Ejemplo de expresión de un número no entero (con parte decimal no nula) en base $2$

En este sencillo ejercicio, expresaremos el número no entero $15,3$ (dado en base $10$) en base $2$.

Expresión de la parte entera en base $2$

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.

Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es,

$$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$ En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$

Expresión de la parte fraccionaria en base $2$

La parte fraccionaria de $15,3$ en base $10$ es $0,3$. Procedemos a expresarla en base $2$. Para ello iremos multiplicando por $2$ la parte fraccionaria, quedándonos con la secuencia de unos y ceros que vayan apareciendo en la parte fraccionaria de los resultados sucesivos:
  $2\cdot \text{frac}(15,3)=2\cdot 0,3=0,6 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$
  $2\cdot \text{frac}(1,2)=2\cdot 0,2=0,4 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,4)=2\cdot 0,4=0,8 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,8)=2\cdot 0,8=1,6 \rightarrow 1$
  $2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$, volviéndose a repetir la secuencia de los pasos entre el segundo y el cuarto, ambos inclusive
Por consiguiente, podemos escribir $0,3_{10}=0,0\,1001\,1001\,11001\,\ldots$, y por tanto

$$15,3_{10}=1111,0\,1001\,1001\,1001\,\ldots_{2}$$ $\diamond$