Exercici sobre el càlcul de l'àrea d'un triangle rectangle

Enunciat:
Calculeu l'àrea del triangle rectangle de la figura

Resolució.
$A=\dfrac{6 \cdot a }{2} \quad \quad (1)$
Calcularem l'altura $a$ a partir del triangle rectangle (la meitat del t. equilater):
$10^2=a^2+6^2$ (teorema de Pitàgores)
d'on
$a^2=100-36$
és a dir
$a^2=64$
i, per tant
$a=\sqrt{64} = 8 \; \text{cm}$
i, per tant, posant això a l'expressió de l'àrea (1), trobem
$A=\dfrac{6 \cdot 8}{2} \; \text{cm}^2$
que, simplificada, queda
$A = 24 \; \text{cm}^2$
$\square$

Un altre exercici sobre els factors d'escala dels mapes

Enunciat:
Calculeu l'àrea de la peça real de forma rectangular, que apareix dibuixada a escala $1:5$ a la figura de sota

Resolució.
La raó de semblança $r$ és igual a $5$ (cada costat té una longitud cinc vegades més gran a la realitat que la que indica el croquis). Llavors, l'àrea de la peça real és $r^2$ vegades més gran que l'àrea de la peça dibuixada. Per tant, com que l'àrea del rectangle del croquis mesura $3 \cdot 2 = 6 \; \text{cm}^2$, l'àrea de la peça real serà igual a $6 \cdot 5^2 \; \text{cm}^2$, és a dir, $150\; \text{cm}^2$
$\square$

Un exercici sobre el factor d'escala dels mapes

Enunciat:
La figura representa un mapa a escala $1:25\,000$ en el qual s'hi representen dues poblacions (A i B) connectades per un camí (línia vermella), la longitud del qual (sobre el mapa) és de $3\; \text{dm}$. Calculeu la longitud del trajecte real (sobre el terreny) entre les poblacions A i B, si es vol anar pel camí resenyat al mapa.

Resolució.
La raó de semblança $r$ és igual a $25\,000$ (una determinada magnitud de longitud és vint-i-cinc mil vegades més gran a la realitat que la mesurada sobre el mapa). Llavors, la longitud sobre el terreny del tros de camí que connecta A i B, és igual a $3 \cdot 25\,000 \; \text{dm}$, és a dir, $7\,500 \; \text{m}$, que, expressat en forma complexa, és igual a $7\;\text{km}$ i $500 \; \text{m}$
$\square$

Un exercici sobre el càlcul de l'àrea i del perímetre d'una figura plana

Enunciat:
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn

Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $

Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$

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Ejercicios resueltos del examen extraordinario de Septiembre ( temas 1-14), realizado 1/09/2016

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Un ejercicio de estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. A partir de los siguientes datos ( de una cierta variable estadística ) $$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
se pide:
a) Elaborar una tabla de frecuencias
b) Dibujar el diagrama de barras
c) Calcular la moda, la media y la mediana

SOLUCIÓN.

a)

b)

c)
La moda corresponde al valor que se repite un mayor número de veces, en este caso es igual $2$ ( se repite $7$ veces )
La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número de valores ( que es $19$ ): $\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 5 +4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$
La mediana es el valor central de los datos ordenados de menor a mayor; consultando la columna de frecuencias acumuladas vemos que es igual a $x_{10}=2$

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Resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2\,(x-1)=5\,(x+1)$
b) $\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=5\,(x+1)$

  $2x-2=5x+5$

    $-2+(-5)=5x+(-2x)$

      $-2-5=5x-2x$

        $-7=3x$

          $x=\dfrac{-7}{3}$

            $x=-\dfrac{7}{3}$

b)
$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x} \Leftrightarrow 3\,(1-x)=2\,(x+1)$

  $3-3\,x=2x+2$

    $3+(-2)=2x-(-3x)$

      $3-2=2x+3x$

        $1=5x$

          $x=\dfrac{1}{5}$

$\square$

Área y perímetro de un trapecio isósceles

ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles tal que la longitud de cada uno de los lados oblicuos es igual a $5$ decímetros, siendo las longitudes de los lados paralelos $7$ y $13$ decímetros, respectivamente.

SOLUCIÓN.

El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$

Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
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Medidas en un depósito ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ En cuánto tiempo se vaciará el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $3 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b) El volumen de un ortoedro viene dado por el producto de las longitudes de las tres aristas desiguales, $$V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \,\text{m}^3 = 6000\,\text{dm}^3$$
Teniendo en cuenta la equivalencia $1\,\text{dm}^3= 1\,\text{L}$, la capacidad $C$ del depósito es igual a $$C=6000\,\text{L}$$

c) Por la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman en la figura, $$d^2=1^2+2^2+3^2$$ por tanto $$d=\sqrt{14}\,\text{dm}$$ ( Observación: $3 < \text{14} < 4 $ )

d) Planteando la proporción entre la cantidad de agua que contiene el depósito en un momento dado y el tiempo que se tarda en vaciarla, $$\dfrac{3}{1}=\dfrac{6000}{t}$$ siendo $t$ el tiempo ( en minutos ) necesario para vaciar el depósito lleno. Así, $$\dfrac{t}{6000}=\dfrac{1}{3}$$ es decir $$t=\dfrac{6000}{3}=2000\, \text{min}=1\,\text{día}\;\; 9\,\text{h}\,\,20 \,\text{min}$$

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Relación entre los volúmenes y escala lineal

ENUNCIADO. Un cierto cubo tiene un volumen de $27$ decímetros cúbicos. Considérese ahora otro cubo cuya arista tiene una longitud igual a la tercera parte de la longitud de la arista del primer cubo, ¿ cuál es el volumen del segundo cubo ? ¿ Cuál es el área del desarrollo plano de cada uno de los dos cubos ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $V$ al volumen pedido. Sabemos que $V < 27$. Sabemos también que la razón de los volúmenes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo $$\dfrac{V}{27}=r^3$$ siendo $r$ la razón de semejanza, que es igual a $\dfrac{1}{3}$. Así, $$\dfrac{V}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$ esto es $$\dfrac{V}{27}=\dfrac{1}{27}$$ y por tanto $$V=1\,\text{dm}^3$$

La longitud de la arista de dicho cubo es tal que $\ell^3=1$, luego $\ell=\sqrt[3]{1}=1\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo plano del cubo consta de $6$ cuadrados iguales, el área $A$ pedida es igual a $A=6\cdot \ell^2=6 \cdot 1^2=6\cdot 1=6 \,\text{dm}^2$

Por otra parte, el área del cubo grande $A'$ ha de cumplir que $$\dfrac{A}{A'}=r^2$$ así $$\dfrac{6}{A'}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{6}=9$$ luego $$A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$$

NOTA: Otro forma de calcular el área del cubo grande es la siguiente. Como sabemos que su volumen es de $27\,\text{dm}^3$, entonces la longitud de una de sus aristas ( todas iguales ) es $(\ell')^3=27$, por tanto $$\ell'=\sqrt[3]{27}=3\,\text{dm}$$ Por consiguiente, sus caras son cuadrados de $3\,\text{dm}$ de lado, y el área de una de sus caras es $3^2=9\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo del cubo consta de $6$ caras cuadradas iguales, el área pedida es $A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$
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Plantear y resolver mediante el álgebra

ENUNCIADO. La mitad de la cuarta parte de una cierta cantidad, sumada a la tercer parte de esa misma cantidad, es igual a $14$. ¿ De qué cantidad ( no necesariamente entera ) estamos hablando ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la cantidad pedida. Entonces, traduciendo al lenguaje del álgebra $$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\,x\right)+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ ecuación que es equivalente a la siguiente $$\dfrac{1}{8}\,x+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ Reduciendo a común denominador ( el mínimo común múltiplo de los denominadores es igual a $24$ ), $$24\cdot \dfrac{1}{8}\,x+24\cdot \dfrac{1}{3}=24\cdot 14$$ que podemos expresar de la forma $$3x+8x=336$$ $$11x=336$$ de donde $$x=\dfrac{336}{11}$$

Observación: Notemos que $30 < x < 31 $

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Aplicant el teorema de Pitàgores

Ejercicios resueltos del examen global de Junio ( temas 1-14), realizado del Martes 14/06/2016

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Estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. Calcular la moda, la media y la mediana de siguiente conjunto de datos tomados de una cierta variable estadística $X$:
$$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$

SOLUCIÓN. El número de datos es $N=19$. Como hay pocos datos, podemos prescindir de elaborar la tabla de frecuencias y ordenarlos sin más: $$\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4\}$$ con lo cual es claro que el valor central ( la mediana ) es $2$; el dato que aparece con mayor frecuencia es, también, $2$ ( la moda es $2$ ), y la media, $\bar{x}$, es igual a la razón entre la suma de todos los datos ( valores de la variable estadística ) y el número de valores, por tanto $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+ 3\cdot 5 + 4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$$

$\square$

Ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) $3\,(1-x)=4\,(x+4)$

b) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$

SOLUCIÓN.

a)
$3\,(1-x)=4\,(x+4)$

  $3\cdot 1 -3\, x=4\,x+4\cdot 4$

    $3 -3\, x=4\,x+16$

      $3 -16=4\,x+3\,x$

        $-13=7\,x$

          $x=\dfrac{-13}{7}=-\dfrac{13}{7}$

b)
$\dfrac{5}{x}=\dfrac{2}{3+x}$

  $5\cdot (3+x)=2\,x$

    $5\cdot 3+5\,x=2\,x$

      $15+5\,x=2\,x$

        $5\,x-2\,x=-15$

          $3\,x=-15$

            $x=\dfrac{-15}{3}=-\dfrac{15}{3}=-5$

$\square$

Cuerpos en el espacio

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $2$, $3$ y $4$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ Cuánto tiempo tardará en vaciarse el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $2 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b)
El volumen del depósito es igual a $V=2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \; \text{m^2} = 24\,000\; \text{dm}^3$

c)
Como $1 \; \text{dm}^3$ equivale a $1 \; \text{L}$ de capacidad, la capacidad del depósito es de $24\,000 \; \text{L}$

d)
Para calcular la diagonal del ortoedro ( dibujada en rojo ) debemos tener en cuenta los dos triángulos rectángulos que se configuran ( aparecen sombreados en la figura ), entonces llamando $d$ a la diagonal del ortoedro y $\ell$ a la diagonal de la cara de la base, podemos escribir $d^2=\ell^2+3 ^2 \quad \quad (1)$ ( por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo sombreado de marrón ); y, aplicando el mismo teorema al triángulo sombreado en azul, $\ell^2=2^2+4^2 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (2) en (1) resulta $d^2=2^2+3^2+4^2$, y por tanto $d=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}\; \text{m}$

e)
Denotando por $t$ al tiempo pedido y planteando la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{t}{24\,000}$, de donde despejando $t$, obtenemos $$t=12\,000\; \text{min}=200\;\text{h}=8\;\text{días}\;8\;\text{h}$$
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Área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado

ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia de $5$ centímetros de radio. ¿ Cuál es el área de uno de los cuatro segmentos circulares delimitados por la circunferencia y los lados del cuadrado ?

SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en ocho triángulos rectángulos isósceles. La hipotenusa de cada uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual al radio de la circunferencia y por tanto mide $5$ centímetros. Llamemos $\ell$ a la longitud de sus catetos ( que son iguales ). El área de uno de dichos triángulos rectángulos isósceles ( de color marrón en la figura ) es igual a $\dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell$, por lo tanto, el área del cuadrado es $\mathcal{A}=8\cdot ( \dfrac{1}{2}\,\ell\cdot \ell )= 4\,\ell^2 \quad \quad (1)$.

Es necesario, pues, calcular el valor de $\ell$; por el teorema de Pitágoras, $5^2=\ell^2+\ell^2$, esto es, $2\,\ell^2 \cdot 5^2$, luego $\ell^2=\dfrac{5^2}{2}$. Y sustituyendo este resultado en (1) resulta $\mathcal{A}= 4\cdot \dfrac{5^2}{2}=2\cdot 25 = 50\; \text{cm}^2$

Procedimiento II:
Otra manera de resolverlo, más sencilla, consiste en fijarnos en el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son igual al radio ( $5\,\text{cm}$ ) y que en la figura está sombreado en azul. El área de uno de esos triángulos rectángulos isósceles es igual a $\dfrac{1}{2}\,5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}\; \text{cm}^2$; y, como el cuadrado se divide en cuatro de esos triángulos rectángulos isósceles, el área del mismo es $\mathcal{A}= 4 \cdot \dfrac{25}{2} = 2 \cdot 25 = 50 \; \text{cm}^2$



$\square$

Área y perímetro de un sector circular

ENUNCIADO. Calcular el perímetro y el área de un sector circular de $150^{\circ}$ de amplitud angular, y de radio igual a $10$ centímetros.

SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es igual a $\pi\cdot 10^2 = 100\,\pi\; \text{cm}^2$ y el perímetro es igual a $2\cdot\pi\cdot 10=20\,\pi\;\text{cm}$. Como, en un sector circular, ambas magnitudes son proporcionales al ángulo central de dicho sector, $$\dfrac{ \mathcal{A}_\text{sector}}{150^{\circ}}=\dfrac{100\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \mathcal{A}_\text{sector}=\dfrac{150}{360}\cdot 100\,\pi=\dfrac{5}{12}\cdot 100\,\pi=\dfrac{125}{3}\,\pi\; \text{cm}^2 \approx 131\;\text{cm}^2$$

La longitud del arco del sector circular se calcula también mediante una proporción similar:$$\dfrac{ \ell_\text{arco}}{150^{\circ}}=\dfrac{20\,\pi}{360^{\circ}}\Rightarrow \ell_{\text{arco}}=\dfrac{150}{360}\cdot 20\,\pi=\dfrac{25}{3}\,\pi\; \text{cm} \approx 26\;\text{cm}$$ por lo tanto, y añadiendo la longitud de los dos radios, resulta que el perímetro del sector es igual a $$\mathcal{P}_{\text{sector}}=\ell+2\,r=\dfrac{25}{3}\,\pi+2\cdot 10=\dfrac{25}{3}\,\pi+20\; \text{cm} \approx 46\;\text{cm}$$

$\square$

Figuras semejantes

ENUNCIADO. Las medidas de un sobre son $10 \times 6$ centímetros. ¿ Cuáles son las medidas de otro sobre semejante al anterior, pero cuya área sea el doble de la de aquel ?.

SOLUCIÓN.

El área del primer sobre vale $10\cdot 6=60\; \text{cm}^2$, luego el área del segundo sobre es de $2 \cdot 60 = 120 \; \text{cm}^2$. La razón de semejanza es igual a la raíz cuadrada de la razón aritmética de las áreas de los dos sobres $r=\sqrt{\dfrac{120}{60}}=\sqrt{2}$.

Por tanto, el lado del segundo sobre que corresponde al de $10$ centímetros de longitud del primero es igual a $10 \cdot \sqrt{2} \approx 14,1 \; \text{cm}$; y la longitud del otro lado es igual a $6 \cdot \sqrt{2} \approx 8,5 \; \text{cm}$.

Las medidas del segundo sobre son, por tanto, $14,1 \times 8,5$ centímetros. $\square$

Ejercicios resueltos del examen final del tercer trimestre ( temas 11,12, 13 y 14 ), realizado del Viernes 9/06/2016

Primera parte ( recuperación de los temas 11 y 12 ): [ 1 | 2 ]
Segunda parte ( temas 13 y 14 ): [ 3 | 4 ]