Calcular la potencia de $3$ que resulta de la siguiente operación: $3^{6}\cdot 3^{1} \div 3^{5}$

Enunciado:
Calcular la potencia de $3$ que resulta de la siguiente operación:
$$3^{6}\cdot 3^{1} \div 3^{5}$$

Resolución:
$3^{6}\cdot 3^{1} \div 3^{5} = $

  $=3^{6+1} \div 3^{5}$

    $=3^{6+1-5}$

      $=3^{7-5}$

        $=3^{2}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la fracción resultante: $\dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{9}$

Enunciado:
Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{9}$$

Resolución:
$\dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{9} = $

  $=\dfrac{7}{3}\cdot \text{inverso}\big( \dfrac{14}{9} \big)$

    $=\dfrac{7}{3}\cdot \dfrac{9}{14}$

      $=\dfrac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14}$

        $=\dfrac{9 \cdot 7}{3 \cdot 14}$

          $=\dfrac{9}{3}\cdot \dfrac{7}{14}$

            $=3\cdot \dfrac{1}{2}$

              $=\dfrac{3\cdot 1}{2}$

                $=\dfrac{3}{2}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

La suma de dos números naturales es $15$ y al dividir el mayor entre el menor se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $1$. ¿De qué números estamos hablando?

Enunciado:
La suma de dos números naturales es $15$ y al dividir el mayor entre el menor se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $1$. ¿De qué números estamos hablando?

Resolución:
Sean $x$ e $y$ ( $x \succ y$ ) los números naturales pedidos, entonces:

$\left.\begin{matrix}
x+y=15 \\
x=1\cdot y+1 \\
\end{matrix}\right\}$

donde la segunda ecuación viene del Teorema de la División Entera: el dividendo ( que es $x$ ) es igual al divisor (que es $y$), por el cociente ( que es $1$ ), más el resto ( que es $1$ )

esto es

$\left.\begin{matrix}
x+y=15 \\
x=y+1 \\
\end{matrix}\right\}$

sustituyendo la expresión del segundo miembro de la segunda ecuación ( que representa la incógnita $x$ ) en el lugar de $x$ de la primera ecuación, obtenemos:

$$(y+1)+y=15$$

de aquí

$(y+1)+y=15$

  $y+y+1=15$

    $2\,y+1=15$

    $2\,y+1-1=15-1$

      $2\,y+0=14$

      $2\,y=14$

        $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,y=\dfrac{1}{2}\cdot 14$

        $\dfrac{1\cdot 2}{2}\,y=\dfrac{1 \cdot 14}{2}$

          $\dfrac{2}{2}\,y=\dfrac{14}{2}$

            $1\cdot y=7$

              $y=7$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la fracción resultante: $\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}$

Enunciado:
Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}$$

Resolución:
$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5} =$

  $=\dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 5}$

    $=\dfrac{6}{25}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación $x^2+3\,x+2=0$

Enunciado:
Resolver la ecuación
$$x^2+3\,x+2=0$$

Resolución:
La ecuación pedida es una e. de segundo grado. Hemos estudiado en clase cómo resolverla; recordemos que dada la ecuación general de segundo grado completa, $$a\,x^2+b\,x+c=0$$
entonces los valores de $x$ que cumplen dicha igualdad son los que vienen dados por $$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$
Comparando la ecuación genérica con la ecuación pedida, vemos que: $a=1$, $b=3$, y $c=2$. Sustituyendo estos valores en la expresión que nos dá los valores de $x$ que cumplen la igualdad pedida, llegamos a
$x=\dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}=\dfrac{-3 \pm 1}{2}$
y de aquí obtenemos el siguiente par de valores como solución
$x = \left\{ \begin{matrix}-1 \\ \\-2\\ \end{matrix} \right.$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es ...

Enunciado:
Sabemos que el perímetro de un rectángulo es $12\,\text{m}$ y que el largo menos el ancho es igual a $2\,\text{m}$. ¿Cuáles son las dimensiones del mismo? ¿Cuál es el área de dicho rectángulo?

Resolución:

Denotemos por $x$ e $y$ el ancho y el largo, respectivamente. Entonces,
$\left.\begin{matrix}
2\,x &+&2\,y&=&12 \\
x &+&2&=&y \\
\end{matrix}\right\}$

sistema de ecuaciones que es equivalente a

$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&6 \\
x &+&2&=&y \\
\end{matrix}\right\}$

sustituyendo la expresión de $y$ del primer miembro de la segunda ecuación en la primera:
$x+(x+2)=6$

  $x+x+2=6$

  $2\,x+2=6$

    $2\,x+2-2=6-2$

      $2\,x+0=4$

      $2\,x=4$

      $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4$

      $\dfrac{1\cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2}$

        $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2}$

          $1\,x=2$

            $x=2$

Encontramos, pues, que el ancho es igual a $2\,\text{m}$. Sustituyendo, ahora, este resultado en la expresión de $y$, que es $y=x+2$, obtenemos el valor del largo: $y=2+2=4 \, \text{m}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $\left.\begin{matrix} x &+&y&=&1 \\ -x &+&\,y&=&1 \\ \end{matrix}\right\}$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$$

Resolución:
$\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
-x &+&\,y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$

Sumando la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) y sustituyendo la segunda por la ecuación resultante ( que es equivalente a las dos eauciones originales ), obtenemos el siguiente sistema equivalente al original:

  $\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&2\,y&=&2 \\
\end{matrix}\right\}$

esto es

  $\left.\begin{matrix}
x &+&y&=&1 \\
&&y&=&1 \\
\end{matrix}\right\}$

con lo cual, de la segunda ecuación obtenemos el valor de $y$, que es $1$. Sustituyendo, ahora, este valor den la primera ecuación: $x+1=1$, es decir, $x+1-1=1-1$ y, por tanto, $x+0=0$, luego $x=0$.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la fracción resultante: $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{6}$

Enunciado:
Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{6}$$

Resolución:
Para sumar las fracciones, las reduciremos primero a común denominador; para ello, tomaremos el mínimo común múltiplo de los tres denominadores ( también podríamos multiplicar por cualquier otro múltiplo común ), que es igual a $\text{m.c.m}(4,12,6)=12$, y ajustaremos el numerador para encontrar así las fracciones equivalentes:

$\dfrac{x}{12}=\dfrac{3}{4}$, luego $x=12 \cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{12 \cdot 3}{4} = \dfrac{12}{4}\cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$, y, por tanto, $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$$

La fracción del segundo sumando, $\dfrac{5}{12}$ ya tiene como denominador el denominador común, así que no hay que hacer nada con ésta

y en cuanto a la fracción del tercer sumando, llamando $y$ al numerador de su fracción equivalente
$\dfrac{y}{12}=\dfrac{7}{6}$, luego $x=12 \cdot \dfrac{7}{6}=\dfrac{12 \cdot 7}{6} = \dfrac{12}{6}\cdot 7 = 2 \cdot 7 = 14$, y, por tanto, $$\dfrac{7}{6}=\dfrac{14}{12}$$

Hecho ésto, podemos escribir la operación pedida de la forma
$\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{9}{12}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{14}{12}=\dfrac{9+5-14}{12}=\dfrac{14-14}{12}=\dfrac{0}{12} = 0$

$\blacksquare$

[nota del autor]

¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Enunciado:
¿ Cuál es el valor que debe tener $x$ para que las fracciones $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ sean equivalentes ?.

Resolución:
$\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{4}{x}$ son equivalentes si y sólo si $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{x}$, si y sólo si $2\,x=5\cdot 4$. Resolvamos, pues, esta ecuación:
$2\,x=5\cdot 4$

  $2\,x=4\cdot 5$

  $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5$

    $\dfrac{1 \cdot 2}{2}\,x=\dfrac{1 \cdot 4}{2} \cdot 5$

    $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2} \cdot 5$

      $1\cdot x=2 \cdot 5$

        $x=10$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación $x-1=3+2\,x$

Enunciado:
Resolver la ecuación $$x-1=3+2\,x$$

Resolución:
$x-1=3+2\,x$

  $x-1+1=3+2\,x+1$

    $x+0=3+2\,x+1$

      $x=2\,x+3+1$

        $x=2\,x+4$

          $-2\,x+x=-2\,x+2\,x+4$

          $-x=0+4$

          $-x=4$

            $x=-4$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Consideremos un número natural mayor que $9$ y menor que $100$ ...

Enunciado:
Consideremos un número natural mayor que $9$ y menor que $100$. Nos dicen que la cifra de las decenas es igual a la de las unidades más dos, y que al hacer la diferencia entre dicho número y el que resulta al invertir el orden de sus cifras es igual a $18$. ¿De qué número estamos hablando?

Resolución:
A partir de la información del enunciado podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left.\begin{matrix} x=y+2 \\ (10\,x+y)-(10y+x)=18 \end{matrix}\right\}$
que es equivalente al siguiente ( ordenando, y sumando términos semejantes en la segunda ecuación )
$\left.\begin{matrix} x-y=2 \\ 9x-9y=18 \end{matrix}\right\}$
dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación, podemos escribirlo así
$\left.\begin{matrix} x-y=2 \\ x-y=2 \end{matrix}\right\}$
Observemos que la segunda ecuación es, en realidad, la misma que la primera; quiere decir ésto que, teniendo el sistema dos incógnitas y una sola ecuación, es indeterminado (si bien es compatible); es decir, tiene más de una solución en el conjunto de los números naturales. Veamos cuáles son, ensayando valores para $y$ y calculando el valor que le corresponde a $x$ ( que es $y+2$ ); procediendo en orden ( $x=3,1,2,\ldots,9$ ), obtenemos siete números como soluciones del problema:

    $y=1$ y $x=1+2=3$, luego un número natural que forma parte de la solución es $31$; en efecto, $31-13=18$
    $y=2$ y $x=2+2=4$, luego un número natural que forma parte de la solución es $42$; en efecto, $42-24=18$
    $y=3$ y $x=3+2=5$, luego un número natural que forma parte de la solución es $53$; en efecto, $53-35=18$
    $y=4$ y $x=4+2=6$, luego un número natural que forma parte de la solución es $64$; en efecto, $64-46=18$
    $y=5$ y $x=5+2=7$, luego un número natural que forma parte de la solución es 75; en efecto, $75-57=18$
    y=6 y $x=6+2=8$, luego un número natural que forma parte de la solución es $86$; en efecto, $86-68=18$
    $y=7$ y $x=7+2=9$, luego un número natural que forma parte de la solución es $97$; en efecto, $97-79=18$

Observación:
A partir de $y=8$ ( éste incluido ) ya no se obtienen más números que cumplan la condición pues $x=8+2=10$ que es mayor que $9$.

$\square$

[nota del autor]

Consideremos un número natural mayor que 9 y menor que 100 ...

Enunciado:
Consideremos un número natural mayor que $9$ y menor que $100$. Nos dicen que la suma de la cifra de las decenas y de las unidades es $4$. Sabemos también que al hacer la diferencia entre dicho número y el que resulta al invertir el orden de sus cifras es igual a $18$. ¿De qué número estamos hablando?

Resolución:
A partir de la información del enunciado podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left.\begin{matrix} x &+&y&=&4 \\ (10\,x+y) &-&(10y+x)&=&18 \end{matrix}\right\}$
que es equivalente al siguiente ( sumando los términos semejantes de la segunda ecuación)
$\left.\begin{matrix} x &+&y&=&4 \\ 9x &-9y&=&18 \end{matrix}\right\}$
dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación, podemos escribirlo así
$\left.\begin{matrix} x &+&y&=&4 \\ x &-y&=&2 \end{matrix}\right\}$
y sumando la primera y la segunda ecuación, miembro a miembro, y sustituyendo dicha segunda ecuación por la nueva ecuación así obtenida, llegamos a un sistema reducido, equivalente al original
$\left.\begin{matrix} x &+&y&=&4 \\ 2x &&=&6 \end{matrix}\right\}$
luego, de la segunda ecuación del sistema equivalente, obtenemos
$x=3$
y sustituyendo este valor en la primera obtenemos el valor de la otra incógnita
$y=4-3=1$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios resueltos de los temas 5 y 6 de Matemáticas de 2.º de la ESO ( tercer examen del primer trimestre )

Ejercicios resueltos del examen de los temas 5 y 6.

[nota del autor]

Ejercicios resueltos de los Temas 1 y 2 ( números enteros y operaciones combinadas )

Ejercicios resueltos del examen de los temas 1 y 2.

[nota del autor]

Aprendiendo geometría con GeoClic

Me gustaría recomendaros en esta entrada un recurso didáctico interactivo muy útil para aprender geometría en los primeros cursos de la ESO: GeoClic. Este paquete de actividades interactivas está construido con la herramienta JClic, basada en Java y, por tanto, de fácil acceso ya que se puede usar en línea.

[nota del autor]

Dos ejemplos de utilidad de los porcentajes

Ecuaciones

Enunciat:
Resoleu les següents equacions polinòmiques:

a)     $2x+4=8$
b)     $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
c)     $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$
d)     $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$
e)     $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$

Resolució:

Recordem que resoldre una equació consisteix a fer les operacions algebraiques necessàries per anar obtenint equacions equivalents, cada vegada més senzilles, fins que, finalment, ens queda la variable aïllada (tota sola) en un dels membres de la igualtat.

apartat a)     $2x+4=8$
Agrupant els termes numèrics al 2n membre
$2x=8-4$
i dividint ambdós membre per $2$ podrem aïllar la variable
$x=\dfrac{8-4}{2}$
que és igual a $2$
$\square$

apartat b)     $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
Fem ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma per desfer els parèntesis
$3-3x=2x-2$
agrupant els termes literals en un dels costats de la igualtat, i els numèrics a l'altre
$3+2=3x+2x$
sumant els termes semblants
$5=5x$
i dividint ambdós membres per $5$ trobem el valor de la lletra $x$ que compleix la igualtat original
$x=\dfrac{5}{5}=1$
$\square$

apartat c) [mètode I]
    $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$

Dividint ambdós membres de la igualt per

$\dfrac{2}{3}$

aconseguirem aïllar la variable

$x=\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}}$

operació de divisió que, amb l'ajut de la tecla de càlcul de fraccions de la calculadora, queda

$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$

apartat c) [mètode II]
Una altra via de resolució és la següent. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(3,6)=6$ ) podem escriure una equació equivalent a l'original, que té l'aventatge que els coeficients, ara, són nombres enters

$6\cdot \dfrac{2}{3}\,x=6\cdot \dfrac{5}{6}$

simplificant ens queda

$4x=5$

i dividint ambdós membres de la igualtat per $4$ amb l'objectiu d'aïllar la variable trobem

$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$

apartat d)
    $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$

Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(2,4,6,3)=12$ )

$12 \cdot \dfrac{x}{2}+12 \cdot \dfrac{1}{4}=12 \cdot \dfrac{5}{6}-12 \cdot \dfrac{2x}{3}$

Simplificant

$6x+3=10-8x$

Agrupant els termes literals en un mateix membre, i els termes numèrics a l'altre

$6x+8x=10-3$

sumant els termes semblants

$14x=7$

i dividint ambdós membres per $14$ podem escriure

$x=\dfrac{7}{14}$

resultat que, simplificat, queda

$x=\dfrac{1}{2}$

$\square$

apartat e)
    $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$

Multiplicant les fraccions dels primer membre i simplificant trobem
$1=\dfrac{x}{2}$

i multiplicant tots dos membres per $2$ podrem aïllar la variable

$x=2$

$\square$

[autoría]

La suma de dos números naturales es igual a 110, y, la diferencia entre el mayor y el menor es 68 ...

Enunciat:
La suma de dos nombres naturals és igual a $110$ i la diferència entre el més gran i el més petit és igual a $68$. Determineu aquests nombres.

Resolució:
Considerant que $x>y$, podem plantejar el següent sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x+y = 110\\x-y=68\\ \end{matrix}\right\}$
sumant membre a membre arribem a l'equació on, havent-se anul·lat el terme en $y$, porta a una equació amb una sola variable

$2x=178$

aïllant $x$ trobem

$x=\dfrac{178}{2}$

i dividint

$x=89$

y, per acabar, el valor de $y$ ha de ser igual a

$y=110-89$

que és igual a $21$

$\square$

[autoría]

Un problema con relojes de arena

Enunciat:
Disposem de dos rellotges de sorra; un d'ells mesura intervals de 4 minuts i l'altre de 7 minuts. Què haurem de fer per mesurar un interval de 9 minuts ?


Resolució:

Anomenem Q al rellotge de 4 min i S al de 7 min. Una manera de mesurar un interval de 9 min consisteix a combinar l'acció dels dos rellotges per tal que puguem mesurar exactament el pas de 1 min de temps la qual cosa és equivalent a disposar d'un tercer rellotge U que mesuri 1 min. Si aconseguim posar a punt U (a partir de S i Q), n'hi haurà prou a mesurar dos intervals de tempsde 4 min amb el rellotge Q i 1 min de temps amb el rellotge U.

A continuació, vegem com podem habilitar el patró de mesura U. Si posem en marxa simultàniament S i Q, quedaran encara 3 min (7-4) abans que acabi de baixar tota la sorra de S (anomenarem $S_3$ a aquesta fracció de temps). Instantàniament, mentre comencen a transcorrer els 3 min de temps de $S_3$ [la sorra va baixant], girem el rellotge Q (començar a baixar la sorra d'aquest) i, quan hagi acabat de caure tota la sorra de $S_3$, encara quedarà 1 min de de temps per tal que acabi de caure la sorra de Q (l'anomenarem $Q_1$: vet aquí el patró de mesura U).

I, en aquest mateix instant, no abans, és quan comencem el procés de recompte dels 9 min. Ara ja és ben fàcil entendre com: primer, deixem caure la sorra de $Q_1$ (passa un min i queda buit el rellotge de quatre minuts); tot seguit, instantàniament, li donem el tom al mateix rellotge (de 4 min, el rellotge Q) i fem el recompte de 4 min més (ja en són cin, 4 min + 1 min = 5 min). I, per acabar, li tornem a donar el tomb (al mateix rellotge de quatre minuts, Q) i, en acabar de baixar la sorra; hauran passat el 4 min que falten per comptar-ne, en total, nou (5+4=9). $\square$

[autoría]

Ganancia esperada (valor esperado) en un juego de azar