lunes, 27 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Elaboración de un diagram de sectores
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.
INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de sectores ( con regla, compás y transportador de ángulos ) a partir de los datos de la tabla.
INDICACIÓN. Amplía la tabla del ejercicio 1 de esta semana con una columna más, para anotar en ella el valor del ángulo de los sectores, que deberás calcular resolviendo la proporción directa simple necesaria entre la magnitud amplitud angular ( del sector ) y la frecuencia absoluta.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Media aritmética simple. Parámetros de centralización ( posición )
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Media Aritmética Simple.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La media aritmética simple se define como el cociente entre la suma de todos los valores recogidos y el número total de valores; es lo que se denomina vulgarmente un 'promedio', y es una medida o parámetro de centralización ( como lo son también la moda y la mediana ). Se utilizan los tres, porque en los casos en los que hay muchos valores extremos, es especial ceros, la información que aporta la media no nos dice gran cosa. En nuestro caso, sí, puesto que no ocurre tal cosa, y, según el recuento efectuado en los ejercicios anteriores [aquí tienes la tabla de frecuencias], tenemos que $$\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 15+3\cdot 20 + 5 \cdot 3}{43}=\dfrac{110}{43}\approx 2,6$$
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros ( o medidas ) de posición /siguación. Moda.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. A partir de dicha tabla, calcula el parámetro de posición Mediana.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en este otro ejercicio ( que ya habrás hecho y del que también te he comentado ya la solución ), el valor central que encuentras al ordenar los valores de menor a mayor ( con ayuda de la tabla de frecuencias ) es $3$, ese es el valor del parámetro llamado Mediana (de la distribución de valores recogidos de la variable estadística). Te lo muestro en el siguiente videotutorial:
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Obtención de la moda ( parámetro de posición/situación )
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio anterior has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Fíjate bien en la columna de frecuencias absolutas. ¿ Cuál es el valor del parámetro/medida de posición Moda ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Si te fijas bien en lo que has hecho en el ejercicio anterior, el valor que se repite más veces ( la situación del pico que aparece en la línea poligona de frecuencias ) es $2$, esa es la Moda de la distribución de valores recogidos de la variable estadística.
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística de una variable. Diagramas de puntos, de barras, y línea poligonal de frecuencias
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
En el ejercicio 1 de esta semana has elaborado una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta. Te pido ahora que elabores un diagrama de barras, partir de los datos de la tabla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Recuento de los valores de una variable estadística. Tabla de frecuencias.
ENUNCIADO. Se ha realizado una recogida de datos sobre una determinada característica/variable estadística, obteniendo el siguiente conjunto de valores:
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
{ 1, 5, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 5, 2, 1}
Elabora una tabla con dos columnas, la primera para registrar los distintos valores de la variable estadística; y, la segunda para registrar el número de veces que aparece cada uno de los valores ( de la variable estadística ), cantidad a la que llamamos frecuencia absoluta
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 6 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. ¿ Qué ocurre con los parámetros media, moda, mediana y rango cuando multiplicamos cada dato por una costante ?
ENUNCIADO. El del ejercicio 66 de la página 277 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 5 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020. Estadística de 1 variable. Comparación de la centralización y de la dispersión de dos grupos
ENUNCIADO. El del ejercicio 67 de la página 277 del libro base ( ligeramente modificado )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 4 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de dispersión. Varianza. Desviación estándar. Rango
ENUNCIADO. El del ejercicio 23 de la página 272 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 3 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Parámetros de centralización. Moda, mediana y media
ENUNCIADO. El del ejercicio 19, apartado (a), de la página 270 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
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Ejercicio 2 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Climogramas.
ENUNCIADO. El del ejercicio 16 de la página 267 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )
( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.
Fuente: https://es.climate-data.org/
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base
SOLUCIÓN.
NOTA: Ojo a las escalas numéricas de sendos climogramas ( si no estamos atentos podemos llevarnos falsas impresiones al comparar un climograma con otro )
( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
En un climograma se representa en un mismo diagrama la evolución de la temperatura media a lo largo del año ( la línea polingonal de color rojo ) con el diagrama de barras que representa la evolución de los valores medios de las precipitaciones mensuales ( en litros por metro cuadrado ). Al analizar estos dos climogramas ( uno corresponde a una zona de clima mediterráneo cálido y el otro a una zona de clima atlántico ) vemos que en el climagrama de Bilbao ( clima atlántico ) abundan las precipitaciones durante todo el año - aunque en verano disminuyan, no lo hacen tanto en las zonas mediterráneas -. En Barcelona ( de clima mediterráneo cálido ) en cambio, vemos en su climagrama que las precipitaciones son escasas en verano, y por tanto los días soleados son mucho más habituales que en las zonas de clima atlántico como Bilbao.
Fuente: https://es.climate-data.org/
Ejercicio 1 de la semana del 27 de abril al 3 de mayo de 2020 - Estadística. Diagramas de sectores
ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 265 del libro base
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265
SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$
En un diagrama de sectores, ¿ cuál es el valor del ángulo de un sector asociado a una frecuencia relativa igual a $0,2$ ? ¿ A qué frecuencia relativa le corresponde un ángulo de $120^{\circ}$ ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee la Unidad Didáctica 12 del libro base; en especial, la página 265
SOLUCIÓN.
Si la frecuecia relativa es $0,2$ ( esto es, de un $20\,\%$ ) entonces el valor del ángulo de un tal sector es de $0,2 \cdot 360^{\circ} = 72^{\circ}$. Por otra parte, para otro sector cuyo ángulo es igual a $120^{\circ}$ podemos escribir que $120^{\circ}=f \cdot 360^{\circ}$, así que despejando, obtenemos $f=\dfrac{120}{360}=\dfrac{1}{3}\approx 0,33 = 33\,\%$
viernes, 24 de abril de 2020
Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de agosto de 2020 - Proporcionalidad. Un poco de álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 98 de la página 162 del libro base ( Unidad Didáctica 7 ) - ligeramente modificado -
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
$bc=ad$
$\Rightarrow bc-ad=0$
$\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
$\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
$\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
$\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
$\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$
Demuestra que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, donde $a\neq b$ y $c \neq d$, entonces se cumple que $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow$
$bc=ad$
$\Rightarrow bc-ad=0$
$\Rightarrow 2\,(bc-ad)=2\cdot 0=0$
$\Rightarrow bc-ad=ad-bc$
$\Rightarrow bc-ad+(ac-bd)=ad-bc+(ac-bd)$
$\Rightarrow bc-ad+ac-bd=ad-bc+ac-bd$
$\Rightarrow (a+b)(c-d)=(a-b)(c+d)$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$
$\square$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados y los números triangulares. Busca en la Wikipedia la entrada "números pentagonales" para ver cuál es la expresión algebraica que (depende de $n$, para $n\ge 1$ ). Dando a $n$ los diez primeros valores consecutivos $1,2,3,\ldots,10$, utiliza dicha expresión para calcular el valor de los números pentagonales consecutivos.
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números pentagonales
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. La expresión algebraica que te sugería que consultaras es la siguiente $\dfrac{n(3n-1)}{2}$; así que, sustituyendo $n$ por los valores consecutivos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, encontramosllos diez primeros números pentagonales pedidos: $1\,,\, 5\,,\, 12\,,\, 22\,,\, 35\,,\, 51\,,\, 70\,,\, 92\,,\, 117\,,\, 145$
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Números triangulares
INDICACIÓN. Acuérdate de cómo hemos interpretado los números cuadrados
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.
El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..
El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...
El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....
El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....
y así sucesivamente.
Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):
$1\cdot 2)/2=1$
$2\cdot 3/2=3$
$3\cdot 4/2=6$
$4\cdot 5/2=10$
$5\cdot 6/2=15$
$6\cdot 7/2=21$
$7\cdot 8/2=28$
$8\cdot 9/2=36$
$9\cdot 10/2=45$
$10\cdot 11/2=55$
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números triangulares
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. Si los números cuadrados se escriben calculando el valor numérico de la expresión $n^2$ para valores consecutivos $n=1,2,3,\ldots$, los números triangulares también pueden ir escribiéndose de una forma similar. Vamosa encontrar esa expresión algebraica.
El primer número triangular es 1
.
y es la mitad de
..
El segundo número triangular es 3, en efecto:
.
..
y es la mitad de
...
...
El tercer número triangular es 6, pues podemos configurarlo geometricamente así:
.
..
...
y es la mitad del rectángulo
....
....
....
El cuarto,
.
..
...
....
y es la mitad de
.....
.....
.....
.....
y así sucesivamente.
Vemos pues que una expresión que reproduce estos números es $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Por consiguiente, dando los diez primeros a $n$, $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$, podremos ir escribiendo los primeros diez números triangulares ( sustituyendo en la expresión que hemos deducido ):
$1\cdot 2)/2=1$
$2\cdot 3/2=3$
$3\cdot 4/2=6$
$4\cdot 5/2=10$
$5\cdot 6/2=15$
$6\cdot 7/2=21$
$7\cdot 8/2=28$
$8\cdot 9/2=36$
$9\cdot 10/2=45$
$10\cdot 11/2=55$
jueves, 23 de abril de 2020
miércoles, 22 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
ENUNCIADO. Escribe los diez primeros números cuadrados consecutivos
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Los números cuadrados son números enteros positivos. Aclarado ésto, cabe decir que el primer número cuadrado que se nos viene a la cabeza es 4, y ésto es así, porqué podemos disponer cuatro unidades en configuración de cuadrado ( visión geométrica ), es decir, de la forma:
. . . .Si lo pensamos desde el punto de vista aritmético, vemos que $4$ es un número cuadrado porqué puede escribirse como el producto de dos números enteros positivos más pequeños, $4=2 \cdot 2$, lo cual se puede escribir también, como $4=2^2$; así que, desde este enfoque, $4$ no es el número cuadrado más pequeño, $1$ también es un número cuadrado, ya que $1=1\cdot 1=1^2$, y por tanto es el número (entero positivo) cuadrado más pequeño. De esta reflexión podemos entresacar que, si nos fijáis bien, podemos escribir cualquier número cuadrado de la forma $n^2$, donde $n$ es un entero positivo. En consecuencia, los diez primero números cuadrados son:
$1^2=1$
$2^2=4$
$3^2=9$
$4^2=16$
$5^2=25$
$6^2=36$
$7^2=49$
$8^2=64$
$9^2=91$
$10^2=100$
...
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020
ENUNCIADO. Una plantación de árboles tienes forma cuadrada. El área de la plantación es de 1 hectárea y tiene forma rectangular. Se divide dicho rectángulo en cuadrados de 4 metros de lado y en el centro de cada uno de dichos cuadrados se planta un árbol. ¿ Cuántos árboles habrá que plantar ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Sabemos que $1$ hectárea equivale a $10\,000$ metros cuadrados, y, teniendo en cuenta que la forma de la parcela es cuadrada, cada lado de la misma mide $100$ metros, ya que $100^2=10\,000$. Al dividir cada lado en segmentos de $4$ metros, vemos que habrá $100 \div 4 = 50$ segmentos por lado, luego la parcela cuadrada queda reticulada en $50 \cdot 50 =2\,500$ cuadrados que la recubren, de modo que si en el centro de cada uno plantamos un árbol, habrá un total de $2\,500$ árboles.
Ejercicio 4 de la semana del 20 al 26 de 2020 - Estadística descriptiva de una variable. Frecuencias acumaladas ( absolutas y relativas )
INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base
ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. El del ejercicio 12 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
INDICACIÓN. Lee las páginas 264 y 265 del libro base
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 264
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
En este segundo vídeo aclaro un problemilla técnico ( sumado a un despiste mío ) que ha aparecido en el primer al utilizar la hoja de cálculo de GeoGebra
lunes, 20 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Número de ordenaciones. Principios del recuento
INDICACIÓN. En un estante tenemos cinco libros: El Quijote de la Mancha, Moby Dick, Las aventuras de Huckelberry Finn, y un diccionario de inglés, ¿ de cuántas maneras podemos colocarlos ?
ENUNCIADO.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
ENUNCIADO.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se da por supuesto que se trata de colocarlo en fila. También entedemos que no hay que establecer ningún criterio de preferencia en cuanto a la naturaleza del libro, entonces se trata de aplicar el principio de independencia de elección a medida que vamos colocando los libros en la estantería. Hay 4 posibilidades para elegir el libro que ocupará el primer lugar; 4-1 para elegir el segundo; 4-2, para el tercero, y 4-3 para el cuarto. Luego, tendremos el siguiente número de ordenaciones posibles: $$4\cdot (4-1)\cdot (4-2)\cdot (4-3) = 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$
Ejercicio 2 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Parámetros de situación/posición
INDICACIÓN. Lee las páginas 269, 269 y 270 del libro base
ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$
Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.
ENUNCIADO. Se han recogido las siguientes puntuaciones en un juego de dardos {1,2,3,4,1,2,5,2,2,1,2,4,3,1}. Calcula la moda, la mediana y la media aritmética. ¿ Qué opinas a la vista de los resultados ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ordenando los datos: {1,1,1,1;2,2,2,2,2;3;3;4,4;5} vemos que el dato que se repite un mayor número de veces es el 2 ( se repite cinco veces), luego la Moda es igual a 2. Por otra parte, hay un número par de datos ( catorce datos ) y los dos datos centrales ( en la lista ordenada de menor a mayor ) son dos doses, luego la mediana es igual a 2. Y, en cuanto a la media, vemos que la suma de todos los catorce datos es igual a 1·4+2·5+3·2+4·2+5·1 = 33, por lo que el promedio es igual a 33/14 $\approx 2,4$
Recordemos que los tres - moda, mediana y media - son parámetros (medidas) de posición. En este caso, los valores de la mediana y de la moda coinciden, pero no son iguales al valor de la media; eso es debido a que hay muchos más datos pequeños y 'medianos' que datos altos, como el '4' o el '5'.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Cantidades periódicas
ENUNCIADO. Si hoy es lunes, ¿ qué día de la semana será dentro de 1045 días ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Supongamos que queremos saber qué día de la semana ( una semana tiene 7 días ) será dentro de 8 días; dentro de 7 días volverá a ser lunes, luego dentro de 8 días ( 8 = 7 + 1 ) tendrá que ser martes ( 1 día más después del lunes ). Dicho de otro modo, si calculamos el resto de la división $8 \div 7$ vemos que éste es igual a $1$, pues bien, esta cantidad es el número de días consecutivos que hay saltar a partir del lunes, llegando por tanto al martes como conclusión. Extendiendo el razonamiento, vemos que el resto de la división $1045 \div 7$ es $2$ luego hay que saltar dos días en la semana a partir del lunes, así que tendrá que ser un miércoles. Decimos que las cantidades que dan el mismo resto pertenecen a la misma clase de resto. $\square$
Ejercicio 1 de la semana del 20 al 26 de abril de 2020 - Estadística. Muestreo
INDICACIÓN. Lee las páginas 260 y 261 del libro base
Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.
Ejercicio 4 de la página 260
ENUNCIADO. Se realiza un estudio de la resistencia a la temperatura de un circuito electrónico que se produce en una fábrica. Razona por qué es necesario tomar una muestra.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Tratándose de la producción de una fábrica, se producen muchos circuitos, así que sería muy costoso estudiar cada uno de ellos. Por tal motivo, hay que seleccionar un cierto número de circuitos, idealmente elegidos al azar, con el propósito de que este conjunto de circuitos sea representantivo del total.
viernes, 17 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio de inclusión-exclusión.
ENUNCIADO. En un club de lectura hay 100 socios/as. En dicho club se leen libros y revistas. Al preguntar a todas y cada una de esas personas recogemos la siguiente información: 60 personas dicen que leen libros, y 70 personas dicen que leen revistas. ¿ Cuántas personas socias leen solamente libros ? ¿ Cuántas leen solamente revistas ? ¿ Cuántas leen libros y, también, revistas ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla al tamaño natural )
RMT - Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Principios del recuento de posibilidades. Principio del palomar.
ENUNCIADO. Busca en la Wikipedia "principio del palomar" y resume brevemente lo que has entendido. Piensa en algún caso práctico en el que podría aplicarse dicho principio.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN. El principio, conocido popularmene como principio 'del palomar', nos dice que si en un palomar hay $n$ nidos, y en el palomar viven $m$ palomas, siendo $m$ mayor que $n$, entonces habrá al menos un nido con más de una paloma.
Este principio básico de recuento puede aplicarse a situaciones similares, por ejemplo, a un conjunto de cajas $m$ y un conjunto de $n$ bolas ( con $m$ mayor que $n$ ), que podemos guardar en el conjuntode cajas, de tal manera que habrá necesariamente al menos una caja con más de una bola; por tal motivo, se denomina también principio de las cajas de Dirichlet, en honor al matemático que le da el nombre.
Con este principio podemos demostrar cosas que, a primera vista, puede sorprender a algunas personas; por ejemplo, por dicho principio de recuento podemos afirmar con toda certeza que en la ciudad de Nueva York hay al menos dos personas que tienen el mismo número de cabellos en su cabeza. En efecto, esto es así, porque que el número estimado de pelos del cuero cabelludo es menor que el número de habitantes de una ciudad tan grande como es Nueva York ).
Ejercicio 4 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representación de la gráfica de una función lineal
Ejercico número 14 de la página 243 del libro base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Escribe la ecuación de la función lineal afín que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,10)
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 3 de la semana del 13 al 19 de abril de 2020 - Representaciones gráficas de algunas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Ejemplos sencillos de gráficas de relaciones binarias y gráficas de funciones
Ejercico número 13 de la página 243 del libro base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Representa las siguientes gráficas:
a) y=2
b) y=-1
d) x=3
e) x=-4
f) y=0
g) x=0
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
jueves, 16 de abril de 2020
ESO2 - Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas
NOTA: Disculpad. En algún momento de la grabación, por esos errores de locución que suele darse en las grabaciones en directo, me he referido (indebidamente ) a los diagramas de flechas como diagramas 'digitales', cuando debería haber dicho diagramas sagitales. Cosas que pasan ... tonterías que a veces se dicen.
martes, 14 de abril de 2020
Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Gráficas de funciones. Funciones lineales afines. Uso de la hoja de cálculo de GeoGebra
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=-2x+3$. Elabora una tabla numérica, calculando las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ y representa los pares de números que así obtendrás en un diagrma cartesiano. ¿ Qué puedes decir acerca de este conjunto de puntos ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Funciones
ENUNCIADO. Se considera la función $f(x)=4x-1$. Calcula:
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
Así pues, $x=\dfrac{3}{4}$
a) La imagen de $3$
b) El valor de $x$ para que su imagen sea $2$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 2. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.
SOLUCIÓN.
a)
$f(3)=4\cdot 3-1$
$=12-1$
$=11$
b)
$2=4x-1$
$2+1=4x-1+1$
$2+1=4x$
$3=4x$
$\dfrac{1}{4}\cdot 3=\dfrac{1}{4}\cdot 4x$
$\dfrac{3}{4}=x$
RMT - Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Árboles equidistantes dispuestos en hilera
ENUNCIADO. Queremos plantar 24 árboles en hilera, igualmente distanciados unos de otros. Entre el primero y el último tiene que haber una distancia de 299 metros. ¿ Cuál deberá ser la distancia entre dos árboles contiguos ?.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
El número de espacios entre el primer árbol y el último es igual a $24-1=23$. Por consiguiente, la longitud de cada uno de estos veintitres espacios es de $299 \div 23 = 13$ metros.
RMT - Ejercicio 1 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Recuento de posibilidades. Principio de independencia.
ENUNCIADO. En un restaurante al que vas a cenar te dejan elegir tres opciones para el primer plato; dos para el segundo, y cuatro para el postre. ¿ Cuantas posibilidades tienes para elegir lo que quieres comer ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 10 de abril de 2020
ESO2 - Recordad: La propiedad de Euler, v-a+c=2, sólo se cumple en los poliedros convexos
Supongamos que se cumpla en un poliedro cóncavo. Aquí tenéis algunos contraejemplos:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
(1) Un cubo en el que se ha practicado un agujero cúbico ciego desde una de sus caras
(2) Un cubo en el que se le ha practicado un agujero desde una de sus caras, traspasando hasta la cara opuesta:
viernes, 3 de abril de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Análisis cualitativo de una función ( a partir de su gráfica )
ENUNCIADO: el del ejercicio 12 de la página 241
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verla en tamaño natural )
Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Crecimiento y decrecimiento
Ejercicio 10 de la página 240 del libro base
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
ENUNCIADO. Analiza la gráfica de función
INDICACIÓN. Lee las páginas 240 y 241 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
RMT - Ejercicio 5 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con potencias de base entera y de exponente un número natural
ENUNCIADO. Escribe cada uno de los siguientes productos en forma de una única potencia:
a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
$=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
$=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
$=2^{5}\cdot 2^{4}$
$=2^{5+4}$
$=2^{9}$
b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
$=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
$=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
$=3^{4}\cdot 3^{4}$
$=3^{4+4}$
$=3^{8}$
c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
$=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
$=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
$=5^{9} \cdot 5^{24}$
$=5^{9+24}$
$=5^{33}$
d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
$=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
$=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
$=7^{2}\cdot 7^{6}$
$=7^{2+6}$
$=7^{8}$
a) $2^{5}\cdot 4^{2}$
b) $9^{2}\cdot 3^{4}$
c) $125^{3}\cdot 625^{6}$
d) $7^{2}\cdot 49^{3}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$2^{5}\cdot 4^{2}=$
$=2^{5}\cdot (2^{2})^{2}$
$=2^{5}\cdot 2^{2\cdot 2}$
$=2^{5}\cdot 2^{4}$
$=2^{5+4}$
$=2^{9}$
b)
$9^{2}\cdot 3^{4}=$
$=(3^{2})^{2}\cdot 3^{4}$
$=3^{2\cdot 2}\cdot 3^{4}$
$=3^{4}\cdot 3^{4}$
$=3^{4+4}$
$=3^{8}$
c)
$125^{3}\cdot 625^{6}=$
$=(5^{3})^{3}\cdot (5^{4})^{6}$
$=5^{3\cdot 3} \cdot 5^{4\cdot 6}$
$=5^{9} \cdot 5^{24}$
$=5^{9+24}$
$=5^{33}$
d)
$7^{2}\cdot 49^{3}=$
$=7^{2}\cdot (7^{2})^{3}$
$=7^{2}\cdot 7^{2\cdot 3}$
$=7^{2}\cdot 7^{6}$
$=7^{2+6}$
$=7^{8}$
RMT - Ejercicio 6 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Aproximación de raíces cuadradas de números enteros positivos pequeños
ENUNCIADO. Escribe el número entero positivo menor que la raíz cuadrada que se pide que sea el más próximo a ésta, y escribe también el resto de dicha aproximación:
a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
a) $\sqrt{123}$
b) $\sqrt{1025}$
c) $\sqrt{257}$
d) $\sqrt{246}$
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )
miércoles, 1 de abril de 2020
RMT - Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril
ENUNCIADO. Efectua la siguiente suma de productos de dos maneras distintas:
$5·34+5·13+5·36+5·17$
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SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en tamaño natural )
$5·34+5·13+5·36+5·17$
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RMT - Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Operaciones con números enteros
ENUNCIADO. Halla las cifras que faltan en la siguiente suma:
$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$
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$? 7 ? 6 + 3 ? 7 ? = 8635$
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Ejercicio 4 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Funciones. Puntos de corte con los ejes de coordenadas
Ejercicio 9 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$
INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. ( Haz clic en las imágenes para verlas en tamaño natural )
ENUNCIADO. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=5x-20$
b) $f(x)=3x^2-12$
c) $f(x)=12x^2+22x-20$
d) $f(x)=x^2+5x+12$
INDICACIÓN. Lee los recuadros de marco azul de la página 239, así como el ejemplo que está a su derecha.
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Ejercicio 3 de la semana del 31 de marzo al 5 de abril - Discontinuidades
Ejercicio 8 de la página 239 del libro base
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):
INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
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SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente
ENUNCIADO. Indica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones ( haz clic en la imagen para verla al tamaño natural ):
INDICACIÓN. Lee las páginas 238 y 239 del libro base
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(a) La función es discontinua en x=-1 y en x=1 ( discontinuidades de salto )
(b) Esta función también presenta una discontinuidad de salto een x=1
(c) En x=0 la función no tiene un valor definido, luego es discontinua para este valor de la variable independiente
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