¿ Es posible construir un marco en forma de triángulo rectángulo isósceles de forma que ... ?

ENUNCIADO. Un carpintero quiere construir un marco que tenga forma de triángulo rectángulo isósceles ( una escuadra ), de forma que, tomando como base la hipotenusa del mismo, la altura de dicho triángulo mida $3$ decímetros. Dispone para ello de un listón de madera de $15$ decímetros. ¿ Es suficiente la longitud del listón para poder construir la escuadra ?.

SOLUCIÓN. La altura del triángulo referida en el enunciado divide a al triángulos en dos triángulos rectángulos isósceles iguales, y a la base correspondiente ( la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ), en dos segmentos iguales cuya longitud debe ser, por tanto, igual a la de la altura, esto es, de $3\;\text{dm}$.

Así, el perímetro del triángulo es igual a $2(3+x)$, donde $x$ representa la longitud de cada uno de los dos catetos; ahora bien, por el teorema de Pitágoras aplicado a cualquiera de los dos triángulos rectángulos isósceles en que queda dividido el triángulo rectángulo isósceles que queremos construir, podemos escribir que $x^2=3^2+3^2$ y, por tanto, $x=3\,\sqrt{2}\,\text{dm}$. Esto nos permite calcular ya el valor del perímetro del triángulo rectángulo isósceles que queremos construir: $P=2(3+x)=2(3+3\,\sqrt{2})=6\,(\sqrt{2}+1) \approx 14,49 \; \text{dm}$, que es menor que la longitud del listón disponible.

Por consiguiente podemos afirmar que sí es suficiente dicho listón para poder cortar los tres trozos necesarios para la construcción del triángulo rectángulo isósceles pedido. Y sus medidas son las siguientes: hipotenusa, $2\cdot 3=6\; \text{dm}$; y, cada uno de los dos catetos, $x=3\,\sqrt{2} \approx 4,24 \; \text{dm}$
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Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación del segundo trimestre ( temas: 6-10 ), realizado el Viernes 1/04/2016

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Representar la gráfica de la función cuadrática ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=(x-1)^2$. Encontrar las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente, $x$: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Confeccionar una tabla numérica y, finalmente, dibujar la gráfica de la función, representando los puntos así obtenidos y perfilando el trazo que pasa por ellos. ¿ Hay proporcionalidad entre la variable $x$ y la variable $y$ ?.

SOLUCIÓN.

La función $f(x)$ que se propone es cuadrática ( por la potencia al cuadrado del binomio $x-1$ ), luego no es de proporcionalidad ( ni directa ni inversa ), por consiguiente podemos afirmar que no hay proporcionalidad entre las variables $x$ e $y$. Otra forma de llegar a la misma conclusión consiste en comprobar que la gráfica de la función no es ni una recta ( en cuyo caso sería de proporcionalidad directa ) ni una hipérbola ( lo que daría lugar a una proporción inversa ). $\square$

Encontrar la función

ENUNCIADO. Un cierto servicio telefónico cobra a sus clientes $20$ céntimos de euro por el establecimiento de llamada y $50$ céntimos de euro por cada minuto de duración de la llamada. Se pide:
a) Escribir la expresión de la función que da el coste de la llamada en función del tiempo de la misma
b) Representar la gráfica de dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?
c) ¿ Cuánto cuesta hacer una llamada de $6$ minutos de duración ?

SOLUCIÓN.
a) Llamemos $x$ a la duración de la llamada, entonces el coste de la misma viene dada por la función $f(x)=0,50\,x+0,20$ ( en euros )

b) Como la función $f$ es de proporcionalidad directa, su gráfica es una semirrecta; basta calcular dos puntos de la misma para determinarla; por ejemplo, $A(0\,,\,0'20)$ y $B(-0'4\,,\,0)$

La parte punteada del gráfico sólo nos ha servido para representar la semirrecta ( en trazo continuo ) que describe la relación entre la duración de la llamada $x \ge 0$ y el coste del servicio.

c) Así, hacer una llamada de $6$ minutos cuesta $f(6)=0,50 \cdot 5 + 0,20 = 3,20$ euros.

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¿ Cuánto nos costará un libro que ... ?

ENUNCIADO. Queremos comprar un libro valorado en $20,00$ euros. El libro está en oferta y por ese motivo está rebajado en un $6\,\%$ con respecto al valor del mismo. Sin embargo, debemos abonar al librero un $12\,\%$ con respecto a valor del libro, en concepto de impuestos. ¿ Cuánto nos costará ?.

SOLUCIÓN.
Podemos hacer el cálculo ( que otras veces hemos expuesto paso a paso ) con una sóla operación ( combinada ) multiplicando el valor nominal y cada una de las dos índices de variación ( de descuento y de impuesto, respectivamente, y que se obtienen de las tasas respectivas ), la cantidad a pagar será: $$20,00 \cdot \dfrac{100-6}{100}\cdot \dfrac{100+12}{100} \approx 21,06 \; \text{euros}$$
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Repartir de forma directamente proporcional

ENUNCIADO. Una abuela quiere repartir $120$ galletas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. ¿ Cuántas galletas le corresponde a cada uno de ellos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$ y $z$ a las cantidades de galletas que corresponden a los nietos de $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. Entonces, planteando las igualdades entre las razones aritméticas ( proporcionalidad ) podemos escribir: $$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9}$$ que, a su vez, han de ser iguales a $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}$, y como $x+y+z=120$, se tiene que $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}=\dfrac{120}{25}=5$, que es la constante de proporcionalidad directa. Así,
$$\dfrac{x}{7}=5 \Rightarrow x=7 \cdot 5 = 35 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{y}{8}=5 \Rightarrow y=8 \cdot 5 = 40 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{z}{9}=5 \Rightarrow z=9 \cdot 5 = 45 \; \text{galletas}$$

Comprobación: Como cabía esperar, comprobamos que, cuánto más años tenga cada nieto más galletas le corresponde; y, se cumple que la suma de las tres cantidades obtenidas es igual al número total de galletas a repartir: $35+40+45=120$

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Hallar el perímetro de un cuadrado tal que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto cuadrado mide $121\;\text{cm}^2$. ¿ Cuánto mide el perímetro de dicho cuadrado ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ al lado del cuadrado, entonces $x^2=121$, luego $x=\sqrt{121}=11\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro es igual a $4\cdot 11 = 44 \; \text{cm}$
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Hacer un estudio estadístico

ENUNCIADO. En un examen se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala del $1$ a $5$ ) $$\{3,2,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3,5,5\}$$ Se pide:
a) Elaborar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintos valores de la variable estadística $X$, que es la nota obtenida; la segunda, para las frecuencias del recuento
( $f$ ) de las distintos valores enteros de la variable nota; la tercera, para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias.
c) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
d) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
g) ¿ Qué conclusiones se desprenden ( sobre el rendimiento global en dicha prueba ) ahora que ya has elaborado la tabla, has realizado el gráfico y has calculado el valor de los parámetros estadísticos ?


SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a [ este otro ]. Dejo al lector/a el trabajo ( rutinario ) de seguir los mismos pasos. $\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 6,7,8,9 y 10 ( 11/03/2016 )

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Un ejercicio de estadística descriptiva

ENUNCIADO. En el examen de una clase se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala de $1$ a $4$ ) $$\{3,4,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3\}$$ Se pide:
a) Confeccionar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintas notas ( valores de la variable estadística $X$ ); la segunda, para las frecuencias del recuento $f$ de las distintas notas; la tercera, para las frecuencias acumuladas, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias $f$
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas $F$
d) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
g) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
h) Extraer conclusiones acerca del rendimiento global del grupo de alumnos

SOLUCIÓN.

La moda se define como el valor de $X$ con la máxima frecuencia de recuento ( $f$ ); como $f_{\text{máx}}=10$ y ese valor corresponde al valor de $X$ igual a $3$, $\text{Moda}=3$

La mediana se define como el valor central del conjunto de datos ordenados de menor a mayor; como hay $25$ datos, el valor central corresponde a $X_{13} \overset{\text{columna $F$}}{=} 3$, luego $$\text{Mediana}=X_{13}=3$$

Arriba ( en las dos últimas filas de la tabla ), ya hemos apuntado que la media ( parámetro de posición ) resulta ser $\bar{x}=2,56$ y que la desviación media ( parámetro de dispersión ) toma el valor $\text{DM} \approx 0,81$; en cuanto al rango ( otro parámetro de dispersión ), recordemos que se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo ( que es $4$ ) y el valor mínimo ( que es $1$ ), luego $\text{rango}=\left|4-1\right|=3$

Diagrama de puntos y línea poligonal de frecuencias del recuento:

Diagrama de frecuencias acumuladas del recuento:

h) El valor de los parámetros de posición ( centralización ) -- moda, mediana y media -- son superiores a $\text{rango}/2=1,5$, por lo que podríamos decir que, globalmente, el examen no ha salido mal. Caben, sin embargo, algunos matices: el conjunto de valores presenta una leve asimetría negativa, pues el valor de la media está a la izquierda de la moda; y hay más 4s que 1s, luego el rendimiento del grupo es bastante bueno. En cuanto a la desviación media, que es igual a $0,81$, da un coeficiente de variación ( desviación media con respecto a la media, de $2,56$, igual a $\dfrac{0,81}{2,56} \cdot 100 \approx 32\,\%$, que consideramos "aceptable".
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Sea la función cuadrática ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^2-4x+3$. Encontrar las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente, $x$: $\{-1,0,1,2,3,4\}$. Confeccionar una tabla numérica y, finalmente, dibujar la gráfica de la función, representando los puntos así obtenidos y perfilando el trazo que pasa por ellos. ¿ Qué tipo de función es ?.

SOLUCIÓN.
La función propuesta es una función cuadrática ( polinómica de grado $2$ ) y su gráfica es una parábola.

Calculando las imágenes pedidas:
$f(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)+3=1+4+3=8$
$f(0)=0^2-4\cdot 0+3=0+0+3=3$
$f(1)=1^2-4\cdot 1+3=1-4+3=0$
$f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$
$f(3)=3^2-4\cdot 3+3=9-12+3=0$
$f(4)=4^2-4\cdot 4+3=16-16+3=3$

Veamos la gráfica:

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Decir el tipo de función

ENUNCIADO. Decir el tipo de función y describir la forma del trazo que aparece al representarlas gráficamente:
a) $f(x)=x+1$
b) $f(x)=x^2$
c) $f(x)=\dfrac{1}{x}$
d) $f(x)=2^x$

SOLUCIÓN.
a) función lineal afín ( o función de proporcionalidad directa ); la gráfica de dicha función es una recta que no pasa por el origen de coordenadas
b) función cuadrática; la gráfica de dicha función es una parábola, con vértice en el origen de coordenadas
c) función de proporcionalidad inversa; la gráfica de dicha función es una hipérbola equilátera
d) función exponencial (creciente); todos los valores de función son positivos y la gráfica de dicha función es creciente en todos ( monónota ) sus puntos
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Un excursionista recorre el trayecto entre ...

ENUNCIADO. Un excursionista recorre el trayecto entre dos refugios en $2$ horas, andando a una velocidad de $4$ kilómetros por hora. ¿ Si llevase una velocidad de $5$ kilómetros por hora y comenzara la caminata a las 08:00 horas, ¿ a qué hora llegaría al final del trayecto ?.

SOLUCIÓN.

Paso 1. Debemos calcular el tiempo que se necesita para hacer el recorrido entre los dos refugios, a la velocidad de $5$ kilómetros por hora.

Damos dos formas de calcularlo:
I)
Una manera muy sencilla de resolverlo es la siguiente. Andando a una velocidad de $4$ kilómetros por hora, en $1$ hora recorre $4$ kilómetros, luego en $2$ horas recorre $8$ kilómetros, que es la longitud del trayecto ( puesto que $2$ horas es el tiempo que tarda en recorrerlo ). Si, ahora, tenemos en cuenta el supuesto de que lo haga a una velocidad de $5$ kilómetros por hora, planteamos la siguiente proporción directa entre el tiempo, $t$, y la longitud recorrida; así, $$\dfrac{1}{5}=\dfrac{t}{8}$$ con lo cual $$t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}=1\; \text{h}\quad \text{y} \quad 36\; \text{min}$$

II)
Otra manera, más directa, es la siguiente. Considerando que las magnitudes velocidad (a la que se anda) y el tiempo necesario en recorrer el trayecto ( son inversamente proporcionales ), podemos plantear la siguiente proporción inversa: $$\dfrac{t}{1/5}=\dfrac{2}{1/4}$$ esto es $$5\,t=4\cdot 2$$ con lo cual $$t=\dfrac{8}{5}=1+\dfrac{3}{5}=1\; \text{h}\quad \text{y} \quad 36\; \text{min}$$

Paso 2. Calculamos la hora de llegada sumando el tiempo empleado a la hora de salida, y obtenemos $$08:00+01:36=09:36\; \text{horas}$$

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Repartir de forma directamente proporcional ...

ENUNCIADO. Un abuelo quiere repartir $180$ golosinas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $5$, $6$ y $7$ años, respectivamente. ¿ Cuántas golosinas le corresponde a cada uno de ellos ?

ENUNCIADO. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a las cantidades que les corresponde a los nietos de $5$, $6$ y $7$ años, respectivamente. Entonces,
$$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{7}$$ y estas tres razones han de ser igual a $\dfrac{x+y+z}{5+6+7}$, que es la constante de proporcionalidad, $k$, siendo $x+y+z=180$; por tanto, $k=\dfrac{180}{18}=10$. Así,
$\dfrac{x}{5}=10$, luego $x=5\cdot 10=50$ euros; $\dfrac{y}{6}=10$, luego $y=6\cdot 10=60$ euros; y $\dfrac{z}{7}=10$, con lo cual $z=7\cdot 10=70$ euros. $\square$

Calcular el área de un rectángulo tal que ...

ENUNCIADO. El perímetro de un rectángulo mide $12$ centímetros, y el largo es el triple del ancho. Calcular el área del rectángulo.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ancho, entonces podemos expresar el perímetro mediante la expresión $2\,(x+3\,x)$; así, $2\,(x+3\,x)=12$. Resolviendo la ecuación, obtenemos la longitud del ancho $x=\dfrac{3}{2}\,\text{cm}$, luego la longitud del otro lado ( largo del rectángulo ) es igual a $3\cdot \dfrac{3}{2}$, esto es, $\dfrac{9}{2}$. Por consiguiente, el área del rectángulo ( largo $\times$ ancho ) pedida es igual a $\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{9}{2}=\dfrac{27}{4}\;\text{cm}^2$, es decir, $6\;\text{cm}^2$ y $75\;\text{mm}^2$
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Un problema de "depósitos, grifos y desagües"

ENUNCIADO. Un depósito puede llenarse mediante dos conducciones. Abriendo sólo la primera conducción, se tarda 4 horas en llenarlo; y, abriendo sólo la segunda, se tarda 5 horas. Cuando el depósito está lleno, cerrando las conducciones y abriendo un desagüe, se vacía en 6 horas.

a) Estando cerrado el desagüe y el depósito vacío, se abren las dos conducciones a la vez. ¿ En cuánto tiempo se llena el depósito ?

b) Estando vacío el depósito, y queriéndolo llenar con las dos conducciones abiertas, se ha dejado abierto ( por error ) el desagüe. ¿ Es posible que se llene el depósito en estas condiciones ? En caso afirmativo, ¿ cuánto tiempo se necesita para llenarlo ?

SOLUCIÓN.
a) Solamente con la primera conducción abierta, se llena $\dfrac{1}{4}$ de depósito en $1$ hora. Por otra parte, llenando el depósito solamente con la segunda conducción, en $1$ hora se llena $\dfrac{1}{5}$ parte del mismo. Así pues, llenando el depósito con las dos conducciones abiertas, en $1$ hora se llena $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}$ parte del depósito, esto es, la siguiente fracción del mismo, $\dfrac{9}{20}$. Finalmente, determinaremos el tiempo necesario, $t$, para llenarlo completamente planteando la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( suponiendo el depósito dividido en $20$ partes iguales ), $$\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{t}{\frac{20}{20}}$$ y por tanto $$t=\dfrac{1}{\frac{9}{20}}=\dfrac{20}{9}\;\text{h} \approx 2\,\text{h}\quad 13\,\text{min}\quad 20\,\text{s}\quad$$

b) Ahora, debemos tener en cuenta la fracción de depósito que se vacía ( debido al desagüe abierto ) al tiempo que se llena por el aporte de las dos conducciones. Como -- suponiendo el depósito lleno, las dos conducciones de aporte cerradas, y el desagüe abierto -- en $1$ hora, se vacía $\dfrac{1}{6}$ de depósito, al llenarlo con las dos conducciones de aporte abiertas y el desagüe abierto, en $1$ hora la fracción del depósito que se llena/vacía es igual a $$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\frac{1}{6}$$ esto es $$\frac{17}{60}\,\text{partes del depósito}$$ Teniendo en cuenta que esta fracción es positiva, podemos afirmar que sí se va a llenar el depósito. Veamos, ahora, en cuánto tiempo; para ello, plantearemos la proporción directa entre las magnitudes tiempo de llenado y fracción del depósito que se llena ( igual que hemos hecho en el primer apartado, pero suponiendo ahora que el depósito está dividido en $60$ partes iguales ): $$\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{t}{\frac{60}{60}}$$ con lo cual $$t=\dfrac{1}{\frac{17}{60}}=\dfrac{60}{17}=3\;\text{h} + \dfrac{17}{19}\;\text{h} \approx 3\,\text{h}\quad 31\,\text{min}\quad 46\,\text{s}\quad$$
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Un problema de grifos y depósitos con funciones

Ejercicios resueltos del examen de los temas 6 y 7 realizado el 9/02/2016

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Descuentos

ENUNCIADO. En época de rebajas, con una tasa de descuento del $5\,\%$, hemos adquirido unos pantalones por los que hemos pagado $20$ euros. ¿ Cuánto hubiésemos tenido que pagar si los hubiésemos comprado antes de las rebajas ?.

SOLUCIÓN. Podemos contemplar este tipo de problemas en clave de tasas de variación e índices de variación de una cierta magnitud. La tasa de variación de la cantidad a desenmbolsar al comprar un artículo ( en este caso, la variación se debe a la aplicación de una rebaja en el precio ) es $-0,05$ ( expresado en tanto por unidad ), luego el índice de variación es $1+(-0,05)=0,95$ ( expresado en tanto por unidad ); y, como el índice de variación es igual a la razón entre la cantidad final ( que corresponde a los $20$ euros que debemos pagar ) y la cantidad inicial ( vamos a denotarla por $x$ ) [ deberá ser, lógicamente, mayor que $20$ euros ] cumple que $$\dfrac{20}{x}=0,95$$ luego $x=\dfrac{20}{0,95}\approx 21,05 \; \text{euros}$ ( redondeando al céntimo ).

Una forma más práctica de emplear las mismas ideas consiste en plantear, directamente, una sencilla proporción empleando tantos por cientos, que corresponde a la igualdad entre dos razones ( entre lo que pagamos y lo que pagaríamos sin el descuento -- recordemos que denotamos ésto último por $x$ --) , y que es la siguiente $$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$ [ Observemos que el miembro de la izquierda es, precisamente, el índice de variación, en base $100$ ]
Por tanto $$\dfrac{x}{20}=\dfrac{100}{95}$$ y despejando $x$ $$x=\dfrac{20 \cdot 100}{95} \approx 21,05\; \text{euros}$$
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Tasa e índice de variación

ENUNCIADO. El censo de una población ha pasado de tener un valor de $450$ a $440$ personas. Se pide:
a) ¿ Cuál es la tasa de variación ? ( expresarla en tanto por ciento )
b) ¿ Cuál es el índice de variación ? ( expresarlo en tanto por unidad )

SOLUCIÓN.
a) La tasa de variación es la diferencia entre el valor final y el valor inicial relativa a éste último; por tanto, es igual a $\dfrac{440-450}{450}=\dfrac{-10}{450}=-\dfrac{1}{45}=-0,0\bar{2}$ ( expresado en tanto por unidad ), por lo que expresado en tanto por ciento es $-2,\bar{2}\,\% \approx -2,22\,\%$. Nota: el que la tasa de variación sea negativa indica que la variación ha representado una disminución.

b) El índice de variación se define como la razón entre el valor final y el valor inicial, y, por tanto, en este caso es igual a $\dfrac{440}{450}=0,9\bar{8} \approx 0,9889$. Nota: el que sea menor que $1$ indica que la variación ha representado una disminución.

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