Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado: $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&2 \\ x &+&y&=&0 \\ \end{matrix}\right.$$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado:
$$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
x &+&y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

Resolución:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones llegamos a $2\,x=2$, que es una ecuación equivalente a cada una de las dos ecuaciones originales, y, de ésta, deducimos que $x=1$. Sustituyendo, ahora, este resultado en ( por ejemplo ) la segunda ecuación, obtenemos el otro resultado, $y=-1$.

[nota del autor]

Resolver $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$

Enunciado:
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$

Resolución:
  $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$

    $30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$     ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )

      $\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$

        $6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$

          $6\,x+9=2-2\,x-x-3$

            $6\,x+2\,x+x=2-3-9$

              $9\,x=-10$

                $x=-\dfrac{10}{9}$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente proporción: $\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$

Enunciado:
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$

Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$

Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
  $\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
    $2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
      $2\cdot 2=1 \cdot x$
        $4=x$
          es decir, $x=4$


$\blacksquare$

[nota del autor]

Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.

Enunciado:
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.

a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]

b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos cinco puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos cuatro puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.

Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$

Enunciado:
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$

Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )

Solución:

apartados: a), f) y g)

apartados: b) y c)

apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )

apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).

apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$

$\square$

[nota del autor]

Dados los siguientes valores de una cierta variable estadistica $X$: $$\{3,5,3,3,1,2,4,2,2,3,3,6,3,1,4,4,1,2,2,2,3\}$$ Se pide: a) Realizar el recuento de los valores de la variables estadística y organizar los valores en una tabla de frecuencias b) Representar el diagrama de frecuencias c) Representar el diagrama de frecuencias acumuladas d) Hallar la moda e) Hallar la mediana f) Hallar la media aritmética g) Hallar el rango

Enunciado:
Dados los siguientes valores de una cierta variable estadistica $X$: $$\{3,5,3,3,1,2,4,2,2,3,3,6,3,1,4,4,1,2,2,2,3\}$$
Se pide:
a) Realizar el recuento de los valores de la variables estadística y organizar los valores en una tabla de frecuencias
b) Representar el diagrama de frecuencias
c) Representar el diagrama de frecuencias acumuladas
d) Hallar la moda
e) Hallar la mediana
f) Hallar la media aritmética
g) Hallar el rango

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $y=x^2-3$

Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=x^2-3$

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $y=\dfrac{1}{x}$

Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=\dfrac{1}{x}$

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $y=2^x$

Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=2^x$

Resolución:
Vamos a calcular unos cuantos puntos para poder perfilar el trazo del gráfico, dando valores arbitrarios a la variable independiente $x$, concretamente: $-3,-2,-1,0,1,2$, y $3$.
Caluemos las imágenes de estos valores de $x$:
    $f(3)=2^3=8$
    $f(2)=2^2=4$
    $f(1)=2^1=2$
    $f(0)=2^0=1$
    $f(-1)=2^{-1}=\text{inv}(2)=1/2=0,5$
    $f(-2)=2^{-2}=2^{-1\cdot 2}=\big(2^2\big)^{-1}=\text{inv}(2^2)=\dfrac{1}{2^2}=1/4=0,25$
    $f(-3)=2^{-3}=2^{-1\cdot 3}=\big(2^3\big)^{-1}=\text{inv}(2^3)=\dfrac{1}{2^3}=1/8=0,125$

obteniendo así, los siguientes puntos que están sobre el trazo de la función:
    $A(3,8)$
    $B(2,4)$
    $C(1,2)$
    $D(0,1)$
    $E(-1,0'5)$
    $F(-2,0'25)$
    $A(-3,0'125)$

Representado dichos puntos y perfilando el trazo:

$\blacksquare$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $y=2\,x-1$

Enunciado:
Representar gráficamente la función $y=2\,x-1$

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

En una librería se hace un descuento del $25\,\%$ sobre el precio de todos los libros. Hemos comprado un libro de cuentos que nos ha costado $15\,\text{euro}$. ¿ Cuánto hubiésemos pagado por dicho libro si el descuento hubiese sido del $0\,\%$ ?.

Enunciado:
En una librería se hace un descuento del $25\,\%$ sobre el precio de todos los libros. Hemos comprado un libro de cuentos que nos ha costado $15\,\text{euro}$. ¿ Cuánto hubiésemos pagado por dicho libro si el descuento hubiese sido del $0\,\%$ ?.

Resolución:
Denotemos por $x$ el precio del producto; planteando la correspondiente proporción,
$$\dfrac{100}{100-25}=\dfrac{x}{15}$$
y de aquí
$$x=15\cdot \dfrac{100}{75}=20\,\text{euro}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Escribir el nombre del tipo de función que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Escribir el nombre del tipo de función que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones:
  a) $y=x+1$
  b) $y=x^2$
  c) $y=3^x$
  d) $y=1/x$

Resolución:
  a) $y=x+1$ función lineal afín ( o función de proporcionalidad directa, o función polinómica de primer grado )
  b) $y=x^2$ función polinómica de segundo grado ( o función cuadrática )
  c) $y=3^x$ función exponencial
  d) $y=1/x$ función de proporcionalidad inversa

$\blacksquare$

[nota del autor]

Dibujar un diagrama cartesiano a partir de la siguiente tabla y razonar si los puntos representados corresponden a una función:

Enunciado:
Dibujar un diagrama cartesiano a partir de la siguiente tabla y razonar si los puntos representados corresponden a una función:

Resolución:

[Hacer clic en la imagen para visualizarla mejor]

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea la función $y=2^x$. Calcular las ordenadas de los siguientes puntos: $A(0\,,\,\square)$ $B(1\,,\,\square)$ $C(2\,,\,\square)$ $D(3\,,\,\square)$ Finalmente, dibujar los puntos en un diagrama cartesiano y perfilar el trazo que corresponde a dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?.

Enunciado:
Sea la función $y=2^x$. Calcular las ordenadas de los siguientes puntos:
  $A(0\,,\,\square)$
  $B(1\,,\,\square)$
  $C(2\,,\,\square)$
  $D(3\,,\,\square)$
Finalmente, dibujar los puntos en un diagrama cartesiano y perfilar el trazo que corresponde a dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?.

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea la función $y=x+4$. Calcular las ordenadas de los siguientes puntos: $A(-3\,,\,\square)$ $B(-2\,,\,\square)$ $C(-1\,,\,\square)$ $D(0\,,\,\square)$ $E(1\,,\,\square)$ $F(2\,,\,\square)$ $G(3\,,\,\square)$ Finalmente, dibujar los puntos en un diagrama cartesiano y perfilar el trazo que corresponde a dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?.

Enunciado:
Sea la función $y=x+4$. Calcular las ordenadas de los siguientes puntos:
  $A(-3\,,\,\square)$
  $B(-2\,,\,\square)$
  $C(-1\,,\,\square)$
  $D(0\,,\,\square)$
  $E(1\,,\,\square)$
  $F(2\,,\,\square)$
  $G(3\,,\,\square)$
Finalmente, dibujar los puntos en un diagrama cartesiano y perfilar el trazo que corresponde a dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?.

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

Un rectángulo mide $15\,\text{cm}$ de largo y $12\,\text{cm}$ de ancho. Sabemos que el ancho de otro rectángulo, que tiene la misma superficie que el primero, mide $9\,\text{cm}$. ¿Cuál es la longitud de su otro lado?

Enunciado:
Un rectángulo mide $15\,\text{cm}$ de largo y $12\,\text{cm}$ de ancho. Sabemos que el ancho de otro rectángulo, que tiene la misma superficie que el primero, mide $9\,\text{cm}$. ¿Cuál es la longitud de su otro lado?

Resolución:
Sea $x$ la longitud del lado desconocido del segundo rectángulo, entonces, de acuerdo con la información del enunciado, podemos plantear la siguiente igualdad, $15 \cdot 12 = 9\,x$, y, de aquí, $x=\dfrac{15 \cdot 12}{9}=20\,\text{cm}$
$\blacksquare$

[nota del autor]

En un momento del día, un edificio proyecta una sombra sobre el suelo de $20\,\text{m}$ de longitud. Sabemos también que la sombra de un árbol, que mide de $5\,\text{m}$ de altura, tiene $4\,\text{m}$ de longitud. ¿ Cuál es la altura del edificio ?.

Enunciado:
En un momento del día, un edificio proyecta una sombra sobre el suelo de $20\,\text{m}$ de longitud. Sabemos también que la sombra de un árbol, que mide de $5\,\text{m}$ de altura, tiene $4\,\text{m}$ de longitud. ¿ Cuál es la altura del edificio ?.

Resolución:

$\blacksquare$

[nota del autor]

El $3\,\%$ de una cierta cantidad es $75$. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.

Enunciado:
El $3\,\%$ de una cierta cantidad es $75$. ¿ De qué cantidad estamos hablando ?.

Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida, entonces por la relación de proporcionalidad directa entre la cantidad deducida y la cantidad total: $\dfrac{100}{3}=\dfrac{x}{75}$, con lo cual $x=75 \cdot \dfrac{100}{3} = \dfrac{75}{3} \cdot 100 = 25 \cdot 100 = 2\,500$
$\blacksquare$

[nota del autor]

¿Qué interés producirán $1000\,\,\text{euro}$ prestados a una tasa de interés anual del $2\,\%$ en un tiempo de $3$ años?

Enunciado:
¿Qué interés producirán $1000\,\,\text{euro}$ prestados a una tasa de interés anual del $2\,\%$ en un tiempo de $3$ años?

Resolución:
En $1$ año, $1000\,\,\text{euro}$ producen un interés de $\dfrac{2}{100}\cdot 1000 = 20\,\text{euro}$, luego en $3$ años se obtiene el triple de dicha cantidad, esto es: $3\cdot 20 = 60 \,\text{euro}$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcula el valor de $x$ en la siguiente proporción $\dfrac{2}{5}=\dfrac{x+5}{150}$

Enunciado:
Calcula el valor de $x$ en la siguiente proporción $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{x+5}{150}$$

Resolución:

$\dfrac{2}{5}=\dfrac{x+5}{150}$

  $\dfrac{2}{5} \cdot 150=x+5$

    $\dfrac{2}{5} \cdot 150 - 5=x$

      $60 - 5=x$

        $55=x$

          $x=55$

$\blacksquare$

[nota del autor]