Demostración:
Supongamos que no sea así, esto es, supongamos que existe otro número primo par, $p$, tal que dicho primo sea mayor que $2$ o bien menor que $-2$. En tal caso, dicho número ha de ser necesariamente múltiplo $\pm 2$ (por ser par), y, por tanto, por ser compuesto, no puede ser primo, llegando así a una contradicción, con lo que hemos terminado. $\square$
viernes, 26 de marzo de 2021
domingo, 24 de mayo de 2020
Ejercicio 7 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Proporcionalidad inversa
ENUNCIADO. Ejercicio 19 de la página 151 del libro base ( Unidad Didáctica 7 )
Tres desagües vacían un estanque en 10 horas. ¿ En cuánto tiempo se vaciaría con cuatro desagües ?.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El tiempo de vaciado es inversamente proporcional al número de desagües. Denotempos por $x$ al tiempo pedido, entonces $$\dfrac{x}{1/4}=\dfrac{10}{1/3}$$ y por tanto $$4\,x=10\cdot 3$$ con lo cual $$x=\dfrac{30}{4}\, \text{h} = 7,5\,\text{h}=7\,\text{h}\,\text{y}\,30\,\text{min}$$
$\square$
Tres desagües vacían un estanque en 10 horas. ¿ En cuánto tiempo se vaciaría con cuatro desagües ?.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El tiempo de vaciado es inversamente proporcional al número de desagües. Denotempos por $x$ al tiempo pedido, entonces $$\dfrac{x}{1/4}=\dfrac{10}{1/3}$$ y por tanto $$4\,x=10\cdot 3$$ con lo cual $$x=\dfrac{30}{4}\, \text{h} = 7,5\,\text{h}=7\,\text{h}\,\text{y}\,30\,\text{min}$$
$\square$
sábado, 23 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas de aritmética con ayuda del álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 76 de la página 140 del libro base ( Unidad Didáctica 6 )
Una trabajadora gana 3 euros más por hora que otra. Si la primera gana en 12 horas un total de 9 euros menos que la segunda en 22 horas, ¿ cuánto gana por hora cada una ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ingreso ( en euros ) por hora de la primera trabajadora, y por $y$ el ingreso ( en euros ) por hora de la segunda trabajadora. Según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x=y+3 \\ 22y-12x=9 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión del segundo miembro de la primera ecuación en el término donde figura $x$ en la{} segunda, llegamos a $$22\,y-12\,(y+3)=9$$ que resolvemos fácilmente $$22y-12y=36+9$$ $$10\,y=45$$ luego $$y=45/10=4,5\,\text{euro}/\text{h}=4\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$ por tanto, su compañera percibe $$3+4,5=7,5\,\text{euros}/\text{hora}=7\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$
$\square$
Una trabajadora gana 3 euros más por hora que otra. Si la primera gana en 12 horas un total de 9 euros menos que la segunda en 22 horas, ¿ cuánto gana por hora cada una ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ingreso ( en euros ) por hora de la primera trabajadora, y por $y$ el ingreso ( en euros ) por hora de la segunda trabajadora. Según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x=y+3 \\ 22y-12x=9 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión del segundo miembro de la primera ecuación en el término donde figura $x$ en la{} segunda, llegamos a $$22\,y-12\,(y+3)=9$$ que resolvemos fácilmente $$22y-12y=36+9$$ $$10\,y=45$$ luego $$y=45/10=4,5\,\text{euro}/\text{h}=4\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$ por tanto, su compañera percibe $$3+4,5=7,5\,\text{euros}/\text{hora}=7\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$
$\square$
Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Ecuaciones. Resolución de problemas aritméticos con ayuda del álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 113 de la página 117 del libro base ( Unidad Didáctica 5 )
Tenemos un depósito de bebida con un 5% de zumo natural. ¿ Qué cantidad de bebida con un 12% de zumo natural debemos añadir para obtener 140 litros de bebida con un 8% de zumo natural ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotempos por $x$ a la cantidad de bebida pedida (que tenemos que añadir). Según la información del enunciado, podemos plantear la siguiente ecuación, describiendo la cantidad de zumo natural en cada uno de los dos miembros de la igualdad: $$\dfrac{12}{100}\,x+\dfrac{5}{100}\cdot (140-x)=\dfrac{8}{100}\cdot 140$$ esto es $$12\,x+5\,(140-x)=140\cdot 8$$ $$12x+700-5x=1120$$ $$7x=1120-700$$ $$7\,x=420$$ $$x=420/7=60$$ En conclusión: tenemos que añadir 60 litros de bebida con un 12% de zumo natural. $\square$
Tenemos un depósito de bebida con un 5% de zumo natural. ¿ Qué cantidad de bebida con un 12% de zumo natural debemos añadir para obtener 140 litros de bebida con un 8% de zumo natural ?
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotempos por $x$ a la cantidad de bebida pedida (que tenemos que añadir). Según la información del enunciado, podemos plantear la siguiente ecuación, describiendo la cantidad de zumo natural en cada uno de los dos miembros de la igualdad: $$\dfrac{12}{100}\,x+\dfrac{5}{100}\cdot (140-x)=\dfrac{8}{100}\cdot 140$$ esto es $$12\,x+5\,(140-x)=140\cdot 8$$ $$12x+700-5x=1120$$ $$7x=1120-700$$ $$7\,x=420$$ $$x=420/7=60$$ En conclusión: tenemos que añadir 60 litros de bebida con un 12% de zumo natural. $\square$
Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Operaciones con polinomios
ENUNCIADO. Ejercicio 104 ( apartado c ) de la página 94 del libro base ( Unidad Didáctica 4 )
Calcula y simplifica:
$$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)=$
$=-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x\right)\cdot \left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\,x\right) -\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\,x\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left( \left( \dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2 +2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\,x^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{7}{4}\,x^2-\dfrac{15}{4}$
Calcula y simplifica:
$$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)=$
$=-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x\right)\cdot \left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\,x\right) -\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\,x\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-\left( \left( \dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2 +2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\,x^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$
$=-2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{7}{4}\,x^2-\dfrac{15}{4}$
Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Potencias. Múltiplos y submúltiplos del Sistema Métrico Decimal
ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 70 del libro base ( Unidad Didáctica 3 ) - ligeramente modificado -
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )
AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
$= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$
b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
$=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )
AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
$= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$
b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
$=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $
Ejercicio 2 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Operaciones con números decimales. Álgebra.
ENUNCIADO. Ejercicio 106 de la página 46 del libro base ( Unidad didáctica 2 ) - ligeramente modificado -
El agua corriente que llega a una casa cuesta 1,749 euros cada metro cúbico consumido. En el servicio se añaden la cuota fija del servicio, que es de 4,75 euros, y el 10% de IVA. Si se han pagado 25 euros en total, calcula:
a) El importe de la factura sin IVA
b) cuántos litros de agua se han consumido
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $y$ el importe de la factura, entonces $\dfrac{100-10}{100}\cdot y=25 \Rightarrow y=25/0,9\approx 27,78\,\text{euros}$
b) Denotemos por $x$ a la cantidad de agua consumida, entonces $$25=(1,749\,x+4,75)\cdot \dfrac{100+10}{100}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{25/1,10-4,75}{1,749}\approx 10,279\,\text{m}^3=10\,729\,\text{dm}^3 \rightarrow 10\,729\,\text{L}$$
El agua corriente que llega a una casa cuesta 1,749 euros cada metro cúbico consumido. En el servicio se añaden la cuota fija del servicio, que es de 4,75 euros, y el 10% de IVA. Si se han pagado 25 euros en total, calcula:
a) El importe de la factura sin IVA
b) cuántos litros de agua se han consumido
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $y$ el importe de la factura, entonces $\dfrac{100-10}{100}\cdot y=25 \Rightarrow y=25/0,9\approx 27,78\,\text{euros}$
b) Denotemos por $x$ a la cantidad de agua consumida, entonces $$25=(1,749\,x+4,75)\cdot \dfrac{100+10}{100}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{25/1,10-4,75}{1,749}\approx 10,279\,\text{m}^3=10\,729\,\text{dm}^3 \rightarrow 10\,729\,\text{L}$$
Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números enteros. Divisibilidad. Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides
ENUNCIADO. Ejercicio 126 ( apartado c ) de la página 23 del libro base ( Unidad Didáctica 1 ) - ligeramente modificado -
Lee atentamente la explicación que se da en el enunciado como ayuda y aplica el algoritmo de Euclides para calcular:
c) m.c.d.({3260,542})
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$3260 =542\cdot 6 +8 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(542,8)$
$542 =8\cdot 67 +6 \Rightarrow \text{m.c.d}(542,8)=\text{m.c.d}(8,6)$
$8 =1\cdot 6 +2 \Rightarrow \text{m.c.d}(8,6)=\text{m.c.d}(6,2)$
$6 =2\cdot 3 +0 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(6,2)=2$
Lee atentamente la explicación que se da en el enunciado como ayuda y aplica el algoritmo de Euclides para calcular:
c) m.c.d.({3260,542})
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$3260 =542\cdot 6 +8 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(542,8)$
$542 =8\cdot 67 +6 \Rightarrow \text{m.c.d}(542,8)=\text{m.c.d}(8,6)$
$8 =1\cdot 6 +2 \Rightarrow \text{m.c.d}(8,6)=\text{m.c.d}(6,2)$
$6 =2\cdot 3 +0 \Rightarrow \text{m.c.d}(3260,542)=\text{m.c.d}(6,2)=2$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números enteros. Subiendo y bajando ...
ENUNCIADO. José tiene que repartir unos encargos. Se encuentra en la planta baja de un edificio. Se monta en el ascensor y sube seis plantas, y luego baja cuatro; a continuación, sube dos y termina el reparto. En qué planta se encuentra al finalizar el reparto. ¿ Cuántas plantas tiene que bajar desde la planta en la que se encuentra al acabar para ir a buscar su furgoneta, que está en la planta del aparcamiento del edificio ?
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Al acabar el reparto, se encuentra en la planta dada por el resultado del siguiente cálculo, $0+6-4+2$; se encuentra pues en la cuarta planta. A continuación, como la furgoneta está en la planta del aparcamiento $-1$ ( la planta baja es la planta $0$ ), tendrá que bajar $4-(-1)=4+1=5$ plantas hasta llegar al aparcamiento. $\square$
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Al acabar el reparto, se encuentra en la planta dada por el resultado del siguiente cálculo, $0+6-4+2$; se encuentra pues en la cuarta planta. A continuación, como la furgoneta está en la planta del aparcamiento $-1$ ( la planta baja es la planta $0$ ), tendrá que bajar $4-(-1)=4+1=5$ plantas hasta llegar al aparcamiento. $\square$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Cuadriláteros. Área. Perímetro.
ENUNCIADO. Una parcela tiene forma de trapecio equilátero. La distancia perpendicular entre los dos lados paralelos es 8 metros, y los lados paralelos miden 10 metros y 14 metros, respectivamente. Calcula el perímetro y el área de dicha parcela.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Al dibujar la figura vemos que ésta se descompone en dos triángulos rectángulos y un rectángulo. La longitud de sendos lados oblicuos es igual a ( aplicando el teorema de Pitágoras): $$|\sqrt{8^2+\left((14-10)/2\right)^2}|=|\sqrt{64+4}|=|\sqrt{68}|\,\text{m} \approx 8,2\, \text{m}$$ luego el perímetro de dicho trapecio es igual a $$2\,|\sqrt{68}|+10+14=24+2\,|\sqrt{68}|\approx 32,2\,\text{m}$$
Por otra parte, el área de dicho trapecio es igual a la suma del área de las áreas del rectángulo y los dos triángulos rectángulos iguales en los que éste se descompone, esto es: $$12\cdot 8 + 2\cdot \dfrac{8\cdot (14-10)/2}{2}=112\,\text{m}^2$$
$\square$
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Al dibujar la figura vemos que ésta se descompone en dos triángulos rectángulos y un rectángulo. La longitud de sendos lados oblicuos es igual a ( aplicando el teorema de Pitágoras): $$|\sqrt{8^2+\left((14-10)/2\right)^2}|=|\sqrt{64+4}|=|\sqrt{68}|\,\text{m} \approx 8,2\, \text{m}$$ luego el perímetro de dicho trapecio es igual a $$2\,|\sqrt{68}|+10+14=24+2\,|\sqrt{68}|\approx 32,2\,\text{m}$$
Por otra parte, el área de dicho trapecio es igual a la suma del área de las áreas del rectángulo y los dos triángulos rectángulos iguales en los que éste se descompone, esto es: $$12\cdot 8 + 2\cdot \dfrac{8\cdot (14-10)/2}{2}=112\,\text{m}^2$$
$\square$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Reparto proporcional.
ENUNCIADO. Dos compañeras quieren repartirse un beneficio de 940 euros de forma directamente proporcional a la dedicación que ha tenido cada una, que ha sido de 3 horas y de 7 horas de trabajo, respectivamente. ¿ Cuánto les corresponde de cada una ?. Haz la comprobación.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La cantidad de beneficio por hora trabajada es igual a $940/(3+7)=94\,\text{euro}/\text{h}$ ( constante de proporcionalidad), luego a la compañera que ha dedicado $3$ horas le corresponden $3\cdot 94=282$ euros, y a la compañera que ha dedicado $7$ horas le corresponden $7\cdot 94=658$ euros.
Nota: Observemos que la suma de las cantidades que perciben una y otra es igual a la cantidad total y que a la persona que ha dedicado una mayor aportación al trabajo colectivo le corresponde la mayor parte del beneficio, como debe ser.
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SOLUCIÓN. La cantidad de beneficio por hora trabajada es igual a $940/(3+7)=94\,\text{euro}/\text{h}$ ( constante de proporcionalidad), luego a la compañera que ha dedicado $3$ horas le corresponden $3\cdot 94=282$ euros, y a la compañera que ha dedicado $7$ horas le corresponden $7\cdot 94=658$ euros.
Nota: Observemos que la suma de las cantidades que perciben una y otra es igual a la cantidad total y que a la persona que ha dedicado una mayor aportación al trabajo colectivo le corresponde la mayor parte del beneficio, como debe ser.
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - El teorema de la división entera
ENUNCIADO. Por favor, corrige la siguiente afirmación, pues en ella hay algo incorrecto: "Al realizar la división entera entre 1045 y 89, obtenemos 11 como cociente y 65 como resto"
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SOLUCIÓN. La afirmación no es correcta, pues a pesar de que el resto, $65$ es menor que el divisor ( que es $89$ ) no se el segundo requerimiento del Teorema de la División: $1045 \neq 89\cdot 11+65=1044$. La afirmación correcta ha de ser: "Al realizar la división entera entre 1045 y 89, obtenemos 11 como cociente y 66 como resto", ya que en tal caso sí se cumple: $1045 = 89\cdot 11+66$, y el resto=$66$ es menor que el divisor ( que es $89$ )
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SOLUCIÓN. La afirmación no es correcta, pues a pesar de que el resto, $65$ es menor que el divisor ( que es $89$ ) no se el segundo requerimiento del Teorema de la División: $1045 \neq 89\cdot 11+65=1044$. La afirmación correcta ha de ser: "Al realizar la división entera entre 1045 y 89, obtenemos 11 como cociente y 66 como resto", ya que en tal caso sí se cumple: $1045 = 89\cdot 11+66$, y el resto=$66$ es menor que el divisor ( que es $89$ )
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - El lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Escribe en el lenguaje algebraico: "El doble del cuadrado de la diferencia ente dos números"
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, entonces la oración del enunciado se transcribe al lenguaje del álgebra mediante la siguiente expresión: $$2\,(x-y)^2$$ o lo que es lo mismo $$2\,(y-x)^2$$
puesto que $x-y$ e $y-x$ se diferencian solamente en un signo menos, por lo que al elevar ambas diferencias al cuadrado se obtiene el mismo resultado.
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, entonces la oración del enunciado se transcribe al lenguaje del álgebra mediante la siguiente expresión: $$2\,(x-y)^2$$ o lo que es lo mismo $$2\,(y-x)^2$$
puesto que $x-y$ e $y-x$ se diferencian solamente en un signo menos, por lo que al elevar ambas diferencias al cuadrado se obtiene el mismo resultado.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Opuesto de un número. Valor absoluto de un número.
ENUNCIADO. Explica la diferencia entre el opuesto de un número y el valor absoluto del mismo. Pon algunos ejemplos
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SOLUCIÓN.
El opuesto de un número $x$, que denotamos por $\text{opuesto}(x)$, es el número que al sumarlo al número dado, $x$, se obtiene como resultado el neutro de la suma, esto es $0$: $x+\text{opuesto}(x)=0$, luego $\text{opuesto}(x)=0+(-x)=-x$; así, por ejemplo, $\text{opuesto}(2)=-2$, puesto que $2+(-2)=0$ y $\text{opuesto}(-2)=2$, por la misma razón.
El valor absoluto de un número $x$, que denotamos por $|x|$, se define de la siguiente manera: es el propio $x$ en el caso de que $x$ sea mayor o igual que $0$, y es igual a $-x$ ( esto es, el opuesto de $x$ ) si $x$ es menor que cero; así, por ejemplo $|-2|=-(-2)=2$, o lo que es lo mismo, $|-2|=\text{opuesto}(-2)=2$, y $|2|=2$, ya que $2$ es mayor que $0$; y, desde luego, $|0|=0$. El valor absoluto se utiliza para hallar la distancia entre dos números $x$ e $y$ situados en la recta numérica de la siguiente forma: $\text{distancia}(x,y)=|x-y|=|y-x|$
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SOLUCIÓN.
El opuesto de un número $x$, que denotamos por $\text{opuesto}(x)$, es el número que al sumarlo al número dado, $x$, se obtiene como resultado el neutro de la suma, esto es $0$: $x+\text{opuesto}(x)=0$, luego $\text{opuesto}(x)=0+(-x)=-x$; así, por ejemplo, $\text{opuesto}(2)=-2$, puesto que $2+(-2)=0$ y $\text{opuesto}(-2)=2$, por la misma razón.
El valor absoluto de un número $x$, que denotamos por $|x|$, se define de la siguiente manera: es el propio $x$ en el caso de que $x$ sea mayor o igual que $0$, y es igual a $-x$ ( esto es, el opuesto de $x$ ) si $x$ es menor que cero; así, por ejemplo $|-2|=-(-2)=2$, o lo que es lo mismo, $|-2|=\text{opuesto}(-2)=2$, y $|2|=2$, ya que $2$ es mayor que $0$; y, desde luego, $|0|=0$. El valor absoluto se utiliza para hallar la distancia entre dos números $x$ e $y$ situados en la recta numérica de la siguiente forma: $\text{distancia}(x,y)=|x-y|=|y-x|$
miércoles, 20 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Media aritmética ponderada
ENUNCIADO. Las notas de Elvira en tres trabajos de una determinada asignatura del segundo trimestre han sido 5, 7 y 9 ( no se tienen en cuenta otras pruebas de evaluación ). Si los pesos respectivos de dichas notas son de 7, 9 y 12, respectivamente, ¿ cuál es su nota final ?
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SOLUCIÓN. Por definición, la media aritmética ponderada se calcula sumando los términos que obtenemos al multiplicar cada nota por su peso, y dividiendo finalmente ( para promediar ) por la suma de los pesos [ Notad que la media aritmética simple es un caso particular de ésta, en el que todos los pesos son iguales ], resultando pues: $$\dfrac{5\cdot 7+7 \cdot 9+9\cdot 12}{7+9+12}=\dfrac{103}{14}\approx 7,4$$
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SOLUCIÓN. Por definición, la media aritmética ponderada se calcula sumando los términos que obtenemos al multiplicar cada nota por su peso, y dividiendo finalmente ( para promediar ) por la suma de los pesos [ Notad que la media aritmética simple es un caso particular de ésta, en el que todos los pesos son iguales ], resultando pues: $$\dfrac{5\cdot 7+7 \cdot 9+9\cdot 12}{7+9+12}=\dfrac{103}{14}\approx 7,4$$
Ejercicio 5 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Diagramas cartesianos. Principio de Laplace
ENUNCIADO. Lanzamos dos dados en forma de tetraedro, con sus caras numeradas del 2 al 5. ¿ Cuál es la probabilidad de que los resultados de ambos dados sean números primos entre sí ?
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SOLUCIÓN.
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SOLUCIÓN.
Ejercicio 4 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Sucesos condicionados. Tablas de contingencia.
Ejercicio 70 de la página 300 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia. Puedes ver un ejemplo resuelto en el recuadro amarillo de esta misma página. En la siguiente image tienes un ejemplo:
( Haz clic sobre la imagen para verla en tamaño natural )
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SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia. Puedes ver un ejemplo resuelto en el recuadro amarillo de esta misma página. En la siguiente image tienes un ejemplo:
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SOLUCIÓN.
lunes, 18 de mayo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Estadística y humor
Lee el recuadro coloreado de verde claro que verás al final de la página 280 del libro base ( 'Estrategia e ingenio' ... y humor)
ENUNCIADO. Las conclusiones de un estudio estadístico pueden llevar a conclusiones chuscas. Explica en qué radica el equívoco humorístico en cada una de las siguientes situaciones e invéntate alguna otra:
a) "Deberían cerrar todos los hospitales: son los lugares más peligrosos del mundo ... ¡Es donde muere más gente!"
b) "Todos las personas que comieron pepinillos en 1830 han fallecido. ¡No entiendo por qué no los prohiben!"
c) "En Nueva York, una persona es atropellada cada 10 minutos. Pobre ... tiene que estar hecho polvo."
d) "Si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, de media nos hemos comido medio pollo cada uno. ¿ De qué te quejas ? "
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SOLUCIÓN.
a) De un hospital no podemos tomar muestras representativas del conjunto de la población, pues todas las personas que están siendo tratadas en él están enfermas.
b) Nadie - que se sepa - llega a vivir 190 años.
c) Es obvio que la afirmación no se refiere a una determinada persona sino, abusando del lenguaje, a la media aritmética simple
d) La media aritmética - que, además, mal empleada por no tomar una muestra representativa de la población - no es suficiente para analizar la información en bruto.
ENUNCIADO. Las conclusiones de un estudio estadístico pueden llevar a conclusiones chuscas. Explica en qué radica el equívoco humorístico en cada una de las siguientes situaciones e invéntate alguna otra:
a) "Deberían cerrar todos los hospitales: son los lugares más peligrosos del mundo ... ¡Es donde muere más gente!"
b) "Todos las personas que comieron pepinillos en 1830 han fallecido. ¡No entiendo por qué no los prohiben!"
c) "En Nueva York, una persona es atropellada cada 10 minutos. Pobre ... tiene que estar hecho polvo."
d) "Si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, de media nos hemos comido medio pollo cada uno. ¿ De qué te quejas ? "
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SOLUCIÓN.
a) De un hospital no podemos tomar muestras representativas del conjunto de la población, pues todas las personas que están siendo tratadas en él están enfermas.
b) Nadie - que se sepa - llega a vivir 190 años.
c) Es obvio que la afirmación no se refiere a una determinada persona sino, abusando del lenguaje, a la media aritmética simple
d) La media aritmética - que, además, mal empleada por no tomar una muestra representativa de la población - no es suficiente para analizar la información en bruto.
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