Enunciado:
Consideremos un número natural mayor que $9$ y menor que $100$. Nos dicen que la cifra de las decenas es igual a la de las unidades más dos, y que al hacer la diferencia entre dicho número y el que resulta al invertir el orden de sus cifras es igual a $18$. ¿De qué número estamos hablando?
Resolución:
A partir de la información del enunciado podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left.\begin{matrix} x=y+2 \\ (10\,x+y)-(10y+x)=18 \end{matrix}\right\}$
que es equivalente al siguiente ( ordenando, y sumando términos semejantes en la segunda ecuación )
$\left.\begin{matrix} x-y=2 \\ 9x-9y=18 \end{matrix}\right\}$
dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación, podemos escribirlo así
$\left.\begin{matrix} x-y=2 \\ x-y=2 \end{matrix}\right\}$
Observemos que la segunda ecuación es, en realidad, la misma que la primera; quiere decir ésto que, teniendo el sistema dos incógnitas y una sola ecuación, es indeterminado (si bien es compatible); es decir, tiene más de una solución en el conjunto de los números naturales. Veamos cuáles son, ensayando valores para $y$ y calculando el valor que le corresponde a $x$ ( que es $y+2$ ); procediendo en orden ( $x=3,1,2,\ldots,9$ ), obtenemos siete números como soluciones del problema:
$y=1$ y $x=1+2=3$, luego un número natural que forma parte de la solución es $31$; en efecto, $31-13=18$
$y=2$ y $x=2+2=4$, luego un número natural que forma parte de la solución es $42$; en efecto, $42-24=18$
$y=3$ y $x=3+2=5$, luego un número natural que forma parte de la solución es $53$; en efecto, $53-35=18$
$y=4$ y $x=4+2=6$, luego un número natural que forma parte de la solución es $64$; en efecto, $64-46=18$
$y=5$ y $x=5+2=7$, luego un número natural que forma parte de la solución es 75; en efecto, $75-57=18$
y=6 y $x=6+2=8$, luego un número natural que forma parte de la solución es $86$; en efecto, $86-68=18$
$y=7$ y $x=7+2=9$, luego un número natural que forma parte de la solución es $97$; en efecto, $97-79=18$
Observación:
A partir de $y=8$ ( éste incluido ) ya no se obtienen más números que cumplan la condición pues $x=8+2=10$ que es mayor que $9$.
$\square$
