en la figura (pintado de color rosa e indicado con el número 4).
Obsérvese que Área del marco rectangular$=A_1+A_2+A_3+A_4$
Es fácil calcular las siguientes áreas ( en número de cuadrados de la cuadrícula ):
Área del marco rectangular $=5\cdot 3$= 15 cuadrados
$A_1=\dfrac{5\cdot 1}{2}=2,5$ cuadrados
$A_2=\dfrac{3 \cdot 1}{2} = 1,5$ cuadrados
$A_3=\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cuadrados
Finalmente, tan sólo queda un paso para encontrar el área del polígono convexo, $A_4$:
$A_4=$Área del marco rectangular $-(A_1+A_2+A_3)=15-(2,5+1,5+6)=5$ cuadrados.
$\square$
Obsérvese que Área del marco rectangular$=A_1+A_2+A_3+A_4$
Es fácil calcular las siguientes áreas ( en número de cuadrados de la cuadrícula ):
Área del marco rectangular $=5\cdot 3$= 15 cuadrados
$A_1=\dfrac{5\cdot 1}{2}=2,5$ cuadrados
$A_2=\dfrac{3 \cdot 1}{2} = 1,5$ cuadrados
$A_3=\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cuadrados
Finalmente, tan sólo queda un paso para encontrar el área del polígono convexo, $A_4$:
$A_4=$Área del marco rectangular $-(A_1+A_2+A_3)=15-(2,5+1,5+6)=5$ cuadrados.
$\square$
Representación de poliedros
En el escrito anterior hablaba del teorema de Euler, válido para los poliedros convexos, que son los que no tienen entradas. Tenemos un herramienta valiosa para investigar las relaciones de los poliedros: un grafo planar que llamamos diagrama de Schlegel. Todo poliedro convexo podemos representar por un grafo planar, resultado de imaginar el poliedro proyectado sobre un plano, haciendo distinción de todas sus aristas y vértices. Pues bien, un grafo planar cumple que v-a + c = 1 (donde, ahora, v representa un punto donde van a parar varias aristas y, por cara, entendemos el espacio de plano cerrado por dos aristas las que no hay que las dibujamos paso rectilíneas. De hecho, si contamos la cara exterior como una cara más, podemos expresarlo tal como el teorema de Euler, v-a + c = 2. La figura muestra los grafos correspondientes al tetraedro (v = 4, a = 6, c = 3) y al ocatedre (c = 8, v = 9, a = 16). Observamos que, efectivamente, se cumple el resultado que comento: 4-6 +3 = 1, y 9 -16 +8 = 1), de la misma manera que se cumple en todos los grafos planares. Todo esto tiene interesantes aplicaciones, como el diseño y análisis de circuitos eléctricos, análisis de la estructura molecular.
Recuento del número de vértices, aristas y caras de un dodecaedro, de un icosaedro y de un icosaedro truncado
DODECAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un dodecaedro. Sabemos que tiene 12 caras pentagonales. Razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara pentagonal tiene 5 vértices, partimos, de entrada de 5x12 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértices del dodecaedro es compartido por 3 caras pentagonales, por tanto, en realidad hay 60 div 3 = 20 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada pentágono tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 12 x 5 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez, como cada arista está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 =30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Veamos que es así: 20-30 +12 = 2
ICOSAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un icosaedro. Sabemos que tiene 20 caras triangulares. Como antes, razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara triangular tiene 3 vértices, partimos, de entrada de 3x20 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértice del icosaedro es compartido por 5 caras pentagonales, por tanto, un icosaedro tiene 60 div 5 = 12 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada triángulo tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 20 x 3 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez: como cada una de estas aristas está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 = 30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Vamos a comprobarlo: 12-30 +20 = 2
ICOSAEDRO TRUNCADO
Podemos obtener este poliedro -- algunos balones de fútbol con piezas de cuero cosidas se construyen así -- truncando un icosaedro regular tal como indica la figura de abajo.
Acabamos de ver que el número de vértices de un icosaedro es igual a 12. Cuando el descabezado convertimos cada uno de estos vértices en cinco; por tanto, un icosaedro truncado tiene 12x5 = 60 vértices.
En cuanto al número de caras, observamos atentamente la figura de la izquierda que muestra el número de elementos que aparecen cuando el descabezado: encontramos que cada una de las 12 vértices del icosaedro, al ser descabezado, da una cara pentagonal y, en cada una de las 20 caras del icosaedro, acaba quedando un hexágono, por tanto, tendremos 12 +20 = 32 caras para el icosaedro truncado.
Fijémonos ahora con el número de aristas: aparecen cinco aristas para cada vértice del icosaedro (color verde), que hacen un total de 12x5 = 60 aristas de color verde; además, hay que tener en cuenta las tres 3 aristas por cada cara hexagonal (de color rosa), pero como cada una de estas es compartida por dos caras, hay que considerar 20x3 / 2 = 30 aristas de color rosa. El total de aristas del icosaedro truncado es pues de 60 +30 = 90.
Como un icosaedro truncado es un poliedro convexo, se deberá cumplir el teorema de Euler (v-a + c = 2). En efecto (v = 60, a = 90, c = 32): 60-90 +32 = 2.
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un dodecaedro. Sabemos que tiene 12 caras pentagonales. Razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara pentagonal tiene 5 vértices, partimos, de entrada de 5x12 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértices del dodecaedro es compartido por 3 caras pentagonales, por tanto, en realidad hay 60 div 3 = 20 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada pentágono tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 12 x 5 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez, como cada arista está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 =30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Veamos que es así: 20-30 +12 = 2
ICOSAEDRO
Pongamos que queramos hacer el recuento del número de vértices de un icosaedro. Sabemos que tiene 20 caras triangulares. Como antes, razonamos de la siguiente manera, haciendo uso del principio de multiplicación, como cada cara triangular tiene 3 vértices, partimos, de entrada de 3x20 = 60 vértices; de estos, hay que se cuentan más de una vez: cada vértice del icosaedro es compartido por 5 caras pentagonales, por tanto, un icosaedro tiene 60 div 5 = 12 vértices.
Si queremos contar el número de aristas haremos algo similar: cada triángulo tiene 5 aristas, por tanto, partimos de 20 x 3 = 60 aristas; pero, de estas hay que están contadas más de una vez: como cada una de estas aristas está compartida por dos caras del poliedro, en realidad hay 60 div 2 = 30 aristas.
Obsérvese que, como en todo poliedro convexo, se cumple el teorema de Euler: el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a 2 (v-a + c = 2). Vamos a comprobarlo: 12-30 +20 = 2
ICOSAEDRO TRUNCADO
Podemos obtener este poliedro -- algunos balones de fútbol con piezas de cuero cosidas se construyen así -- truncando un icosaedro regular tal como indica la figura de abajo.
Acabamos de ver que el número de vértices de un icosaedro es igual a 12. Cuando el descabezado convertimos cada uno de estos vértices en cinco; por tanto, un icosaedro truncado tiene 12x5 = 60 vértices.
En cuanto al número de caras, observamos atentamente la figura de la izquierda que muestra el número de elementos que aparecen cuando el descabezado: encontramos que cada una de las 12 vértices del icosaedro, al ser descabezado, da una cara pentagonal y, en cada una de las 20 caras del icosaedro, acaba quedando un hexágono, por tanto, tendremos 12 +20 = 32 caras para el icosaedro truncado.
Fijémonos ahora con el número de aristas: aparecen cinco aristas para cada vértice del icosaedro (color verde), que hacen un total de 12x5 = 60 aristas de color verde; además, hay que tener en cuenta las tres 3 aristas por cada cara hexagonal (de color rosa), pero como cada una de estas es compartida por dos caras, hay que considerar 20x3 / 2 = 30 aristas de color rosa. El total de aristas del icosaedro truncado es pues de 60 +30 = 90.
Como un icosaedro truncado es un poliedro convexo, se deberá cumplir el teorema de Euler (v-a + c = 2). En efecto (v = 60, a = 90, c = 32): 60-90 +32 = 2.
¿ Cuántos poliedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.
Enunciado:
¿ Cuántos políedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.
Solución:
Hay cinco políedros regulares, los cuales son todos convexos, y son los siguientes:
1. Tetraedro: consta de 4 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 4 vértices, y 6 aristas
2. Hexaedro ( cubo ): consta de 6 caras ( las cuales son cuadrados); 8 vértices, y 12 aristas
3. Octaedro: consta de 8 caras ( las cuales son triángulos equiláteros); 6 vértices, y 8 aristas
4. Dodecaedro: consta de 12 caras ( las cuales son pentágonos regulares); 20 vértices, y 30 aristas
5. Icosaedro: consta de 20 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 12 vértices, y 30 aristas
$\square$
¿ Cuántos políedros regulares existen ? ¿ Cuáles son ? Descríbalos.
Solución:
Hay cinco políedros regulares, los cuales son todos convexos, y son los siguientes:
1. Tetraedro: consta de 4 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 4 vértices, y 6 aristas
2. Hexaedro ( cubo ): consta de 6 caras ( las cuales son cuadrados); 8 vértices, y 12 aristas
3. Octaedro: consta de 8 caras ( las cuales son triángulos equiláteros); 6 vértices, y 8 aristas
4. Dodecaedro: consta de 12 caras ( las cuales son pentágonos regulares); 20 vértices, y 30 aristas
5. Icosaedro: consta de 20 caras ( las cuales son triángulos equiláteros ); 12 vértices, y 30 aristas
$\square$
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide ....
Enunciado:
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide:
a) el volumen del cono
b) el área lateral
c) el ángulo del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral
Solución:
a)
$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,a$, siendo $a$ la altura del cono. Como la altura, un radio de la circunferencia de la base y la generatriz correspondiente forman un triángulo rectángulo podemos obtener el valor de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras: $a^2+r^2=g^2$, esto es, $a^2+9^2=41^2 \Rightarrow a^2=41^2-9^2=1600$, y, por tanto, $a=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Entonces, de la fórmula del volumen, $V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9^2\cdot 40=1080\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 2393 \, \text{dm}^3$
b)
$A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 41 \cdot 9 = 369\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 1159\,\text{dm}^2$
c)
$\alpha = 360º \cdot \dfrac{r}{g}=\dfrac{360 \cdot 9}{41}º \approx 79º$
$\square$
La generatriz de un cono mide $41\,\text{dm}$ y el radio de la base mide $9\,\text{dm}$. Se pide:
a) el volumen del cono
b) el área lateral
c) el ángulo del trazado del desarrollo plano de la superficie lateral
Solución:
a)
$V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,a$, siendo $a$ la altura del cono. Como la altura, un radio de la circunferencia de la base y la generatriz correspondiente forman un triángulo rectángulo podemos obtener el valor de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras: $a^2+r^2=g^2$, esto es, $a^2+9^2=41^2 \Rightarrow a^2=41^2-9^2=1600$, y, por tanto, $a=\sqrt{1600}=40\,\text{dm}$. Entonces, de la fórmula del volumen, $V=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 9^2\cdot 40=1080\,\pi \,\text{dm}^3 \approx 2393 \, \text{dm}^3$
b)
$A_{\text{lateral}}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 41 \cdot 9 = 369\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 1159\,\text{dm}^2$
c)
$\alpha = 360º \cdot \dfrac{r}{g}=\dfrac{360 \cdot 9}{41}º \approx 79º$
$\square$
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide ...
Enunciado:
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide:
a) la capacidad, en litros, de dicho depósito
b) el área lateral del depósito
Solución:
a)
Calculemos, primero, el volumen del depósito ( despreciando el volumen de las paredes y el grosor de la base): $V=\pi\,r^2\,a$, siendo $r$ el radio de la base y $a$ la altura; entonces,
$V=\pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 18 \, \pi \, \text{m}^3$. Teniendo en cuenta, ahora, la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen: $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$, y, por tanto, $1\,\text{m^3}=1000 \, \text{L}$, la capacidad de dicho depósito es $18000\,\pi \, \text{L} \approx 56549 \, \text{L}$
b)
El área lateral del depósito ( área de la superficie lateral del desarrollo plano del cilindro ) es igual $2\,\pi\,r\,a$, por tratarse de un rectángulo de lados $a$ y $2\,\pi\,r$ ( pues tiene que enrollarse alrededor de la circunferencia de la base, que es de radio $r$ ), luego es igual a $2\,\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\,\pi \,\text{m}^2 \approx 38 \, \text{m}^2$
$\square$
El radio de la base de un depósito que tiene forma cilíndrica mide $3\,\text{m}$; la altura de dicho cilindro mide $2\,\text{m}$. Se pide:
a) la capacidad, en litros, de dicho depósito
b) el área lateral del depósito
Solución:
a)
Calculemos, primero, el volumen del depósito ( despreciando el volumen de las paredes y el grosor de la base): $V=\pi\,r^2\,a$, siendo $r$ el radio de la base y $a$ la altura; entonces,
$V=\pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 18 \, \pi \, \text{m}^3$. Teniendo en cuenta, ahora, la equivalencia entre unidades de capacidad y volumen: $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{L}$, y, por tanto, $1\,\text{m^3}=1000 \, \text{L}$, la capacidad de dicho depósito es $18000\,\pi \, \text{L} \approx 56549 \, \text{L}$
b)
El área lateral del depósito ( área de la superficie lateral del desarrollo plano del cilindro ) es igual $2\,\pi\,r\,a$, por tratarse de un rectángulo de lados $a$ y $2\,\pi\,r$ ( pues tiene que enrollarse alrededor de la circunferencia de la base, que es de radio $r$ ), luego es igual a $2\,\pi \cdot 3 \cdot 2 = 12\,\pi \,\text{m}^2 \approx 38 \, \text{m}^2$
$\square$
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos: a) un prisma recto de base rectangular b) un cilindro c) un cono d) una pirámide recta de base cuadrada
Enunciado:
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos:
a) un prisma recto de base rectangular
b) un cilindro
c) un cono
d) una pirámide recta de base cuadrada
Solución:
Dibuje los siguientes cuerpos geométricos:
a) un prisma recto de base rectangular
b) un cilindro
c) un cono
d) una pirámide recta de base cuadrada
Solución:
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.
Enunciado:
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.
Solución:
Fórmula de Euler ( para políedros convexos ): $v-a+c=2$, siendo $v$ el número de vértices; $a$, el número de aristas, y $c$ el número de caras. Entonces, en nuestro caso: $5-a+5=2$, de donde, despejando $a$, obtenemos $a=8$ ( se trata de una pirámide cuya base es un cuadrilátero ).
$\square$
Aplique la fórmula de Euler para averiguar el número de aristas de un cierto poliedro convexo que tiene cinco caras y cinco vértices.
Solución:
Fórmula de Euler ( para políedros convexos ): $v-a+c=2$, siendo $v$ el número de vértices; $a$, el número de aristas, y $c$ el número de caras. Entonces, en nuestro caso: $5-a+5=2$, de donde, despejando $a$, obtenemos $a=8$ ( se trata de una pirámide cuya base es un cuadrilátero ).
$\square$
lunes, 9 de junio de 2014
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$
Enunciado:
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$
Nota: La figura es sólo un esquema ( no está hecha a escala ).
Solución:
$\square$
Determine, utilizando el Teorema de Tales, la longitud del segmento $[O,A]$ a partir de la figura y de los datos que a continuación se indican: $CD=5\,\text{dm}$, $OC=3\,\text{dm}$ y $AB=7\,\text{dm}$
Nota: La figura es sólo un esquema ( no está hecha a escala ).
Solución:
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule ...
Enunciado:
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule:
a) El radio de la circunferencia circunscrita al hexágono
b) El área del círculo
c) El área del hexágono inscrito en la circunferencia
d) El área de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono
e) El área de la región coloreada azul
f) El área de la región coloreada en verde
g) El área de la región coloreada en rojo
Nota: La figura no está realizada a escala; es, simplemente, un esquema.
Solución:
$\square$
El lado del hexágono inscrito ( figura ) mide $2\,\text{dm}$. Calcule:
a) El radio de la circunferencia circunscrita al hexágono
b) El área del círculo
c) El área del hexágono inscrito en la circunferencia
d) El área de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono
e) El área de la región coloreada azul
f) El área de la región coloreada en verde
g) El área de la región coloreada en rojo
Nota: La figura no está realizada a escala; es, simplemente, un esquema.
Solución:
$\square$
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$
Enunciado:
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
$\square$
Calcule la longitud de la diagonal del prisma de base rectangular que se muestra en la figura, con los datos que se indican: $AB=6\,\text{m}$, $AE=5\,\text{m}$ y $AC=4\,\text{m}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$
Enunciado:
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
$\square$
Determine la longitud del segmento $[A',B']$ a partir de los siguientes datos: $OA=7\,\text{cm}$; $AB=3\,\text{cm}$; $OA'=4\,\text{cm}$
Nota: Esta figura no está hecha a escala; es, sólo, un esquema.
Solución:
Sean las siguientes medidas de ángulos $\alpha = 10º \, 2'\, 5''$ $\beta = 4º \, 42'\, 58''$. Calcular ...
Enunciado:
Sean las siguientes medidas de ángulos
$\alpha = 10º \, 2'\, 5''$
$\beta = 4º \, 42'\, 58''$
Calcular:
a) $\alpha + \beta$
b) $\alpha - \beta$
c) $12 \,\alpha$
d) $\dfrac{1}{6} \,\alpha$
Solución:
$\square$
Sean las siguientes medidas de ángulos
$\alpha = 10º \, 2'\, 5''$
$\beta = 4º \, 42'\, 58''$
Calcular:
a) $\alpha + \beta$
b) $\alpha - \beta$
c) $12 \,\alpha$
d) $\dfrac{1}{6} \,\alpha$
Solución:
$\square$
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$
Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$
Solución:
$\square$
Resolver la siguiente ecuación: $$ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{16}$$
Solución:
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.
Enunciado:
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.
Nota: La figura es tan solo un esquema, no está hecha a escala.
Solución:
Teniendo en cuenta que los dos triángulos que se forman son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, luego $\dfrac{12}{1,5}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=8 \,\text{m}$
$\square$
Una día soleado, nos encontramos en una planicie donde hay un árbol de altura desconocida y cuya sombra tiene una longiud de $12 \, \text{m}$. Para determinar su altura, de forma indirecta, plantamos un bastón en el suelo, de $1\,\text{m}$ de altura y medimos la sombra que da, que es de $1,5\,\text{m}$ ( figura ). ¿ Cuál es la altura del árbol ?.
Nota: La figura es tan solo un esquema, no está hecha a escala.
Solución:
Teniendo en cuenta que los dos triángulos que se forman son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales, luego $\dfrac{12}{1,5}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=8 \,\text{m}$
$\square$
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?
Enunciado:
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?
Solución:
Planteando la correspondiente proporción directa: $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60} \Rightarrow x=60 \cdot \dfrac{100}{6}=\dfrac{60 \cdot 100}{6}=\dfrac{60}{6}\cdot 100 = 10 \cdot 100 = 1000$
$\square$
Si el $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$, ¿de qué cantidad se trata?
Solución:
Planteando la correspondiente proporción directa: $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60} \Rightarrow x=60 \cdot \dfrac{100}{6}=\dfrac{60 \cdot 100}{6}=\dfrac{60}{6}\cdot 100 = 10 \cdot 100 = 1000$
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Solución:
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x &+&y&=&-1 \\ x &+&3\,y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Solución:
$\square$
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Enunciado:
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Solución:
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14} \Rightarrow x = 14 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{14 \cdot 3}{7} = \dfrac{14}{7} \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
$\square$
Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Solución:
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{x}{14} \Rightarrow x = 14 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{14 \cdot 3}{7} = \dfrac{14}{7} \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
$\square$
lunes, 28 de abril de 2014
Un cierto artículo que se pone a la venta en unos grandes almacenes ...
Enunciado:
Un cierto artículo que se pone a la venta en unos grandes almacenes tiene un precio de referencia de $100$ euros y, en época de rebajas, se ofrece rebajado en un $8\,\%$. Decidimos comprarlo y, al pasar por caja, nos hacen otro descuento por la promoción especial de dicho artículo, que es de un $2\,\%$ sobre la cantidad que resulta de aplicar el primer descuento. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento efectivo sobre el precio de referencia?
Resolución:
Descontando el $8\,\%$ de $100$ euros, debemos pagar $100-8=92$ euros. Ahora bien, de esa cantidad habrá que descontar la segunda rebaja, que es del $2\,\%$, luego si denotamos por $x$ la cantidad a pagar, planteando la proporción directa correspondiente y resolviéndola, tenemos que $\dfrac{100-2}{100}=\dfrac{x}{92}$, de donde $x=\dfrac{92\cdot 98}{100}=90,16$ euros.
$\square$
Un cierto artículo que se pone a la venta en unos grandes almacenes tiene un precio de referencia de $100$ euros y, en época de rebajas, se ofrece rebajado en un $8\,\%$. Decidimos comprarlo y, al pasar por caja, nos hacen otro descuento por la promoción especial de dicho artículo, que es de un $2\,\%$ sobre la cantidad que resulta de aplicar el primer descuento. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento efectivo sobre el precio de referencia?
Resolución:
Descontando el $8\,\%$ de $100$ euros, debemos pagar $100-8=92$ euros. Ahora bien, de esa cantidad habrá que descontar la segunda rebaja, que es del $2\,\%$, luego si denotamos por $x$ la cantidad a pagar, planteando la proporción directa correspondiente y resolviéndola, tenemos que $\dfrac{100-2}{100}=\dfrac{x}{92}$, de donde $x=\dfrac{92\cdot 98}{100}=90,16$ euros.
$\square$
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?
Enunciado:
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?
Resolución:
Denotemos por $t$ al tanto por ciento pedido, entonces $\dfrac{t}{100}=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{10}{100}$, de donde despejando $t$ obtenemos $t=\dfrac{2}{10}=\dfrac{0,2}{100}$, es decir, $t=0,2\,\%$
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?
Resolución:
Denotemos por $t$ al tanto por ciento pedido, entonces $\dfrac{t}{100}=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{10}{100}$, de donde despejando $t$ obtenemos $t=\dfrac{2}{10}=\dfrac{0,2}{100}$, es decir, $t=0,2\,\%$
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?
Enunciado:
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?
Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida; entonces, planteando la proporción directa $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60}$, de donde obtenemos $x=\dfrac{60\cdot 100}{6}=1000$
$\square$
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?
Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida; entonces, planteando la proporción directa $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60}$, de donde obtenemos $x=\dfrac{60\cdot 100}{6}=1000$
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado: $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&2 \\ x &+&y&=&0 \\ \end{matrix}\right.$$
Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado:
$$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
x &+&y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Resolución:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones llegamos a $2\,x=2$, que es una ecuación equivalente a cada una de las dos ecuaciones originales, y, de ésta, deducimos que $x=1$. Sustituyendo, ahora, este resultado en ( por ejemplo ) la segunda ecuación, obtenemos el otro resultado, $y=-1$.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado:
$$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
x &+&y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Resolución:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones llegamos a $2\,x=2$, que es una ecuación equivalente a cada una de las dos ecuaciones originales, y, de ésta, deducimos que $x=1$. Sustituyendo, ahora, este resultado en ( por ejemplo ) la segunda ecuación, obtenemos el otro resultado, $y=-1$.
Resolver $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$
Enunciado:
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$
Resolución:
$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$
$30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$ ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )
$\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$
$6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$
$6\,x+9=2-2\,x-x-3$
$6\,x+2\,x+x=2-3-9$
$9\,x=-10$
$x=-\dfrac{10}{9}$
$\square$
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$
Resolución:
$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$
$30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$ ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )
$\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$
$6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$
$6\,x+9=2-2\,x-x-3$
$6\,x+2\,x+x=2-3-9$
$9\,x=-10$
$x=-\dfrac{10}{9}$
$\square$
Resolver la siguiente proporción: $\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
Enunciado:
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$
Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
$\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
$2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
$2\cdot 2=1 \cdot x$
$4=x$
es decir, $x=4$
$\blacksquare$
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$
Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
$\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
$2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
$2\cdot 2=1 \cdot x$
$4=x$
es decir, $x=4$
$\blacksquare$
martes, 8 de abril de 2014
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
Enunciado:
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos cinco puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos cuatro puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Solución:
a)
b)
$\square$
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos cinco puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos cuatro puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Solución:
a)
b)
$\square$
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$
Enunciado:
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )
Solución:
apartados: a), f) y g)
apartados: b) y c)
apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )
apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).
apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$
$\square$
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )
Solución:
apartados: a), f) y g)
apartados: b) y c)
apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )
apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).
apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$
$\square$
viernes, 14 de marzo de 2014
Dados los siguientes valores de una cierta variable estadistica $X$: $$\{3,5,3,3,1,2,4,2,2,3,3,6,3,1,4,4,1,2,2,2,3\}$$ Se pide: a) Realizar el recuento de los valores de la variables estadística y organizar los valores en una tabla de frecuencias b) Representar el diagrama de frecuencias c) Representar el diagrama de frecuencias acumuladas d) Hallar la moda e) Hallar la mediana f) Hallar la media aritmética g) Hallar el rango
Enunciado:
Dados los siguientes valores de una cierta variable estadistica $X$: $$\{3,5,3,3,1,2,4,2,2,3,3,6,3,1,4,4,1,2,2,2,3\}$$
Se pide:
a) Realizar el recuento de los valores de la variables estadística y organizar los valores en una tabla de frecuencias
b) Representar el diagrama de frecuencias
c) Representar el diagrama de frecuencias acumuladas
d) Hallar la moda
e) Hallar la mediana
f) Hallar la media aritmética
g) Hallar el rango
Resolución:
$\blacksquare$
Representar gráficamente la función $y=\dfrac{1}{x}$
Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=\dfrac{1}{x}$
Resolución:
$\blacksquare$
Representar gráficamente la función $y=2^x$
Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=2^x$
Resolución:
Vamos a calcular unos cuantos puntos para poder perfilar el trazo del gráfico, dando valores arbitrarios a la variable independiente $x$, concretamente: $-3,-2,-1,0,1,2$, y $3$.
Caluemos las imágenes de estos valores de $x$:
$f(3)=2^3=8$
$f(2)=2^2=4$
$f(1)=2^1=2$
$f(0)=2^0=1$
$f(-1)=2^{-1}=\text{inv}(2)=1/2=0,5$
$f(-2)=2^{-2}=2^{-1\cdot 2}=\big(2^2\big)^{-1}=\text{inv}(2^2)=\dfrac{1}{2^2}=1/4=0,25$
$f(-3)=2^{-3}=2^{-1\cdot 3}=\big(2^3\big)^{-1}=\text{inv}(2^3)=\dfrac{1}{2^3}=1/8=0,125$
obteniendo así, los siguientes puntos que están sobre el trazo de la función:
$A(3,8)$
$B(2,4)$
$C(1,2)$
$D(0,1)$
$E(-1,0'5)$
$F(-2,0'25)$
$A(-3,0'125)$
Representado dichos puntos y perfilando el trazo:
$\blacksquare$
Representar gráficamente la función $y=2\,x-1$
Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=2\,x-1$
Resolución:
$\blacksquare$
lunes, 10 de marzo de 2014
En una librería se hace un descuento del $25\,\%$ sobre el precio de todos los libros. Hemos comprado un libro de cuentos que nos ha costado $15\,\text{euro}$. ¿ Cuánto hubiésemos pagado por dicho libro si el descuento hubiese sido del $0\,\%$ ?.
Enunciado:
En una librería se hace un descuento del $25\,\%$ sobre el precio de todos los libros. Hemos comprado un libro de cuentos que nos ha costado $15\,\text{euro}$. ¿ Cuánto hubiésemos pagado por dicho libro si el descuento hubiese sido del $0\,\%$ ?.
Resolución:
Denotemos por $x$ el precio del producto; planteando la correspondiente proporción,
$$\dfrac{100}{100-25}=\dfrac{x}{15}$$
y de aquí
$$x=15\cdot \dfrac{100}{75}=20\,\text{euro}$$
$\blacksquare$
Escribir el nombre del tipo de función que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones ...
Enunciado:
Escribir el nombre del tipo de función que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones:
a) $y=x+1$
b) $y=x^2$
c) $y=3^x$
d) $y=1/x$
Resolución:
a) $y=x+1$ función lineal afín ( o función de proporcionalidad directa, o función polinómica de primer grado )
b) $y=x^2$ función polinómica de segundo grado ( o función cuadrática )
c) $y=3^x$ función exponencial
d) $y=1/x$ función de proporcionalidad inversa
$\blacksquare$
Dibujar un diagrama cartesiano a partir de la siguiente tabla y razonar si los puntos representados corresponden a una función:
Enunciado:
Dibujar un diagrama cartesiano a partir de la siguiente tabla y razonar si los puntos representados corresponden a una función:
Resolución:
$\blacksquare$
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