Un ejercicio sobre el problema del interés simple

ENUNCIADO:
Disponemos de un capital, $C$, de $400$ euros que depositamos al $3\,\%$ ( tasa de interés anual, que denotamos por $i$ ) durante un intervalo de tiempo, $t$, de $40$ días. ¿ Qué interés, $I$, ( beneficio ) se obtendrá al final de este intervalo de tiempo ?.

SOLUCIÓN:
De acuerdo con la proporcionalidad directa que hay entre el beneficio ( o interés ), $I$, y el número de años, $t$, ( que puede ser una cantidad fraccionaria de años ), podemos establecer la siguiente proporción directa:
$$\dfrac{I}{t}=\dfrac{C\,i}{1}$$
despejando $I$
$$I=C\,i\,t$$
que, con los datos del problema, queda
$$I=400 \cdot \dfrac{3}{100} \cdot \dfrac{40}{360}$$
esto es
$$I \approx 1,33 \, \text{euros}$$

NOTA:
En las operaciones comerciales, el año comercial es de $360$ días ( por convenio ).

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¿Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad?

ENUNCIADO:
¿ Qué tanto por ciento representa el $40\,\%$ del $20\,\%$ de una cierta cantidad ?.

SOLUCIÓN:
Denotando por $c$ dicha cantidad, la parte correspondiente al $40\,\%$ de la misma es $\dfrac{40}{100}\,c$, esto es $\dfrac{2}{5}\,c$.

Entonces, el $20\,\%$ -- que es lo mismo que $\dfrac{1}{5}$ -- de la cantidad parcial calculada es $\dfrac{20}{100} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right)$ es igual a
$$\dfrac{1}{5} \left( \dfrac{2}{5}\,c \right)$$
es decir
$$\dfrac{2}{25}\,c$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{8}{100}\,c$$

y, por tanto, el tanto por ciento pedido es del $8\,\%$

OBSERVACIÓN:
Con ello vemos que basta con expresar los tantos por ciento en tantos por uno y multiplicar ambos para obtener el tanto por uno resultante:
$$0,4 \cdot 0,2 = 0,08$$
para, a continuación, expresar dicho tanto por uno resultante en tanto por ciento
$$0,08 = \dfrac{8}{100} = 8\,\%$$

Así, si se tratara de calcular el tanto por ciento resultante de una cadena de más de dos tantos por ciento sucesivos de una cierta cantidad, pongamos por ejemplo que el $10\,\%$ del $20\,\%$ del $50\,\%$, el tanto por ciento equivalente seria: $0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,50 = 0,02 \cdot 0,50 = 0,10$ ( en tanto por uno ), luego expresándolo en tanto por cien, esto representa el $10\,\%$.

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Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

ENUNCIADO:
Compramos un artículo cuyo precio es de $15$ euros. El vendedor nos hace un descuento del $4\,\%$, pero por la operación comercial, debemos pagar un impuesto del $15\,\%$. ¿Cuánto tendremos que pagar por la adquisición de dicho artículo?

SOLUCIÓN:
Con el descuento del $4\,\%$, calcularemos primero la cantidad a pagar, $x$, por el artículo ( sin cargar aún el impuesto ). Planteando la proporción directa
$$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{15}$$
obtenemos $x=\dfrac{96\cdot 15}{100}$, esto es, $x=14,40$ euros.

Ahora, cargamos el impuesto a esa cantidad que acabamos de calcular, para obtener la cantidad de dinero a pagar ( que denotaremos por $y$ ) por la adquisición del artículo:
$$\dfrac{100+15}{100}=\dfrac{y}{14,40}$$
despejando $y$, obtenemos
$$y=\dfrac{115\cdot 14,40}{100}$$
y haciendo las operaciones del segundo miembro,
$$y=16,56 \, \text{euros}$$

COMENTARIO:
También podemos llegar al mismo resultado cambiando el orden de los dos pasos que hemos seguido, pues no depende de ello el resultado de ello; es decir, si calculáramos primero la cantidad a pagar por el impuesto y, sobre dicho resultado parcial, obtuviéramos el descuento, llegaríamos también a la solución.

$\square$

En unas rebajas, todos los productos están rebajados en un $5\,\%$. Hemos comprado un libro por el que hemos tenido que pagar $10$ euros. ¿Cuánto hubiésemos tenido que pagar antes de las rebajas?

ENUNCIADO:
En unas rebajas, todos los productos están rebajados en un $5\,\%$. Hemos comprado un libro por el que hemos tenido que pagar $10$ euros. ¿Cuánto hubiésemos tenido que pagar antes de las rebajas?

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que hay una proporción directa entre la cantidad a pagar ( que denotamos por $Y$ ) y el precio del libro ( que denotamos por $X$ ), podemos plantear la siguiente proporción
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
y con los datos del problema
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{10}{x}$$
esto es
$$\dfrac{100}{95}=\dfrac{x}{10}$$
despejando $x$,
$$x=\dfrac{100 \cdot 10}{95}$$
y haciendo los cálculos del segundo miembro obtenemos
$$x \approx 10,53 \, \text{euros}$$
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Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar un impuesto, con lo cual hemos tenido que pagar $22,50$ euros. ¿ Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base ?

ENUNCIADO:
Hemos comprado un producto cuyo precio era de $20,00$ euros; sin embargo, hemos tenido que pagar, además, un impuesto por dicha operación comercial, con lo cual la cantidad total a pagar ha sido de $22,50$ euros. ¿Qué tanto por ciento representa dicho impuesto sobre el precio base?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad directa entre el valor a pagar por el impuesto y el valor de base del artículo, denotando por $t$ al tanto por ciento pedido ( porcentaje del impuesto ), podemos escribir la siguiente proporción
$$\dfrac{100+t}{100}=\dfrac{22,50}{20}$$
de donde podemos despejar $t$,
$$t=\dfrac{22,50\cdot 100}{20}-100$$
y, haciendo los cálculos del segundo miembro, obtenemos
$$t=12,5\,\%$$
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Considérese una cierta cantidad. Descontamos un $10\,\%$ de la misma, y la cantidad resultante, la aumentamos un $10\,\%$. ¿Cuál es el porcentaje de variación global?

ENUNCIADO:
Considérese una cierta cantidad. Descontamos un $10\,\%$ de la misma, y la cantidad resultante, la aumentamos un $10\,\%$. ¿Cuál es el porcentaje de variación global?

SOLUCIÓN:
Al descontar un $10\,\%$ de dicha cantidad, nos quedamos con un $(100-10)\,\%=90\,\%$ de la misma, y al aumentar un $10\,\%$ este resultado parcial, obtenemos un $\dfrac{100+10}{100}\cdot \dfrac{90}{100} \,\%$ de la cantidad inicial, esto es, el $99\,\%$. Por lo tanto, el porcentaje de de variación global es de $(100-99) \, \%$, es decir, del $1\,\%$
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Proporcionalidad inversa y transmisión del movimiento ciercular entre dos ruedas por medio de una correa

ENUNCIADO:
Una correa transmite el movimiento circular de una rueda de $12\,\text{cm}$ radio, que gira a razón de $20$ vueltas por minuto, a otra rueda que tiene $5\,\text{cm}$ de radio. ¿Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda?

SOLUCIÓN:
Denotemos por $Y$ la magnitud velocidad de giro, y por $X$ la magnitud radio de la rueda. Sabemos que existe una relación de proporcionalidad inversa entre ambas magnitdues. Por lo tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$
esto es
$$y_1 \,x_1=y_2 \,x_2$$
Así,
$$20 \cdot 12=5\,y_2$$
y despejando $y_2$,
$$y_2=\dfrac{20 \cdot 12}{5}=48 \, \text{vueltas por minuto}$$
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Proporciones inversas y palancas

ENUNCIADO:
Sea una palanca de primer género. Se sabe que la magnitud distancia del punto de aplicación de la fuerza al fulcro es inversamente proporcional a dicho peso. Consideremos que la barra ( palanca ) tiene una longitud de $1\,\text{m}$ y que, para elevar un peso de $200\,\text{N}$, colocamos el fulcro a $0,20\,\text{m}$ del peso. ¿Qué fuerza deberemos realizar en el otro extremo de la barra?

SOLUCIÓN:

Sea $F$ la magnitud fuerza y $X$ la magnitud distancia al fulcro de la posición de la fuerza. Entonces, $$\dfrac{f_1}{1/x_1}=\dfrac{f_2}{1/x_2}$$ por ser inversa dicha relación de proporcionalidad, esto es
$$f_1 \,x_1=f_2 \,x_2$$
Así,
$$200 \cdot 0'20=(1-0'2)\,f_2$$
y despejando $f_2$,
$$f_2=\dfrac{40}{0'8}=50 \, \text{N}$$

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Reparto inversamente proporcional

Reparto directamente proporcional

Llenando un depósito con dos conducciones