Un problema con relojes de arena

Enunciat:
Disposem de dos rellotges de sorra; un d'ells mesura intervals de 4 minuts i l'altre de 7 minuts. Què haurem de fer per mesurar un interval de 9 minuts ?


Resolució:

Anomenem Q al rellotge de 4 min i S al de 7 min. Una manera de mesurar un interval de 9 min consisteix a combinar l'acció dels dos rellotges per tal que puguem mesurar exactament el pas de 1 min de temps la qual cosa és equivalent a disposar d'un tercer rellotge U que mesuri 1 min. Si aconseguim posar a punt U (a partir de S i Q), n'hi haurà prou a mesurar dos intervals de tempsde 4 min amb el rellotge Q i 1 min de temps amb el rellotge U.

A continuació, vegem com podem habilitar el patró de mesura U. Si posem en marxa simultàniament S i Q, quedaran encara 3 min (7-4) abans que acabi de baixar tota la sorra de S (anomenarem $S_3$ a aquesta fracció de temps). Instantàniament, mentre comencen a transcorrer els 3 min de temps de $S_3$ [la sorra va baixant], girem el rellotge Q (començar a baixar la sorra d'aquest) i, quan hagi acabat de caure tota la sorra de $S_3$, encara quedarà 1 min de de temps per tal que acabi de caure la sorra de Q (l'anomenarem $Q_1$: vet aquí el patró de mesura U).

I, en aquest mateix instant, no abans, és quan comencem el procés de recompte dels 9 min. Ara ja és ben fàcil entendre com: primer, deixem caure la sorra de $Q_1$ (passa un min i queda buit el rellotge de quatre minuts); tot seguit, instantàniament, li donem el tom al mateix rellotge (de 4 min, el rellotge Q) i fem el recompte de 4 min més (ja en són cin, 4 min + 1 min = 5 min). I, per acabar, li tornem a donar el tomb (al mateix rellotge de quatre minuts, Q) i, en acabar de baixar la sorra; hauran passat el 4 min que falten per comptar-ne, en total, nou (5+4=9). $\square$

[autoría]