Ecuaciones

Enunciat:
Resoleu les següents equacions polinòmiques:

a)     $2x+4=8$
b)     $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
c)     $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$
d)     $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$
e)     $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$

Resolució:

Recordem que resoldre una equació consisteix a fer les operacions algebraiques necessàries per anar obtenint equacions equivalents, cada vegada més senzilles, fins que, finalment, ens queda la variable aïllada (tota sola) en un dels membres de la igualtat.

apartat a)     $2x+4=8$
Agrupant els termes numèrics al 2n membre
$2x=8-4$
i dividint ambdós membre per $2$ podrem aïllar la variable
$x=\dfrac{8-4}{2}$
que és igual a $2$
$\square$

apartat b)     $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
Fem ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma per desfer els parèntesis
$3-3x=2x-2$
agrupant els termes literals en un dels costats de la igualtat, i els numèrics a l'altre
$3+2=3x+2x$
sumant els termes semblants
$5=5x$
i dividint ambdós membres per $5$ trobem el valor de la lletra $x$ que compleix la igualtat original
$x=\dfrac{5}{5}=1$
$\square$

apartat c) [mètode I]
    $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$

Dividint ambdós membres de la igualt per

$\dfrac{2}{3}$

aconseguirem aïllar la variable

$x=\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}}$

operació de divisió que, amb l'ajut de la tecla de càlcul de fraccions de la calculadora, queda

$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$

apartat c) [mètode II]
Una altra via de resolució és la següent. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(3,6)=6$ ) podem escriure una equació equivalent a l'original, que té l'aventatge que els coeficients, ara, són nombres enters

$6\cdot \dfrac{2}{3}\,x=6\cdot \dfrac{5}{6}$

simplificant ens queda

$4x=5$

i dividint ambdós membres de la igualtat per $4$ amb l'objectiu d'aïllar la variable trobem

$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$

apartat d)
    $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$

Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(2,4,6,3)=12$ )

$12 \cdot \dfrac{x}{2}+12 \cdot \dfrac{1}{4}=12 \cdot \dfrac{5}{6}-12 \cdot \dfrac{2x}{3}$

Simplificant

$6x+3=10-8x$

Agrupant els termes literals en un mateix membre, i els termes numèrics a l'altre

$6x+8x=10-3$

sumant els termes semblants

$14x=7$

i dividint ambdós membres per $14$ podem escriure

$x=\dfrac{7}{14}$

resultat que, simplificat, queda

$x=\dfrac{1}{2}$

$\square$

apartat e)
    $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$

Multiplicant les fraccions dels primer membre i simplificant trobem
$1=\dfrac{x}{2}$

i multiplicant tots dos membres per $2$ podrem aïllar la variable

$x=2$

$\square$

[autoría]