RMT - Ejercicio 1 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo

ENUNCIADO. Calcula el área de un triángulo equilátero de 12 decímetros de lado.

AYUDA. Tendrás que emplear el teorema de Pitágoras.


SOLUCIÓN.

RMT - Ejercicio 2 de la semana del 9 al 15 de marzo

ENUNCIADO. Busca en Wikipedia las medidas de un campo de juego reglamentario de fútbol y calcula su área y su perímetro. ¿ Cuál es el número de vueltas que debemos dar al campo para asegurarnos de haber recorrido 7 kilómetros ?.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 2 de la semana del 12 al 15 de marzo

ENUNCIADO. ¿ Es posible embalar una varilla recta y rígida de 3,8 dm de
longitud en una caja que tiene forma de prisma recto de base rectangular
cuyas aristas midel 1, 2 y 3 dm, respectivamente ? Haz los cálculos y
escribe el razonamiento de manera clara.

SOLUCIÓN.

Teletrabajo y emergencia sanitaria por el Covid19

COMUNICADO IMPORTANTE

Para paliar las consecuencias del cierre de aulas presenciales por la emergencia sanitaria del Covid19, vamos a esforzarnos en el uso de las herramientas virtuales. Especialmente nos centraremos en el trabajo en las siguientes aulas virtuales:

(1) Aula Virtual de Matemáticas de 2.º de ESO
(2) Aula Virtual de Recuperación de Matemáticas de 2.º de ESO ( para los que también estéis matriculados en esta optativa).

Recordad que para el jueves 26/03/2020 está programado el examen de recuperación del 2.º trimestre (temas 5,6,7 y 8) de Matemáticas de 2.º de ESO, y el viernes 27/03/2020 el examen de recuperación del 2.º trimestre de Recuperación de Matemáticas.

Por otra parte, os pido que durante estos días sin clase presencial estudiéis también las unidades didácticas 9 ( Poliedros ) y 10 ( Cuerpos redondos ) del libro de texto base, leyendo las dos lecciones, haciendo resúmenes y realizando ejercicios, por lo menos los que aparecen en cada uno de los epígrafes. Como podréis ver, en el aula virtual iré guiando vuestro trabajo. Consultad también el calendario del aula virtual, que encontraréis en la parte superior del marco lateral derecho ( del aula virtual ), por si hubiese algún cambio en las fechas..

Los alumnos y las alumnas de Recuperación de Matemáticas también realizaréis en vuestro cuaderno los ejercicios que aparecerán en los foros de ejercicios de vuestra aula virtual, corrigiéndolos ( en color rojo ) cuando, uno o dos días después de haberlos propuesto, vaya colgando las resoluciones.

He organizado el aula virtual por espacios semanales, intentando emular las sesiones presenciales. En ella encontraréis vídeos explicativos, tareas propuestas, y las correcciones de las mismas, que colgaré debajo del enunciado a posterior ( después de uno o dos días de haberlos propuesto). La participación a través del aula virtual contará como nota B ( con un peso del 20% ). En el caso de tener que realizar alguna prueba a distancia de tipo "examen" de los temas 10 y 11 se haría mediante cuestionarios, que contarían como nota A ( con un peso del 80% ), si bien confío en que el examen presencial de estos dos temas pueda hacerse después del final de la emergencia sanitaria, que se espera para dentro de unos quince días, el jueves 26/03/2020; probablemente, a la vuelta de las vacaciones de Semana Santa.

Para participar activamente en el aula virtual es necesario que os identifiquéis en el sistema con vuestras credenciales de EducaMadrid. Si no las tenéis o las habéis perdido, poneros en contacto telefónico con el IES y se os facilitarán. Tenéis que automatricularos en cada aula virtual (no se requiere clave de automatriculación) si todavía no lo habéis hecho. En caso de que, por alguna razón, no pudieseis acceder como participantes en el aula virtual, os recuerdo que aún sin tener las credenciales podéis visualizar el contenido entrando como invitados, pero en tal caso no podréis participar activamente ( interviniendo en los foros de ejercicios, enviando cuestionarios con vuestras respuestas, etcétera ).

Como de costumbre, es necesario que vayáis trabajando también con vuestro cuaderno de clase, que ya sabéis que cuenta como nota B, y, por supuesto, con el libro de texto base, ya que, junto con las pruebas escritas se espera que se podrá evaluar (el trabajo de cuaderno) en cuanto se retomen las clases presenciales. Espero que teleestudiéis mucho desde vuestras casas y que utilicéis todos los recursos que hemos puesto a vuestra disposición. Los profesores y profesoras estaremos atendiendo las aulas virtuales en jornada laboral.

Recordad que os facilité también una dirección de correo electrónico, fscymtmcs@gmail.com, para que podáis consultarme dudas en el caso de que, como último recurso, no dispongáis de las credenciales para el aula virtual; en tal caso, os recuerdo una vez más que también podéis visualizar los contenidos si entráis en calidad de visitantes. También dejaré abiertos los espacios de comentarios de las entradas de mis blogs, por si queréis intervenir también de esta manera. Pero, repito, lo importante es que os centréis en las aulas virtuales. Desde éstas dirigiré todos los enlaces a mis materiales externos, y es en éstas donde espero que interactuemos de manera habitual en el día a día de las clases ( virtuales ).

Cuidaros mucho y hasta pronto
Joan

Explicación de la fórmula del interés simple y resolución de algunos ejericios a modo de ejemplos prácticos

-oOo-Corrección de una errata ( del final de la grabación ): donde dice "100/360 días" tiene que decir 100/360 años.
-oOo-Observación: En matemática financiera/comercial, por convenio, todos los meses del año se cuentan de 30 días por igual. Notad que, así la duración convenida de 1 año comercial ( que se cuenta de 360 días) es múltiplo de 30, y ello facilita los cálculos de contabilidad.

Ejercicio resuelto, a modo de ejemplo, de reparto inversamente proporcional

Presentación del primer tema del nuevo curso

En este primer tema de este nuevo curso, que lleva el título de "Divisibilidad y números enteros", estudiaremos los siguientes contenidos:


Operaciones básicas con números enteros y sus propiedades

• Suma y resta ( la resta puede verse como una operación combinada de la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo )

• Producto

• División entera

• Operaciones combinadas con números enteros

Divisores y múltiplos

• Números primos y números compuestos

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Cuántos litros caben en el depósito sabiendo que ...

ENUNCIADO. En un depósito quedan $10$ litros de combustible, que representa el $20\,\%$ de la capacidad del depósito. ¿ Cuántos litros caben en dicho depósito ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la capacidad del depósito, entonces podemos plantear la siguiente proporción directa: $$\dfrac{x}{10}=\dfrac{100}{20}$$ con lo cual $$x=\dfrac{10\cdot 100}{20}=50\; \text{litros}$$
$\square$

Exercici sobre el càlcul de l'àrea d'un triangle rectangle

Enunciat:
Calculeu l'àrea del triangle rectangle de la figura

Resolució.
$A=\dfrac{6 \cdot a }{2} \quad \quad (1)$
Calcularem l'altura $a$ a partir del triangle rectangle (la meitat del t. equilater):
$10^2=a^2+6^2$ (teorema de Pitàgores)
d'on
$a^2=100-36$
és a dir
$a^2=64$
i, per tant
$a=\sqrt{64} = 8 \; \text{cm}$
i, per tant, posant això a l'expressió de l'àrea (1), trobem
$A=\dfrac{6 \cdot 8}{2} \; \text{cm}^2$
que, simplificada, queda
$A = 24 \; \text{cm}^2$
$\square$

Un altre exercici sobre els factors d'escala dels mapes

Enunciat:
Calculeu l'àrea de la peça real de forma rectangular, que apareix dibuixada a escala $1:5$ a la figura de sota

Resolució.
La raó de semblança $r$ és igual a $5$ (cada costat té una longitud cinc vegades més gran a la realitat que la que indica el croquis). Llavors, l'àrea de la peça real és $r^2$ vegades més gran que l'àrea de la peça dibuixada. Per tant, com que l'àrea del rectangle del croquis mesura $3 \cdot 2 = 6 \; \text{cm}^2$, l'àrea de la peça real serà igual a $6 \cdot 5^2 \; \text{cm}^2$, és a dir, $150\; \text{cm}^2$
$\square$

Un exercici sobre el factor d'escala dels mapes

Enunciat:
La figura representa un mapa a escala $1:25\,000$ en el qual s'hi representen dues poblacions (A i B) connectades per un camí (línia vermella), la longitud del qual (sobre el mapa) és de $3\; \text{dm}$. Calculeu la longitud del trajecte real (sobre el terreny) entre les poblacions A i B, si es vol anar pel camí resenyat al mapa.

Resolució.
La raó de semblança $r$ és igual a $25\,000$ (una determinada magnitud de longitud és vint-i-cinc mil vegades més gran a la realitat que la mesurada sobre el mapa). Llavors, la longitud sobre el terreny del tros de camí que connecta A i B, és igual a $3 \cdot 25\,000 \; \text{dm}$, és a dir, $7\,500 \; \text{m}$, que, expressat en forma complexa, és igual a $7\;\text{km}$ i $500 \; \text{m}$
$\square$

Un exercici sobre el càlcul de l'àrea i del perímetre d'una figura plana

Enunciat:
Calculeu l'àrea de la figura i la longitud del seu contorn

Resolució:
Observant la figura de sota és evident que l'àrea demanada és igual a l'àrea del mig cercle de radi igual a $2 \; \text{cm}$, és a dir
$A=\dfrac{1}{2}\, \pi \cdot 2^2 \approx 6 \; \text{cm}^2 $

Pel que fa a la longitud del contorn, és igual
$\dfrac{1}{2} \Big( \, 2\, \pi \cdot 2 \Big) + 2\, \pi \cdot 1 \approx 13 \; \text{cm}$

$\square$

Ejercicios resueltos del examen extraordinario de Septiembre ( temas 1-14), realizado 1/09/2016

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ]

Un ejercicio de estadística descriptiva de una variable

ENUNCIADO. A partir de los siguientes datos ( de una cierta variable estadística ) $$\{1,2,3,4,1,4,3,2,1,1,2,3,3,2,1,2,3,2,2\}$$
se pide:
a) Elaborar una tabla de frecuencias
b) Dibujar el diagrama de barras
c) Calcular la moda, la media y la mediana

SOLUCIÓN.

a)

b)

c)
La moda corresponde al valor que se repite un mayor número de veces, en este caso es igual $2$ ( se repite $7$ veces )
La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número de valores ( que es $19$ ): $\bar{x}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 5 +4 \cdot 2}{19}=\dfrac{42}{19}\approx 2,2$
La mediana es el valor central de los datos ordenados de menor a mayor; consultando la columna de frecuencias acumuladas vemos que es igual a $x_{10}=2$

$\square$

Resolviendo ecuaciones de primer grado con una incógnita

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2\,(x-1)=5\,(x+1)$
b) $\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=5\,(x+1)$

  $2x-2=5x+5$

    $-2+(-5)=5x+(-2x)$

      $-2-5=5x-2x$

        $-7=3x$

          $x=\dfrac{-7}{3}$

            $x=-\dfrac{7}{3}$

b)
$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2}{1-x} \Leftrightarrow 3\,(1-x)=2\,(x+1)$

  $3-3\,x=2x+2$

    $3+(-2)=2x-(-3x)$

      $3-2=2x+3x$

        $1=5x$

          $x=\dfrac{1}{5}$

$\square$

Área y perímetro de un trapecio isósceles

ENUNCIADO. Calcular el área y el perímetro de un trapecio isósceles tal que la longitud de cada uno de los lados oblicuos es igual a $5$ decímetros, siendo las longitudes de los lados paralelos $7$ y $13$ decímetros, respectivamente.

SOLUCIÓN.

El área $\mathcal{A}$ del trapecio viene dada por la semisuma de las longitudes de los lados paralelos multiplicada por la distancia ( perpendicular ) entre éstos, es decir, $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\,h \quad \quad (1)$$ Debemos, pues, determinar el valor de $h$. Pare ello, utilizamos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo resaltado, así $h^2=5^2-3^2$, y por tanto, $h^2=16$, con lo cual $h=\sqrt{16}=4\,\text{dm}$. Sustituyendo este resultado en (1) obtenemos $$\mathcal{A}=\dfrac{7+13}{2}\cdot 4= 40\,\text{dm}^2$$

Por otra parte, el perímetro ( la suma de las longitudes de los lados ) se calcula aquí de forma directa: $$\mathcal{P}=2\cdot 5+10+7= 30\,\text{dm}$$
$\square$

Medidas en un depósito ...

ENUNCIADO. Un depósito de agua tiene forma de ortoedro ( prisma recto de base rectangular ). Las medidas interiores ( longitudes de las aristas ) del depósito son: $1$, $2$ y $3$ metros, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar una figura esquemática del depósito y anotar en ella las medidas
b) Calcular la capacidad del depósito, expresada en litros
c) Calcular la longitud de la diagonal del prisma
d) ¿ En cuánto tiempo se vaciará el depósito ( lleno ) mediante una conducción de agua, que lleva un caudal de $3 \; \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$ ?

SOLUCIÓN.
a)

b) El volumen de un ortoedro viene dado por el producto de las longitudes de las tres aristas desiguales, $$V=1\cdot 2 \cdot 3 = 6 \,\text{m}^3 = 6000\,\text{dm}^3$$
Teniendo en cuenta la equivalencia $1\,\text{dm}^3= 1\,\text{L}$, la capacidad $C$ del depósito es igual a $$C=6000\,\text{L}$$

c) Por la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman en la figura, $$d^2=1^2+2^2+3^2$$ por tanto $$d=\sqrt{14}\,\text{dm}$$ ( Observación: $3 < \text{14} < 4 $ )

d) Planteando la proporción entre la cantidad de agua que contiene el depósito en un momento dado y el tiempo que se tarda en vaciarla, $$\dfrac{3}{1}=\dfrac{6000}{t}$$ siendo $t$ el tiempo ( en minutos ) necesario para vaciar el depósito lleno. Así, $$\dfrac{t}{6000}=\dfrac{1}{3}$$ es decir $$t=\dfrac{6000}{3}=2000\, \text{min}=1\,\text{día}\;\; 9\,\text{h}\,\,20 \,\text{min}$$

$\square$

Relación entre los volúmenes y escala lineal

ENUNCIADO. Un cierto cubo tiene un volumen de $27$ decímetros cúbicos. Considérese ahora otro cubo cuya arista tiene una longitud igual a la tercera parte de la longitud de la arista del primer cubo, ¿ cuál es el volumen del segundo cubo ? ¿ Cuál es el área del desarrollo plano de cada uno de los dos cubos ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $V$ al volumen pedido. Sabemos que $V < 27$. Sabemos también que la razón de los volúmenes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo $$\dfrac{V}{27}=r^3$$ siendo $r$ la razón de semejanza, que es igual a $\dfrac{1}{3}$. Así, $$\dfrac{V}{27}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3$$ esto es $$\dfrac{V}{27}=\dfrac{1}{27}$$ y por tanto $$V=1\,\text{dm}^3$$

La longitud de la arista de dicho cubo es tal que $\ell^3=1$, luego $\ell=\sqrt[3]{1}=1\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo plano del cubo consta de $6$ cuadrados iguales, el área $A$ pedida es igual a $A=6\cdot \ell^2=6 \cdot 1^2=6\cdot 1=6 \,\text{dm}^2$

Por otra parte, el área del cubo grande $A'$ ha de cumplir que $$\dfrac{A}{A'}=r^2$$ así $$\dfrac{6}{A'}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{6}=9$$ luego $$A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$$

NOTA: Otro forma de calcular el área del cubo grande es la siguiente. Como sabemos que su volumen es de $27\,\text{dm}^3$, entonces la longitud de una de sus aristas ( todas iguales ) es $(\ell')^3=27$, por tanto $$\ell'=\sqrt[3]{27}=3\,\text{dm}$$ Por consiguiente, sus caras son cuadrados de $3\,\text{dm}$ de lado, y el área de una de sus caras es $3^2=9\,\text{dm}^2$. Como el desarrollo del cubo consta de $6$ caras cuadradas iguales, el área pedida es $A'=6\cdot 9 = 54 \,\text{dm}^2$
$\square$

Plantear y resolver mediante el álgebra

ENUNCIADO. La mitad de la cuarta parte de una cierta cantidad, sumada a la tercer parte de esa misma cantidad, es igual a $14$. ¿ De qué cantidad ( no necesariamente entera ) estamos hablando ?.

SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la cantidad pedida. Entonces, traduciendo al lenguaje del álgebra $$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\,x\right)+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ ecuación que es equivalente a la siguiente $$\dfrac{1}{8}\,x+\dfrac{1}{3}\,x=14$$ Reduciendo a común denominador ( el mínimo común múltiplo de los denominadores es igual a $24$ ), $$24\cdot \dfrac{1}{8}\,x+24\cdot \dfrac{1}{3}=24\cdot 14$$ que podemos expresar de la forma $$3x+8x=336$$ $$11x=336$$ de donde $$x=\dfrac{336}{11}$$

Observación: Notemos que $30 < x < 31 $

$\square$

Aplicant el teorema de Pitàgores