Cálculo de la velocidad media en una excursión en bicicleta

Un ciclista ha realizado una excursión. Para hacer los primeros $5\,\text{km}$ ha tardado $15\,\text{min}$; para realizar los siguientes $10\,\text{km}$ ha empleado $20\,\text{min}$ y, finalmente, los últimos $8\,\text{km}$ los ha hecho en $30\,\text{min}$. ¿Cuál ha sido la velocidad media en el recorrido total, exprasada en kilómetros por hora?

El trayecto total es de $5+10+8=23\,\text{km}$, que se ha recorrido en $15+20+30=65\,\text{min}$; entonces, la velocidad media ha sido de $\dfrac{23}{65}\,\dfrac{\text{km}}{\text{min}}\cdot \dfrac{60}{1}\,\dfrac{\text{min}}{\text{h}}=\dfrac{23\cdot 60}{65}\approx 21\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
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Cálculos sin calculadora

Teniendo en cuenta que $2^{1024}$, calcúlese el resultado de la siguiente operación sin emplear la calculadora: $$2^{15}-2^{13}$$

  $2^{15}-2^{13}=$
    $2^{13+2}-2^{13}=$
      $2^{13}\cdot (2^2-1)=$
        $2^{13}\cdot (4-1)=$
          $2^{13}\cdot 3=$
            $2^{10+2+1}\cdot 3=$
            $2^{10}\cdot 2^2\cdot 2\cdot 3=$
              $2^{10}\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3=$
                $1\,024 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3=$
                  $2\,048 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3=$
                    $4\,096 \cdot 2\cdot 3=$
                      $8\,192 \cdot 3=$
                        $8\,192 \cdot (2+1)=$
                          $8\,192 \cdot 2+ 8\,192=$
                            $16\,384 + 8\,192=$
                              $16\,000+384 + 8\,000+192=$
                                $24\,000+384 + 192=$
                                  $24\,000+300 + 84 + 100 + 92=$
                                    $24\,000+400 + 84 + 92=$
                                      $24\,400 + 84 + 92=$
                                        $24\,400 + 90-6 + 90+2=$
                                          $24\,400 + 180-6+2=$
                                            $24\,400 + 180-4=$
                                              $24\,580-4=$
                                                $24\,576$

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Un problema de proporcionalidad sobre témpanos de hielo

Imaginemos que, navegando en el océano Antártico, cerca del contienente, avistamos un témpano de hielo desprendido de un glaciar (hielo continental). Estimamos que el volumen emergido es de $150\,\text{m}^3$ y nos preguntamos cuál es el volumen total del témpano y cuál es su masa.

Sabemos (dato) que el $89,5\,\%$ del volumen total de un témpano de hielo continental está sumergido, el volumen emergido representa un $100\,\%-89,5\,\%=10,5\,\%$ del volum total; entonces, basta con hacer un cálculo de proporcionalidad dirrecta para determinar el volumen total $V$ de dicho témpano: $\dfrac{100}{10,5}=\dfrac{V}{150}$, con lo cual $V=\dfrac{150\cdot 100}{10,5}\approx 1429\,\text{m}^3$. Como conocemos también la densida del hielo continental (otro dato), $d_{hc}=917\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, la masa que estimamos de ese témpano es de $917\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 1\,429\,\text{m}^3 = 1\,310\,393\,\text{kg}$.

Otra pregunta interesante que nos podemos hacer es la siguiente: Al estar dicho témpano de hielo formado de agua dulce, pues es hielo desprendido de un glaciar (cada litro de agua dulce tiene una masa de $1$ kilogramo) y si fuese posible aprovecharlo para el suministro de agua de una base antártica en la que viven $20$ personas, ¿para cuántos días se dispondría de agua dulce, contando con un consumo estimativo de $50\,\text{L}$ por persona y día?

Pues bien, haciendo otro sencillo cálculo de proporcionalidad directa encontramos que el suministro duraría $\dfrac{1\,310\,393\,\text{L}}{20\cdot 50 \dfrac{\text{L}}{\text{día}}} \approx 1\,310\,\text{días}$. $\diamond$

Cálculo de la masa de un cuerpo a partir de la densidad de su material (suponiendo que sea homogéneo) y su volumen

Un mecánico fresador quiere mecanizar una pieza de alumnio que tiene forma cúbica y cuya arista mide $1\,\text{dm}$. Nos gustaría saber cuál será la masa de la pieza antes de mecanizarla. ¿Cómo podríamos hacer ésto?

La solución pasa por consultar en algún libro de tablas del fresador cuál el la densidad del material a mecanizar, que, para el aluminio, se sabe que es $d=2\,700 \,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, y tener en cuenta que, como es bien sabido, la densidad se define como la razón aritmética entre la masa, $m$, y el volumen $V$, esto es, $d=\dfrac{m}{V}$, luego, $m=d\cdot V \quad \quad (1)$

Nos falta saber cuál es el volumen del cubo. Disponemos de la longitud de sus aristas, luego calcular el volumen del cubo a partir de dicho dato es bien fácil: como es bien sabido el volumen de un cubo es igual al cubo de la longitud de la arista, tenemos que $V=1^3\,\text{dm}^3=1\,\text{dm}^3=10^{-3}\,\text{m}^3$.

Finalmente, de $(1)$, se tiene que $m=2\,700\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3=2\,700 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}= 2,7 \,\text{kg}$. $\diamond$

Ejemplo de cálculo de la distancia entre dos puntos de la recta numérica de los n. reales

¿Cuál es la distancia entre los puntos que representan a los números $-6$ y $9$ en la recta de los n. reales?

La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ de la recta $\mathbb{R}$, donde $a,b$ representan números reales, se define como $\text{distancia}(a,b):=|b-a|$. Entonces, en este caso: $\text{distancia}(-6,9):=|9-(-6)|=|9+6|=15$. $\diamond$

Punto medio de un segmento de la recta numérica. Distancias entre puntos de la recta numérica

Consideremos el segmento de la recta de los números reales cuyos extremos son $-5$ y $3$, ¿a qué número corresponde el punto medio de dicho segmento?

Nada más sencillo: el número pedido es la semisuma de los extremos: $\dfrac{(-5)+3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$. Podemos comprobarlo, calculando las distancias entre dicho punto y los extremos: éstas deben ser iguales. En efecto, $\text{distancia}(-5,-1):=|-1-(-5)|=|-1+5|=|4|=4$ y $\text{distancia}(-1,3):=|3-(-1)|=|3+1|=4$. $\diamond$

¿En qué lugar entra en meta?

Nuestro amigo Alberto participa en una carrera de atletismo. Cerca de la meta, adelanta al participante que iba en segundo lugar, pero, ya casi llegando, le adelantan otros dos participantes, entrando él inmediatamente después. ¿En qué lugar ha quedado Alberto?

Al adelantar al participante que iba en segundo lugar, Alberto se coloca en segunda posición; pero, a su vez, y antes de entrar en meta, al ser adelantado por otros dos participantes, pasa a ocupar la posición número $2+1+1=4$, luego Alberto va a ser el cuarto en llegar.

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Referencias:

[1] Fabrice Mazza, El gran libro de los enigmas, RBA Libros S.A. (colección Integral), Barcelona, 2008.

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Aguas parabólicas

Parque de Santander, Chamberí, Madrid. Finales de mayo de 2023

El número $60$ como base de numeración

El número $60$ tiene muchos divisores, muchos más que el número $10$ que es nuestra base de numeración (decimal); ello es una ventaja a la hora de realizar operaciones matemáticas (matemática asirio-babilónica), tal como veremos también en el sorprendente ejemplo del siguiente párrafo. Además, como bien sabemos, $60$ se sigue empleando en el sistema de unidades sexagesimales para contabilizar las partes de $1$ hora, y las de $1$ minuto; es un legado de dichas civilizaciones, que todavía seguimos utilizando.:

Es muy sencillo ver cuáles son estos divisores, empleando alguna herramienta automática como, por ejemplo, WolframAlpha, tal como os muestro en la siguiente figura (Fig. 2).

Fig. 1 Obtención del conjunto de divisores de $60$ mediante la herramienta automática WolframAlpha

Si bien se nos antoja engorroso el uso de un sistema de numeración con una base tan grande, bien que se empleó en las antiguas civilizaciones mesopotámicas (sumerios, semitas, acadios, asirios, babilonios, amorreos y arameos), entre (aproximadamente) el 3500 a.C. y el 550 a.C. (matemática asirio-babilónica), tal como se refleja en las tablillas de arcilla cocida que empleaban para registrarlas, como tal es el caso de la tablilla catalogada como YBC 7289 (Fig. 2), en la que se muestra una aproximación de $\sqrt{2}$, empleando el sistema de numeración en base $60$, que se considera el primer sistema numérico posicional (anterior a nuestro sistema decimal): $\sqrt{2}\approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1.4142$.

Fig. 2 (créditos de la imagen: Wikipedia, [https://es.wikipedia.org/wiki/Matemática_babilónica/media/Archivo:Ybc7289-bw.jpg])

Al parecer, el sistema de numeración en base $60$ surgió a partir de las observaciones de astronomia posicional que ya hacían los antiguos astrónomos en Mesopotamia; al clasificar los objetos en el cielo nocturno para el estudio de eclipses y elaboración del calendario (babilonio), encontraron este número de objetos. Nótese que $60$ es divisor de $360$, como lo es también $12$ (el número de meses de nuestro calendario); ambos números tienen un surtido número de divisores.

El número $360$ sigue empleándose en los cálculos y registros de matemática comercial/fianciara: el número de días del año comercial es de $360$, y ello es debido a las ventajas de comodidad de cómputo que presenta cerrar las operaciones anuales con este período de días. Ya hemos visto que $60$ tienen muchos divisores, y, claro, también tiene muchos divisores (todavía más) el número $360$, como podemos comprobar rápidamente con alguna herramienta auotomática (WolframAlpha). Vedlo en la siguiente imagen.

Fig. 3 Obtención del conjunto de divisores de $60$ mediante la herramienta automática WolframAlpha

Fig. 4. Divisores de $12$

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Referencias:

  [1] WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/.
  [2] vv.aa., https://es.wikipedia.org/wiki/Matemática_babilónica, Wikipedia, 2023.

¿Y si hubiese ido a pie?

Conduciendo mi utilitario hasta un pueblecito vecino en la sierra de Guadarrama, me he fijado en que, yendo a una velocidad de $60\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ (la carretera es estrecha y tiene muchas curvas y, además, hoy hay escasa visibilidad por la niebla), he tardado $8\,\text{min}$. Durante ese corto trayecto me he preguntado cuánto tiempo tardaría si en lugar de ir en coche hubiese ido paseando.

No recordaba la distancia a recorrer que tiene el trayecto. Todavía no había llegado a mi destino y por tanto no podía consultar el cuentakilómetros para saberlo, lo que me hubiese permitido responder a mi pregunta dividiendo la longitud del trayecto por la velocidad que me propondría llevar al hacer el trayecto a pie (un simple cálculo de proporcionalidad directa). Sin embargo, hay una manera de calcular lo pedido sin conocer esa longitud: es también un cálculo directo y sencillo, lo cual se agradece, pues en el momento de realizar dicho cálcul, no podía escribir en un papel ni usar una calculadora, pues estaba conduciendo. Veamos de qué cálculo se trata.

Las magnitudes velocidad (se supone que ésta ha sido constante a lo largo de todo el trayecto) y tiempo empleado en realizarlo son inversamente proporcionales: $v_1\cdot t_1=v_2\cdot t_2=v_3\cdot t_3=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad inversa) no puede representar otra cosa que la longitud de camino recorrida y que, luego, calcularemos por simple curiosidad.

Sabemos que una velocidad muy razonable que se lleva al ir andando por un terreno fácil es de $4\, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, por lo tanto, mentalmente, podemos establecer que $60\cdot 8 = 4\,t$ donde $t$ es el tiempo que se tardaría andando, que es el que quiero saber. Si dividimos por $4$ ambos miembros de la igualdad, se llega a esta otra equivalente, que facilita mucho el cálculo mental: $60\cdot 2 = t$, luego $t=120\,\text{min}$, esto es, $2\,\text{h}$.

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Observación: Notemos que con esto es bien sencillo calcular la longitud del trayecto; ahora, con una proporción directa entre la longitud recorrida y el tiempo empleado: $\dfrac{\ell_1}{t_1}=\dfrac{\ell_2}{t_2}=\dfrac{\ell_3}{t_3}=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad directa) representa la velocidad (constante) que lleva un vehículo que va recorriendo, con sus respectivos tiempos, diversos tramos del recorrido (sin acelerar ni frenar en ningún momento).

A todo esto, vamos a calcular (mentalmente) la distancia que he recorrido hasta llegar al destino. Como, yendo en coche, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ he recorrido $60\,\text{km}$ (o lo que es lo mismo, $1\,\text{km}$ en $1\,\text{min}$), puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{1}=\dfrac{\ell}{8}$, y por tanto $\ell=8\,\text{km}$.

Y de manera parecida, si lo razonase en el supuesto de que hubiese hecho el camino andando: como en $2\,\text{h}=120\,\text{min}$ hubiese recorrido $8\,\text{km}$, o lo que es lo mismo, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ hubiese recorrido $4\,\text{km}$, puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{4}{1}=\dfrac{\ell}{2}$, así que multiplicando por $2$ ambos miembros, se obtiene $\ell=2\cdot 4= 8\,\text{km}$. $\diamond$

Ejemplo de expresión de un número no entero (con parte decimal no nula) en base $2$

En este sencillo ejercicio, expresaremos el número no entero $15,3$ (dado en base $10$) en base $2$.

Expresión de la parte entera en base $2$

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.

Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es, $$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$

Expresión de la parte fraccionaria en base $2$

La parte fraccionaria de $15,3$ en base $10$ es $0,3$. Procedemos a expresarla en base $2$. Para ello iremos multiplicando por $2$ la parte fraccionaria, quedándonos con la secuencia de unos y ceros que vayan apareciendo en la parte fraccionaria de los resultados sucesivos:
  $2\cdot \text{frac}(15,3)=2\cdot 0,3=0,6 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$
  $2\cdot \text{frac}(1,2)=2\cdot 0,2=0,4 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,4)=2\cdot 0,4=0,8 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,8)=2\cdot 0,8=1,6 \rightarrow 1$
  $2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$, volviéndose a repetir la secuencia de los pasos entre el segundo y el cuarto, ambos inclusive
Por consiguiente, podemos escribir $0,3_{10}=0,0\,1001\,1001\,11001\,\ldots$, y por tanto $$15,3_{10}=1111,0\,1001\,1001\,1001\,\ldots_{2}$$ $\diamond$

Un ejercicio sencillo sobre bases de numeración

En este sencillo ejercicio, expresaremos $16$ (dado en base $10$) en base $3$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $3$ es $\{0,1,2\}$. Vamos a expresar $16$ en serie de potencias de base $3$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros, unos y doses), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida.

Empecemos pues dividiendo $16$ entre $3$. Se obtiene cociente igual a $5$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $16=5\cdot 3+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $5$ entre $3$, obtenemos cociente igual a $1$ y resto igual a $2$, luego por el t.d.e, $5=3\cdot 1+2$, que, sustituido en (1), permite escribir $16=(3\cdot 1+2)\cdot 3+1=3^2+2\cdot 3+1=1\cdot 3^2+2\cdot 3^1+1\cdot 3^0$. En consecuencia, $$16_{10}=121_{3}$$ $\diamond$

Los únicos primos pares son 2 y -2

Demostración:
Supongamos que no sea así, esto es, supongamos que existe otro número primo par, $p$, tal que dicho primo sea mayor que $2$ o bien menor que $-2$. En tal caso, dicho número ha de ser necesariamente múltiplo $\pm 2$ (por ser par), y, por tanto, por ser compuesto, no puede ser primo, llegando así a una contradicción, con lo que hemos terminado. $\square$

Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con ayuda de GeoGebra. Un ejemplo

A vueltas con el teorema de Pitágoras

Ejercicio 7 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Proporcionalidad inversa

ENUNCIADO. Ejercicio 19 de la página 151 del libro base ( Unidad Didáctica 7 )
Tres desagües vacían un estanque en 10 horas. ¿ En cuánto tiempo se vaciaría con cuatro desagües ?.

INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. El tiempo de vaciado es inversamente proporcional al número de desagües. Denotempos por $x$ al tiempo pedido, entonces $$\dfrac{x}{1/4}=\dfrac{10}{1/3}$$ y por tanto $$4\,x=10\cdot 3$$ con lo cual $$x=\dfrac{30}{4}\, \text{h} = 7,5\,\text{h}=7\,\text{h}\,\text{y}\,30\,\text{min}$$
$\square$

Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas de aritmética con ayuda del álgebra

ENUNCIADO. Ejercicio 76 de la página 140 del libro base ( Unidad Didáctica 6 )
Una trabajadora gana 3 euros más por hora que otra. Si la primera gana en 12 horas un total de 9 euros menos que la segunda en 22 horas, ¿ cuánto gana por hora cada una ?

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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el ingreso ( en euros ) por hora de la primera trabajadora, y por $y$ el ingreso ( en euros ) por hora de la segunda trabajadora. Según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x=y+3 \\ 22y-12x=9 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión del segundo miembro de la primera ecuación en el término donde figura $x$ en la{} segunda, llegamos a $$22\,y-12\,(y+3)=9$$ que resolvemos fácilmente $$22y-12y=36+9$$ $$10\,y=45$$ luego $$y=45/10=4,5\,\text{euro}/\text{h}=4\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$ por tanto, su compañera percibe $$3+4,5=7,5\,\text{euros}/\text{hora}=7\,\text{euros}\,\text{y}\,50\,\text{céntimos de euro}\,\text{cada hora}$$
$\square$

Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Ecuaciones. Resolución de problemas aritméticos con ayuda del álgebra

ENUNCIADO. Ejercicio 113 de la página 117 del libro base ( Unidad Didáctica 5 )
Tenemos un depósito de bebida con un 5% de zumo natural. ¿ Qué cantidad de bebida con un 12% de zumo natural debemos añadir para obtener 140 litros de bebida con un 8% de zumo natural ?

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SOLUCIÓN. Denotempos por $x$ a la cantidad de bebida pedida (que tenemos que añadir). Según la información del enunciado, podemos plantear la siguiente ecuación, describiendo la cantidad de zumo natural en cada uno de los dos miembros de la igualdad: $$\dfrac{12}{100}\,x+\dfrac{5}{100}\cdot (140-x)=\dfrac{8}{100}\cdot 140$$ esto es $$12\,x+5\,(140-x)=140\cdot 8$$ $$12x+700-5x=1120$$ $$7x=1120-700$$ $$7\,x=420$$ $$x=420/7=60$$ En conclusión: tenemos que añadir 60 litros de bebida con un 12% de zumo natural. $\square$

Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Operaciones con polinomios

ENUNCIADO. Ejercicio 104 ( apartado c ) de la página 94 del libro base ( Unidad Didáctica 4 )
Calcula y simplifica:
$$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$$

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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

$\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)=$

  $=-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$

  $=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x\right)\cdot \left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\,x\right) -\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$

  $=-\left(\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\,x\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$

  $=-\left( \left( \dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2 +2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\,x^2 + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \right)-\left(\dfrac{1}{2}\,x^2+\dfrac{3}{2}\right)$

  $=-2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,x^2\right)^2-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}$

  $=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{3}{2}\,x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}$

  $=-\dfrac{1}{2}\,x^4-\dfrac{7}{4}\,x^2-\dfrac{15}{4}$

Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Potencias. Múltiplos y submúltiplos del Sistema Métrico Decimal

ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 70 del libro base ( Unidad Didáctica 3 ) - ligeramente modificado -
Dividimos un cuadrado de 1 metro de lado en cuatro cuadrados iguales; seleccionamos uno de ellos y lo dividimos también en cuatro cuadrados iguales, y así sucesivamente. Calcula:
a) La longitud del lado del cuadrado más pequeño después de hacer 10 iteraciones (expresada en notación científica y en micrómetros )
b) El área del cuadrado más pequeño después de 5 iteraciones ( expresada en notación científica y en micrómetros cuadrados )

AYUDA. $1\,\mu \text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$

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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.
La longitud de los lados en las sucesivas iteraciones del proceso son:
$1/4\,,\,1/4^2\,,\,1/4^3,\ldots,1/4^n$, para $n=1,2,3,\ldots$
y las áreas de los cuadrados más pequeños que se obtienen en cada iteración son:
$(1/4)\cdot(1/4)\,,\,(1/4^2)\cdot (1/4)^2\,,\,(1/4^3)\cdot(1/4)^3,\ldots,(1/4^n)\cdot (1/4)^n$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )
esto es
$1/4^2\,,\,1/4^4\,,\,1/4^6,\ldots,1/4^{2n}$, para $n=1,2,3,\ldots$ ( metros cuadrados )

Luego,
a) para $n:=10$, la longitud del lado del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{10}$ metros, esto es $=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}=1/2^{20}\,\text{m}=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}$
 $= 0,9534\,\mu m = 9,534 \cdot 10^{-1}\,\mu m$

b) y para $n:=5$, el área del cuadrado más pequeño es igual a $1/4^{2\cdot 5}=1/4^{10}=1/(2^{2})^{10}=1/2^{2\cdot 10}$ metros cuadrados, esto es $1/2^{20}\,\text{m}^2=1/1\,048\,576 \approx 9,5367 \cdot 10^{-7}\, \text{m}^2 \cdot \dfrac{(10^6)^{2}}{1}\,\dfrac{\mu \text{m}^2}{\text{m}^2}=$
  $=0,9534 \cdot 10^5\,\mu \text{m}^2=9,534\cdot 10^{4}\,\mu \text{m}^2 $