Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números naturales

ENUNCIADO. Considerar los números naturales $42$, $72$ y $84$. Se pide:
a) el \textit{máximo común divisor} de dichos números
b) el \textit{mínimo común múltiplo} de dichos números

SOLUCIÓN. Descomponiendo en factores cada uno de los números: $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ $$72=2^3\cdot 3^2$$ $$84=2^2\cdot 3 \cdot 7$$
Por consiguiente $$\text{a)} \quad \text{m.c.d}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.d}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2\cdot 3=6$$ $$\text{b)} \quad\text{m.c.m}(42\,,\,72\,,\,84)=\text{m.c.m}(2\cdot 3 \cdot 7\,,\,2^3\cdot 3^2\,,\,82^2\cdot 3 \cdot 7)=2^3\cdot 3^2 \cdot 7=504$$
$\square$

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Fracciones equivalentes y no-equivalentes

ENUNCIADO. ¿ Son equivalentes las fracciones $\dfrac{111}{112}$ y $\dfrac{112}{113}$ ?.
Razónese la respuesta.

SOLUCIÓN. Para que dos fracciones sean equivalentes es necesario que el producto de medios sea igual al producto de extremos. Sin embargo es evidente que $111 \cdot 113 \neq 112 \cdot 112 $, luego las fracciones pedidas no son equivalentes, y se escribe $$\dfrac{111}{112} \neq \dfrac{112}{113}$$
$\square$

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Simplificación de fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción irreducible resultante:
a) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{18}+\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{7}{4}\cdot \dfrac{8}{14}$
c) $\dfrac{9}{5}\div \dfrac{81}{125}$

SOLUCIÓN.

a)

$\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{18}+\dfrac{1}{12}=$

  $=\dfrac{2\cdot (36\div 3)}{36}-\dfrac{5 \cdot ( 36 \div 18) }{36}+\dfrac{1\cdot ( 36\div 12)}{36}$ ( reduciendo a común denominador; el mínimo común múltiplo de los denominadores es $36$.)

    $=\dfrac{24}{36}-\dfrac{10 }{36}+\dfrac{3}{36}$

      $=\dfrac{24}{36}+\dfrac{(-10) }{36}+\dfrac{3}{36}$

        $=\dfrac{24+(-10)+3}{36}$

          $=\dfrac{24+(-10)+3}{36}$

            $=\dfrac{17}{36}$

b)

$\dfrac{7}{4}\cdot \dfrac{8}{14}=$

  $=\dfrac{7 \cdot 8}{4 \cdot 14}$

    $=\dfrac{8 \cdot 7}{4 \cdot 14}$

      $=\dfrac{8}{4}\cdot \dfrac{7}{14}$

        $=2\cdot \dfrac{1}{2}$

          $=1$

c)

$\dfrac{9}{5}\div \dfrac{81}{125}=$

  $=\dfrac{9}{5} \cdot \text{inverso}\left( \dfrac{81}{125}\right)$

    $=\dfrac{9}{5}\div \dfrac{125}{81}$

    $=\dfrac{9\cdot 125}{5 \cdot 81}$

      $=\dfrac{125}{5}\cdot \dfrac{9}{81}$

        $=25\cdot \dfrac{1}{9}$

          $=\dfrac{25}{9}$

$\square$

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Cálculo de radicales

ENUNCIADO. El área de un cuadrado mide $169 \; \text{m}^2$, ¿ cuánto mide su perímetro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud del lado del cuadrado, entonces $x^2=169$, luego $x=\sqrt{169}=13\; \text{m}$. Y como el perímetro, $P$, es $4x$, encontramos que $P=4\cdot 13 = 52\;\text{m}$
$\square$

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Cálculo de radicales

ENUNCIADO. Calcular el siguiente radical ( sin utilizar la calculadora científica ), dando como resultado el menor número natural más próximo ( a dicho radical ) así como el número natural que representa el resto de la operación $$\sqrt{2449}$$

SOLUCIÓN. Observemos que $50^2=2500 \succ 2449$ y que $49^2=2401 \prec 2449$, luego podemos decir que $\sqrt{2449}$ es igual a $49$ con resto $2449-2401=48$
$\square$

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Fracciones propias e impropias

ENUNCIADO. Expresar la fracción impropia $\dfrac{7}{5}$ en forma mixta, esto es, como la suma del número entero menor y más próximo a la fracción y una fracción propia.

SOLUCIÓN. De la división entera $7\div 5$ obtenemos $1$ de cociente y $2$ de resto, entonces $7=5\cdot 1 +2$; así que, multiplicando por $\dfrac{1}{5}$ en cada miembro de esta igualdad, llegamos a $\dfrac{1}{5}\cdot 7=\dfrac{1}{5}\cdot 5\cdot 1 +\dfrac{1}{5}\cdot 2$, esto es (simplificando), $$\dfrac{7}{5}=1+\dfrac{2}{5}$$
$\square$

[autoría]

Ordenación de fracciones

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones, sin recurrir a sus expresiones decimales:
$$\lbrace \,\dfrac{3}{4}\,,\,\dfrac{2}{3}\,,\,\dfrac{4}{3}\,,\,\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{3}{2} \, \rbrace$$

ENUNCIADO. Para comparar las fracciones, procedemos a reducirlas a común denominador ( encontramos una fracción equivalente, a cada una, que tenga el mismo denominador ), de este modo, bastará ordenar los nuevos numeradores para que dicho orden determine el orden de las fracciones respectivas. Calculemos, pues, el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas $$\text{m.c.m}(2,3,4,5)=60$$

Así,

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot 15}{60}=\dfrac{45}{60}$

$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 20}{60}=\dfrac{40}{60}$

$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\cdot 20}{60}=\dfrac{80}{60}$

$\dfrac{4}{5}=\dfrac{4\cdot 12}{60}=\dfrac{48}{60}$

$\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\cdot 30}{60}=\dfrac{90}{60}$

Por tanto, $$\dfrac{2}{3} \prec \dfrac{3}{4} \prec \dfrac{4}{5} \prec \dfrac{4}{3} \prec \dfrac{3}{2} $$

$\square$

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División entera

ENUNCIADO. Calcular el resto y el cociente de la siguiente división entera $$1258 \div 145$$

SOLUCIÓN. $\text{cociente}(1258 \div 145)=8$, ya que $8 \cdot 145 \prec 1258$ y $(8+1) \cdot 145 \succ 1258$; entonces $\text{resto}(1258 \div 145)=1258-8\cdot 145=98$
$\square$

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Expresión decimal de una fracción

ENUNCIADO. Expresar las siguientes fracciones ( de números enteros ) en forma decimal y decir si se trata de un número decimal exacto, periódico puro, o bien periódico mixto:
a) $\dfrac{4}{9}$
b) $\dfrac{8}{11}$
c) $\dfrac{6}{13}$
d) $\dfrac{97}{90}$

SOLUCIÓN.

Realizando la división decimal del numerador entre el denominador, de cada fracción:

a) $\dfrac{4}{9}=0,\overline{4}$   ( número decimal periódico puro )

b) $\dfrac{8}{11}=0,\overline{561538}$   ( número decimal periódico puro )

d) $\dfrac{97}{90}=1,0\,\overline{7}$   ( número decimal periódico mixto )

$\square$

[autoría]

Operaciones con números enteros

ENUNCIADO. Efectuar las siguientes operaciones con números:
a) $1-\text{opuesto}(3)+2-|3|$
b) $1-(-1)-\text{opuesto}(1)$
c) $(4+|-1|)^3 \div 25-1$
d) $2+2^5 \div 2^3-2^2 $
e) $3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^0$
f) $\left((-2)^5\right)^2$
g) $\left(2+3\right)^3$
h) $\sqrt{121 \cdot 625}$

SOLUCIÓN.
a)

$1-\text{opuesto}(3)+2-|3|=$

  $=1-(-3)+2-3$

    $=1+\text{opuesto}(-3)+2-3$

      $=1+3+2-3$

        $=3$

b)

$1-(-1)-\text{opuesto}(1)=$

  $=1+\text{opuesto}(-1)-(-1)$

    $=1+1+\text{opuesto}(-1)$

      $=1+1+1$

        $=3$

c)

$(4+|-1|)^3 \div 25-1=$

  $=(4+1)^3 \div 25 -1$

    $=5^3 \div 25 -1$

      $=125 \div 25 -1$

        $=5 -1$

          $=4$

d)

$2+2^5 \div 2^3-2^2=$

  $=2+2^{5-3}-2^2$

    $=2+2^{2}-2^2$

      $=2+0$

        $=2$

e)

$3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^0=$

  $=3^2 \cdot 3^3 \cdot 1$

    $=9 \cdot 27 \cdot 1$

      $=243$

f)

$\left((-2)^5\right)^2=$

  $=\left(-2^5\right)^2$

    $=\left((-1)\cdot 2^5\right)^2$

    $=(-1)^2 \cdot \left(2^5\right)^2$

      $=(+1) \cdot {2^5 \cdot 2}$

        $=2^{10}$

          $=1024$

g)

$\left(2+3\right)^3=$

  $=5^3$

    $=125$

h)

$\sqrt{121 \cdot 625}=$

  $=\sqrt{121} \cdot \sqrt{625}$

    $=11 \cdot 25$

      $=275$

$\square$

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Fotografía de un número hexagonal y triangular

Madrid, Octubre de 2015

[número hexagonal] que también es triangular.

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Fotografía de un número triangular

Madrid, Octubre de 1015

[ número triangular ]

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Hemos recorrido tres cuartas partes de ...

ENUNCIADO. Hemos recorrido tres cuartas partes de un camino, y aún nos quedan $2$ quilómetros para llegar. Se pide:
a) ¿ Qué fracción del camino nos queda por recorrer ?
b) ¿ Qué longitud de camino hemos recorrido ?
c) ¿ Cuál es la longitud total del camino ?

SOLUCIÓN.
a) Si hemos recorrido tres cuartas partes del camino, nos queda por recorrer $\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$ del camino
c) Denotando por $x$ la longitud del camino, debe cumplirse la siguiente equivalencia $$\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{x}$$ con lo cual $$1 \cdot x = 2 \cdot 4$$ esto es $$x=8\,\text{km}$$
b) Como el camino tiene una longitud de $8 \, \text{km}$ y faltan $2\, \text{km}$ por recorrer, hemos recorrido ya $8-2=6\, \text{km}$
$\square$

[autoría]

El número de páginas de un libro ...

ENUNCIADO. El número de páginas de un libro es igual a un número cuadrado más $13$. Si se le suma $20$ ( al número de páginas de este libro ), se obtiene el número cuadrado mayor y más próximo al número cuadrado del que hablábamos. ¿ Cuántas páginas tiene el libro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número cuadrado del que se habla en la primera frase. Entonces cabe plantear la siguiente igualdad:
$$(x^2+13)+20=(x+1)^2$$ es decir $$x^2+33=x^2+2\,x+1$$ simplificando $$33=2\,x+1$$ esto es $$32=2\,x$$ luego $x=16$ y, por tanto, el número de páginas del libro es $16^2+13=256+13=269$.
$\square$

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¿ Qué longitud de hilo se necesita para ... ?

ENUNCIADO. Se quiere rodear una parcela cuadrada e $1225 \, \text{m}^2$ de superficie con un hilo. ¿ Cuántos metros de hilo necesitamos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud de un lado de la parcela cuadrada, entonces $1125 = x^2$, luego $=\sqrt{1225}=35 \, \text{m}$; así, el perímetro, que es $4\,x$, es $4 \cdot 35 = 140 \, \text{m}$
$\square$

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Hallar el menor número entero positivo tal que ...

ENUNCIADO. Hallar el menor número entero positivo que hay que restar a $8561$ para obtener un número cuadrado.

SOLUCIÓN. Como $91^2=8281 \prec 8561$, probamos con $92$; $92^2=8464 \prec 8561$; sin embargo $93^2=8649 \succ 8561$, luego el número cuadrado mayor que $8561$ y más cercano al mismo es $8464$. Por consiguiente, debemos encontrar $x$ tal que $8561-x=8464$, esto es, $x=8561-8464$, que es igual a 97. $\square$

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Expresar en forma de suma de términos con potencias de diez

ENUNCIADO. Expresar el número $8495,716$ como una suma de términos con potencias de diez.

SOLUCIÓN. La cantidad dada significa, en forma literal, lo siguiente: ocho millares y cuatro centenas y nueve decenas y cinco unidades y siete décimas y una centésima y seis milésimas ( de acuerdo con el significado de la notación posicional del sistema decimal ), luego podemos escribir lo que nos piden de la forma $$8495,716=8\cdot 10^3+4\cdot 10^2+9\cdot 10+5+7\cdot 10^{-1}+1 \cdot 10^{-2}+6\cdot 10^{-3}$$
$\square$

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Determinar el menor número entero tal que ...

ENUNCIADO. Determinar el menor número entero más próximo a $\sqrt{29}$ y el resto correspondiente.

SOLUCIÓN. Com $5^2=25 \prec 29$ y $6^2=36 \succ 29$, el número pedido es $5$, y el resto es igual a $29-5^2=4$.

Nota: Podemos acotar la raíz cuadrada de $29$ entre los números enteros $5$ y $6$. Y lo escribimos de la siguiente forma $5 \prec \sqrt{29} \prec 6$

$\square$

[autoría]