miércoles, 10 de febrero de 2016
martes, 9 de febrero de 2016
Descuentos
ENUNCIADO. En época de rebajas, con una tasa de descuento del $5\,\%$, hemos adquirido unos pantalones por los que hemos pagado $20$ euros. ¿ Cuánto hubiésemos tenido que pagar si los hubiésemos comprado antes de las rebajas ?.
SOLUCIÓN. Podemos contemplar este tipo de problemas en clave de tasas de variación e índices de variación de una cierta magnitud. La tasa de variación de la cantidad a desenmbolsar al comprar un artículo ( en este caso, la variación se debe a la aplicación de una rebaja en el precio ) es $-0,05$ ( expresado en tanto por unidad ), luego el índice de variación es $1+(-0,05)=0,95$ ( expresado en tanto por unidad ); y, como el índice de variación es igual a la razón entre la cantidad final ( que corresponde a los $20$ euros que debemos pagar ) y la cantidad inicial ( vamos a denotarla por $x$ ) [ deberá ser, lógicamente, mayor que $20$ euros ] cumple que $$\dfrac{20}{x}=0,95$$ luego $x=\dfrac{20}{0,95}\approx 21,05 \; \text{euros}$ ( redondeando al céntimo ).
Una forma más práctica de emplear las mismas ideas consiste en plantear, directamente, una sencilla proporción empleando tantos por cientos, que corresponde a la igualdad entre dos razones ( entre lo que pagamos y lo que pagaríamos sin el descuento -- recordemos que denotamos ésto último por $x$ --) , y que es la siguiente $$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$ [ Observemos que el miembro de la izquierda es, precisamente, el índice de variación, en base $100$ ]
Por tanto $$\dfrac{x}{20}=\dfrac{100}{95}$$ y despejando $x$ $$x=\dfrac{20 \cdot 100}{95} \approx 21,05\; \text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Podemos contemplar este tipo de problemas en clave de tasas de variación e índices de variación de una cierta magnitud. La tasa de variación de la cantidad a desenmbolsar al comprar un artículo ( en este caso, la variación se debe a la aplicación de una rebaja en el precio ) es $-0,05$ ( expresado en tanto por unidad ), luego el índice de variación es $1+(-0,05)=0,95$ ( expresado en tanto por unidad ); y, como el índice de variación es igual a la razón entre la cantidad final ( que corresponde a los $20$ euros que debemos pagar ) y la cantidad inicial ( vamos a denotarla por $x$ ) [ deberá ser, lógicamente, mayor que $20$ euros ] cumple que $$\dfrac{20}{x}=0,95$$ luego $x=\dfrac{20}{0,95}\approx 21,05 \; \text{euros}$ ( redondeando al céntimo ).
Una forma más práctica de emplear las mismas ideas consiste en plantear, directamente, una sencilla proporción empleando tantos por cientos, que corresponde a la igualdad entre dos razones ( entre lo que pagamos y lo que pagaríamos sin el descuento -- recordemos que denotamos ésto último por $x$ --) , y que es la siguiente $$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$ [ Observemos que el miembro de la izquierda es, precisamente, el índice de variación, en base $100$ ]
Por tanto $$\dfrac{x}{20}=\dfrac{100}{95}$$ y despejando $x$ $$x=\dfrac{20 \cdot 100}{95} \approx 21,05\; \text{euros}$$
$\square$
Tasa e índice de variación
ENUNCIADO. El censo de una población ha pasado de tener un valor de $450$ a $440$ personas. Se pide:
a) ¿ Cuál es la tasa de variación ? ( expresarla en tanto por ciento )
b) ¿ Cuál es el índice de variación ? ( expresarlo en tanto por unidad )
SOLUCIÓN.
a) La tasa de variación es la diferencia entre el valor final y el valor inicial relativa a éste último; por tanto, es igual a $\dfrac{440-450}{450}=\dfrac{-10}{450}=-\dfrac{1}{45}=-0,0\bar{2}$ ( expresado en tanto por unidad ), por lo que expresado en tanto por ciento es $-2,\bar{2}\,\% \approx -2,22\,\%$. Nota: el que la tasa de variación sea negativa indica que la variación ha representado una disminución.
b) El índice de variación se define como la razón entre el valor final y el valor inicial, y, por tanto, en este caso es igual a $\dfrac{440}{450}=0,9\bar{8} \approx 0,9889$. Nota: el que sea menor que $1$ indica que la variación ha representado una disminución.
$\square$
a) ¿ Cuál es la tasa de variación ? ( expresarla en tanto por ciento )
b) ¿ Cuál es el índice de variación ? ( expresarlo en tanto por unidad )
SOLUCIÓN.
a) La tasa de variación es la diferencia entre el valor final y el valor inicial relativa a éste último; por tanto, es igual a $\dfrac{440-450}{450}=\dfrac{-10}{450}=-\dfrac{1}{45}=-0,0\bar{2}$ ( expresado en tanto por unidad ), por lo que expresado en tanto por ciento es $-2,\bar{2}\,\% \approx -2,22\,\%$. Nota: el que la tasa de variación sea negativa indica que la variación ha representado una disminución.
b) El índice de variación se define como la razón entre el valor final y el valor inicial, y, por tanto, en este caso es igual a $\dfrac{440}{450}=0,9\bar{8} \approx 0,9889$. Nota: el que sea menor que $1$ indica que la variación ha representado una disminución.
$\square$
Repartos directamente proporcionales
ENUNCIADO. Repartir $300$ en partes directamente proporcionales a $1$, $2$ y $3$, respectivamente.
SOLUCIÓN. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a estas tres partes pedidas. Entonces, podemos plantear una triple igualdad entre tres razones ( las razones entre la parte pedida y el valor respectivo de la otra magnitud ): $$\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3} \quad \quad \quad (1) $$ A partir de estas razones equivalentes, podemos obtener una nueva razón, que es equivalente a cada una de las otras tres; esta nueva razón es, por la propiedad básica de varias fracciones equivalentes, es igual a $$\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ que no es otra que la constante de proporcionalidad ( que denotamos por $k$ ) $$k=\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ y como $x+y+z$ ha de ser igual a la cantidad total a repartir $300$, vemos que $$K=\dfrac{300}{1+2+3}=\dfrac{300}{6}=50$$
Ahora, dada la triple igualdad (1), tenemos $$\dfrac{x}{1}=50 \Rightarrow x=50$$ $$\dfrac{y}{2}=50 \Rightarrow y=2\cdot 50=100$$ $$\dfrac{z}{3}=50 \Rightarrow z=3\cdot 50=150$$
$\square$
SOLUCIÓN. Llamemos $x$, $y$ y $z$ a estas tres partes pedidas. Entonces, podemos plantear una triple igualdad entre tres razones ( las razones entre la parte pedida y el valor respectivo de la otra magnitud ): $$\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3} \quad \quad \quad (1) $$ A partir de estas razones equivalentes, podemos obtener una nueva razón, que es equivalente a cada una de las otras tres; esta nueva razón es, por la propiedad básica de varias fracciones equivalentes, es igual a $$\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ que no es otra que la constante de proporcionalidad ( que denotamos por $k$ ) $$k=\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$$ y como $x+y+z$ ha de ser igual a la cantidad total a repartir $300$, vemos que $$K=\dfrac{300}{1+2+3}=\dfrac{300}{6}=50$$
Ahora, dada la triple igualdad (1), tenemos $$\dfrac{x}{1}=50 \Rightarrow x=50$$ $$\dfrac{y}{2}=50 \Rightarrow y=2\cdot 50=100$$ $$\dfrac{z}{3}=50 \Rightarrow z=3\cdot 50=150$$
$\square$
Un problema de proporcionalidad inversa
ENUNCIADO. Una rueda dentada de $20$ dientes y que gira a razón de $10$ vueltas por minuto, transmite el movimiento a otra rueda dentada que tiene $50$ dientes. ¿ Cuántas vueltas por minuto da esa segunda rueda ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN. Cuando dos ruedas dentadas se engranan, una trasmite el movimiento de giro a la otra ( que gira en sentido contrario al de la primera ). Además, hay que tener en cuenta que cuánto menor sea el número de dientes de una rueda, mayor será su velocidad de giro. Hay, por tanto, una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ ( número de dientes ) e $Y$ ( velocidad de giro de la misma ). Por tanto, para dos pares de valores ( uno para cada rueda dentada ): $x_1=20$ dientes e $y_1=10$ vueltas por minuto; y, $x_2=50$ dientes e $y_2$ ( la incógnita en el problema ). Así, de acuerdo a la proporción inversa que hemos comentado, podemos escribir $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$ que, como sabemos, podemos escribir también de la forma $$x_1\,y_1=x_2\,y_2$$ y poniendo los datos $$20\cdot 10=50\cdot y_2$$ es decir $$200=50\,y_2$$ luego, despejando, $y_2$, llegamos a $$y_2=\dfrac{10\cdot 20}{50}=4\;\text{vueltas por minuto}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN. Cuando dos ruedas dentadas se engranan, una trasmite el movimiento de giro a la otra ( que gira en sentido contrario al de la primera ). Además, hay que tener en cuenta que cuánto menor sea el número de dientes de una rueda, mayor será su velocidad de giro. Hay, por tanto, una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ ( número de dientes ) e $Y$ ( velocidad de giro de la misma ). Por tanto, para dos pares de valores ( uno para cada rueda dentada ): $x_1=20$ dientes e $y_1=10$ vueltas por minuto; y, $x_2=50$ dientes e $y_2$ ( la incógnita en el problema ). Así, de acuerdo a la proporción inversa que hemos comentado, podemos escribir $$\dfrac{y_1}{1/x_1}=\dfrac{y_2}{1/x_2}$$ que, como sabemos, podemos escribir también de la forma $$x_1\,y_1=x_2\,y_2$$ y poniendo los datos $$20\cdot 10=50\cdot y_2$$ es decir $$200=50\,y_2$$ luego, despejando, $y_2$, llegamos a $$y_2=\dfrac{10\cdot 20}{50}=4\;\text{vueltas por minuto}$$
$\square$
Cuarta proporcional
ENUNCIADO. Hallar el valor de $x$ en la siguiente proporción ( al que llamamos cuarta proporcional ):
$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{4}{10}$$
SOLUCIÓN.
Se llama este problema de cuarta proporcional porque, de los cuatro términos de la proporción, se conocen tres de los mismos; y, el cuarto, representa la incógnita. Una forma rutinaria de resolverlo consiste en recordar ( de lo explicado en clase ) que para que se cumpla la igualdad entre las dos razones ( de la igualdad ), han de ser iguales, también, el producto de medios y el producto de extremos. Así, $2 \cdot 10 = 4 x$. Así, despejando $x$, obtenemos $$x=\dfrac{20}{4}=5$$
Otra forma de resolver el problema es la de contemplarlo como una ecuación de primer grado, utilizando las técnicas de resolución que sean apropiadas para este caso, que es el de una igualdad de fracciones; por tanto, debemos reducir a común denominador ambos miembros de la igualdad. En este caso, la incógnita está en el denominador del primer miembro, lo que dificulta un poco el hacer este paso. Ahora bien, como también debe cumplirse la igualdad de los inversos, la ecuación pedida es equivalente a $$\dfrac{x}{2}=\dfrac{10}{4}$$ Multiplicando ambos miembros por el mínimo común denominador de los denominadores, $\text{mcm}(2,4)=4$, podemos escribir $$4 \cdot \dfrac{x}{2}=4 \cdot \dfrac{10}{4}$$ y simmplificando $$2\,x=10$$ con lo que, despejando $x$ se obtiene $$x=5$$
$\square$
$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{4}{10}$$
SOLUCIÓN.
Se llama este problema de cuarta proporcional porque, de los cuatro términos de la proporción, se conocen tres de los mismos; y, el cuarto, representa la incógnita. Una forma rutinaria de resolverlo consiste en recordar ( de lo explicado en clase ) que para que se cumpla la igualdad entre las dos razones ( de la igualdad ), han de ser iguales, también, el producto de medios y el producto de extremos. Así, $2 \cdot 10 = 4 x$. Así, despejando $x$, obtenemos $$x=\dfrac{20}{4}=5$$
Otra forma de resolver el problema es la de contemplarlo como una ecuación de primer grado, utilizando las técnicas de resolución que sean apropiadas para este caso, que es el de una igualdad de fracciones; por tanto, debemos reducir a común denominador ambos miembros de la igualdad. En este caso, la incógnita está en el denominador del primer miembro, lo que dificulta un poco el hacer este paso. Ahora bien, como también debe cumplirse la igualdad de los inversos, la ecuación pedida es equivalente a $$\dfrac{x}{2}=\dfrac{10}{4}$$ Multiplicando ambos miembros por el mínimo común denominador de los denominadores, $\text{mcm}(2,4)=4$, podemos escribir $$4 \cdot \dfrac{x}{2}=4 \cdot \dfrac{10}{4}$$ y simmplificando $$2\,x=10$$ con lo que, despejando $x$ se obtiene $$x=5$$
$\square$
Plantear mediante el álgebra y resolver el siguiente problema
ENUNCIADO. La suma de un número y el doble de otro es igual a $1$, y la diferencia entre dichos números es $0$. ¿ De qué números estamos hablando ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ a uno de los sumandos. Entonces, por la segunda frase ( "la diferencia entre dichos números es $0$" ), deducimos que el otro número tiene que ser igual al primero. Ahora bien, por la primera frase ("La suma de un número y el doble de otro es igual a $1$" ), podemos escribir $$x+2x=1$$ luego $3x=1$, y, depejando $x$, encontramos su valor: $$x=\dfrac{1}{3}$$ El otro número tiene que tener este mismo valor, es decir, $\dfrac{1}{3}$.
Comprobación: $\dfrac{1}{3}+2\cdot \dfrac{1}{3} \overset{?}{=}1$. En efecto, el valor del primer miembro es $\dfrac{1}{3}+2\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1+2}{3}=\dfrac{3}{3}=1$, que se corresponde con el valor del segundo.
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ a uno de los sumandos. Entonces, por la segunda frase ( "la diferencia entre dichos números es $0$" ), deducimos que el otro número tiene que ser igual al primero. Ahora bien, por la primera frase ("La suma de un número y el doble de otro es igual a $1$" ), podemos escribir $$x+2x=1$$ luego $3x=1$, y, depejando $x$, encontramos su valor: $$x=\dfrac{1}{3}$$ El otro número tiene que tener este mismo valor, es decir, $\dfrac{1}{3}$.
Comprobación: $\dfrac{1}{3}+2\cdot \dfrac{1}{3} \overset{?}{=}1$. En efecto, el valor del primer miembro es $\dfrac{1}{3}+2\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1+2}{3}=\dfrac{3}{3}=1$, que se corresponde con el valor del segundo.
$\square$
viernes, 5 de febrero de 2016
Un problema de proporcionalidad compuesta
ENUNCIADO. Dos pintores pintan un muro de $30$ metros cuadrados en $20$ minutos. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igualmente hábiles y trabajando en paralelo, sin interrumpirse unos a otros ) en pintar un muro de $90$ metros cuadrados ?
SOLUCIÓN. Este es un problema de proporcionalidad compuesta, pues intervienen tres magnitudes: el tiempo empleado $X$, el número de pintores $Y$, y el área a pintar $Z$. Vamos a resolverlo en dos pasos:
Primer paso. Como $X$ es directamente proporcional a $Z$ podemos plantear la siguiente proporción directa para calcular el tiempo, $x_2$, que tardan $2$ pintores en pintar $90$ metros cuadrados $$\dfrac{x_2}{90}=\dfrac{20}{30}$$ despejando $x_2$ obtenemos $$x_2=60 \; \text{minutos}$$
Segundo paso. Teniendo en cuanta, ahora, que, por otra parte, $X$ es inversamente proporcional $Y$, y denotando por $x_3$ el tiempo que tardarían $3$ pintores en pintar el muro de $90$ metros cuadrados, podemos plantear la siguiente proporción inversa $$\dfrac{x_3}{1/3}=\dfrac{60}{1/2}$$ esto es $$3\,x_3=120$$ luego $$x_3=40\;\text{minutos}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Este es un problema de proporcionalidad compuesta, pues intervienen tres magnitudes: el tiempo empleado $X$, el número de pintores $Y$, y el área a pintar $Z$. Vamos a resolverlo en dos pasos:
Primer paso. Como $X$ es directamente proporcional a $Z$ podemos plantear la siguiente proporción directa para calcular el tiempo, $x_2$, que tardan $2$ pintores en pintar $90$ metros cuadrados $$\dfrac{x_2}{90}=\dfrac{20}{30}$$ despejando $x_2$ obtenemos $$x_2=60 \; \text{minutos}$$
Segundo paso. Teniendo en cuanta, ahora, que, por otra parte, $X$ es inversamente proporcional $Y$, y denotando por $x_3$ el tiempo que tardarían $3$ pintores en pintar el muro de $90$ metros cuadrados, podemos plantear la siguiente proporción inversa $$\dfrac{x_3}{1/3}=\dfrac{60}{1/2}$$ esto es $$3\,x_3=120$$ luego $$x_3=40\;\text{minutos}$$
$\square$
lunes, 1 de febrero de 2016
Tasa de variación e índice de variación
Sea un magnitud $X$. Supongamos que su valor cambia de $x_i$ a $x_f$. Decimos entonces que la variación, $V$, entre estas dos medidas de $X$ es igual a $x_f-x_i$; y, que la variación relativa con respecto del valor inicial, o tasa de variación, $TV$, es $\dfrac{x_f-x_i}{x_i}$ ( esto es $\dfrac{V}{x_i}$ ), que viene, así, dada en tanto por unidad, si bien es usual expresarla también en tanto por ciento.
Observemos que debe cumplirse la siguiente proporción ( igualdad de razones aritméticas ) $$\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$$ expresando la tasa de variación en tanto por ciento, también podemos escribir $$\dfrac{x_f}{x_i}=\dfrac{100+TV}{100}$$ La cantidad del segundo miembro, $1+TV$, se denomina índice de variación ( y la denotaremos por $IV$ ) de la magnitud $X$ correspondiente al cambio de valores de dicha magnitud, de $x_i$ a $x_f$
Ejemplo:
ENUNCIADO.
En un municipio, la magnitud número de personas censadas, entre dos medidas, de la misma pasa de $400$ a $395$. ¿ Cuál la variación del censo entre estas dos medidas ? ¿ Cuál es la tasa de variación del censo ? ¿ Cuál es el valor del índice de variación del censo ?
SOLUCIÓN.
La variación del censo es $V=395-400=-5$. El que la variación sea negativa es debido a la disminución ( decremento ) del número de personas censadas de una medida ( $x_i=400$ ) a la siguiente ( $x_f=395$ )
La tasa de variación, $TV=\dfrac{V}{x_i}$, tiene el siguiente valor: $TV=\dfrac{-5}{400}=-0,0125$, que en tanto por ciento es igual a $-1,25\,\%$. Observación: el valor negativo de la tasa de variación indica que se ha producido una disminución.
El índice de variación, $IV=\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$, tiene el siguiente valor: $IV=1+(-0,0125)=0,9875$, que en tanto por ciento es igual a $98,75\,\%$. El que este valor sea inferior al $100\,\%$ denota que se ha producido una disminución del censo ( si se hubiese dado un aumento, este valor hubiese sido superior al $100\,\%$ ). Una observación más: tal y como se ha comentado, también podemos obtener el valor del índice de variación dividiendo $x_f$ entre $x_i$; en efecto, $IV=\dfrac{395}{400}=0,9875$, que expresado en tanto por ciento corresponde al $98,75\,\%$. $\square$
Observemos que debe cumplirse la siguiente proporción ( igualdad de razones aritméticas ) $$\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$$ expresando la tasa de variación en tanto por ciento, también podemos escribir $$\dfrac{x_f}{x_i}=\dfrac{100+TV}{100}$$ La cantidad del segundo miembro, $1+TV$, se denomina índice de variación ( y la denotaremos por $IV$ ) de la magnitud $X$ correspondiente al cambio de valores de dicha magnitud, de $x_i$ a $x_f$
Ejemplo:
ENUNCIADO.
En un municipio, la magnitud número de personas censadas, entre dos medidas, de la misma pasa de $400$ a $395$. ¿ Cuál la variación del censo entre estas dos medidas ? ¿ Cuál es la tasa de variación del censo ? ¿ Cuál es el valor del índice de variación del censo ?
SOLUCIÓN.
La variación del censo es $V=395-400=-5$. El que la variación sea negativa es debido a la disminución ( decremento ) del número de personas censadas de una medida ( $x_i=400$ ) a la siguiente ( $x_f=395$ )
La tasa de variación, $TV=\dfrac{V}{x_i}$, tiene el siguiente valor: $TV=\dfrac{-5}{400}=-0,0125$, que en tanto por ciento es igual a $-1,25\,\%$. Observación: el valor negativo de la tasa de variación indica que se ha producido una disminución.
El índice de variación, $IV=\dfrac{x_f}{x_i}=1+TV$, tiene el siguiente valor: $IV=1+(-0,0125)=0,9875$, que en tanto por ciento es igual a $98,75\,\%$. El que este valor sea inferior al $100\,\%$ denota que se ha producido una disminución del censo ( si se hubiese dado un aumento, este valor hubiese sido superior al $100\,\%$ ). Una observación más: tal y como se ha comentado, también podemos obtener el valor del índice de variación dividiendo $x_f$ entre $x_i$; en efecto, $IV=\dfrac{395}{400}=0,9875$, que expresado en tanto por ciento corresponde al $98,75\,\%$. $\square$
Suscribirse a:
Entradas (Atom)