¿Cuál es la distancia entre los puntos que representan a los números $-6$ y $9$ en la recta de los n. reales?
La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ de la recta $\mathbb{R}$, donde $a,b$ representan números reales, se define como $\text{distancia}(a,b):=|b-a|$. Entonces, en este caso: $\text{distancia}(-6,9):=|9-(-6)|=|9+6|=15$. $\diamond$
Consideremos el segmento de la recta de los números reales cuyos extremos son $-5$ y $3$, ¿a qué número corresponde el punto medio de dicho segmento?
Nada más sencillo: el número pedido es la semisuma de los extremos: $\dfrac{(-5)+3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$. Podemos comprobarlo, calculando las distancias entre dicho punto y los extremos: éstas deben ser iguales. En efecto, $\text{distancia}(-5,-1):=|-1-(-5)|=|-1+5|=|4|=4$ y $\text{distancia}(-1,3):=|3-(-1)|=|3+1|=4$. $\diamond$
Nuestro amigo Alberto participa en una carrera de atletismo. Cerca de la meta, adelanta al participante que iba en segundo lugar, pero, ya casi llegando, le adelantan otros dos participantes, entrando él inmediatamente después. ¿En qué lugar ha quedado Alberto?
Al adelantar al participante que iba en segundo lugar, Alberto se coloca en segunda posición; pero, a su vez, y antes de entrar en meta, al ser adelantado por otros dos participantes, pasa a ocupar la posición número $2+1+1=4$, luego Alberto va a ser el cuarto en llegar.
[1] Fabrice Mazza, El gran libro de los enigmas, RBA Libros S.A. (colección Integral), Barcelona, 2008.
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El número $60$ tiene muchos divisores, muchos más que el número $10$ que es nuestra base de numeración (decimal); ello es una ventaja a la hora de realizar operaciones matemáticas (matemática asirio-babilónica), tal como veremos también en el sorprendente ejemplo del siguiente párrafo. Además, como bien sabemos, $60$ se sigue empleando en el sistema de unidades sexagesimales para contabilizar las partes de $1$ hora, y las de $1$ minuto; es un legado de dichas civilizaciones, que todavía seguimos utilizando.:
Es muy sencillo ver cuáles son estos divisores, empleando alguna herramienta automática como, por ejemplo, WolframAlpha, tal como os muestro en la siguiente figura (Fig. 2).
Si bien se nos antoja engorroso el uso de un sistema de numeración con una base tan grande, bien que se empleó en las antiguas civilizaciones mesopotámicas (sumerios, semitas, acadios, asirios, babilonios, amorreos y arameos), entre (aproximadamente) el 3500 a.C. y el 550 a.C. (matemática asirio-babilónica), tal como se refleja en las tablillas de arcilla cocida que empleaban para registrarlas, como tal es el caso de la tablilla catalogada como YBC 7289 (Fig. 2), en la que se muestra una aproximación de $\sqrt{2}$, empleando el sistema de numeración en base $60$, que se considera el primer sistema numérico posicional (anterior a nuestro sistema decimal): $\sqrt{2}\approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1.4142$.
Al parecer, el sistema de numeración en base $60$ surgió a partir de las observaciones de astronomia posicional que ya hacían los antiguos astrónomos en Mesopotamia; al clasificar los objetos en el cielo nocturno para el estudio de eclipses y elaboración del calendario (babilonio), encontraron este número de objetos. Nótese que $60$ es divisor de $360$, como lo es también $12$ (el número de meses de nuestro calendario); ambos números tienen un surtido número de divisores.
El número $360$ sigue empleándose en los cálculos y registros de matemática comercial/fianciara: el número de días del año comercial es de $360$, y ello es debido a las ventajas de comodidad de cómputo que presenta cerrar las operaciones anuales con este período de días. Ya hemos visto que $60$ tienen muchos divisores, y, claro, también tiene muchos divisores (todavía más) el número $360$, como podemos comprobar rápidamente con alguna herramienta auotomática (WolframAlpha). Vedlo en la siguiente imagen.
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No recordaba la distancia a recorrer que tiene el trayecto. Todavía no había llegado a mi destino y por tanto no podía consultar el cuentakilómetros para saberlo, lo que me hubiese permitido responder a mi pregunta dividiendo la longitud del trayecto por la velocidad que me propondría llevar al hacer el trayecto a pie (un simple cálculo de proporcionalidad directa). Sin embargo, hay una manera de calcular lo pedido sin conocer esa longitud: es también un cálculo directo y sencillo, lo cual se agradece, pues en el momento de realizar dicho cálcul, no podía escribir en un papel ni usar una calculadora, pues estaba conduciendo. Veamos de qué cálculo se trata.
Las magnitudes velocidad (se supone que ésta ha sido constante a lo largo de todo el trayecto) y tiempo empleado en realizarlo son inversamente proporcionales: $v_1\cdot t_1=v_2\cdot t_2=v_3\cdot t_3=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad inversa) no puede representar otra cosa que la longitud de camino recorrida y que, luego, calcularemos por simple curiosidad.
Sabemos que una velocidad muy razonable que se lleva al ir andando por un terreno fácil es de $4\, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, por lo tanto, mentalmente, podemos establecer que $60\cdot 8 = 4\,t$ donde $t$ es el tiempo que se tardaría andando, que es el que quiero saber. Si dividimos por $4$ ambos miembros de la igualdad, se llega a esta otra equivalente, que facilita mucho el cálculo mental: $60\cdot 2 = t$, luego $t=120\,\text{min}$, esto es, $2\,\text{h}$.
Observación: Notemos que con esto es bien sencillo calcular la longitud del trayecto; ahora, con una proporción directa entre la longitud recorrida y el tiempo empleado: $\dfrac{\ell_1}{t_1}=\dfrac{\ell_2}{t_2}=\dfrac{\ell_3}{t_3}=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad directa) representa la velocidad (constante) que lleva un vehículo que va recorriendo, con sus respectivos tiempos, diversos tramos del recorrido (sin acelerar ni frenar en ningún momento).
A todo esto, vamos a calcular (mentalmente) la distancia que he recorrido hasta llegar al destino. Como, yendo en coche, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ he recorrido $60\,\text{km}$ (o lo que es lo mismo, $1\,\text{km}$ en $1\,\text{min}$), puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{1}=\dfrac{\ell}{8}$, y por tanto $\ell=8\,\text{km}$.
Y de manera parecida, si lo razonase en el supuesto de que hubiese hecho el camino andando: como en $2\,\text{h}=120\,\text{min}$ hubiese recorrido $8\,\text{km}$, o lo que es lo mismo, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ hubiese recorrido $4\,\text{km}$, puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{4}{1}=\dfrac{\ell}{2}$, así que multiplicando por $2$ ambos miembros, se obtiene $\ell=2\cdot 4= 8\,\text{km}$. $\diamond$
En este sencillo ejercicio, expresaremos el número no entero $15,3$ (dado en base $10$) en base $2$.
El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.
Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es, $$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$
La parte fraccionaria de $15,3$ en base $10$ es $0,3$. Procedemos a expresarla en base $2$. Para ello iremos multiplicando por $2$ la parte fraccionaria, quedándonos con la secuencia de unos y ceros que vayan apareciendo en la parte fraccionaria de los resultados sucesivos:
$2\cdot \text{frac}(15,3)=2\cdot 0,3=0,6 \rightarrow 0$
$2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$
$2\cdot \text{frac}(1,2)=2\cdot 0,2=0,4 \rightarrow 0$
$2\cdot \text{frac}(0,4)=2\cdot 0,4=0,8 \rightarrow 0$
$2\cdot \text{frac}(0,8)=2\cdot 0,8=1,6 \rightarrow 1$
$2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$, volviéndose a repetir la secuencia de los pasos entre el segundo y el cuarto, ambos inclusive
Por consiguiente, podemos escribir $0,3_{10}=0,0\,1001\,1001\,11001\,\ldots$, y por tanto $$15,3_{10}=1111,0\,1001\,1001\,1001\,\ldots_{2}$$
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En este sencillo ejercicio, expresaremos $16$ (dado en base $10$) en base $3$.
El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $3$ es $\{0,1,2\}$. Vamos a expresar $16$ en serie de potencias de base $3$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros, unos y doses), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida.
Empecemos pues dividiendo $16$ entre $3$. Se obtiene cociente igual a $5$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $16=5\cdot 3+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $5$ entre $3$, obtenemos cociente igual a $1$ y resto igual a $2$, luego por el t.d.e, $5=3\cdot 1+2$, que, sustituido en (1), permite escribir $16=(3\cdot 1+2)\cdot 3+1=3^2+2\cdot 3+1=1\cdot 3^2+2\cdot 3^1+1\cdot 3^0$. En consecuencia, $$16_{10}=121_{3}$$ $\diamond$
