Resolver

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $2x-1=4-7x$
b) $3\,(1-x)=4+5\,x$

SOLUCIÓN.
a)
$2x-1=4-7x$
  $2x+7x=4+1$
    $9x=5$
      $x=\dfrac{5}{9}$

b)
$3\,(1-x)=4+5\,x$
  $3 \cdot 1-3\,x=4+5\,x$
    $3-3\,x=4+5\,x$
      $3-4=5\,x+3\,x$
        $-1=8\,x$
          $x=\dfrac{-1}{8}=-\dfrac{1}{8}$
$\square$

Expresar en el lenguaje del álgebra

ENUNCIADO. Escribir las expresiones algebraicas:
a) El cuadrado de la diferencia de dos números
b) El inverso de un número
c) El opuesto de un número
d) El área de un círculo de radio dado
e) La longitud de una circunferencia de radio dado

SOLUCIÓN.
a) $(x-y)^2$
b) $\dfrac{1}{x}$
c) $-x$
d) $\pi \, r^2$
e) $2\,\pi\,r$
$\square$

Dividir los polinomios ...

ENUNCIADO. Calcular el polinomio cociente y el polinomio resto que corresponden a la siguiente división de polinomios: $$(4\,x^3-5\,x+1) \div 3\,x^2$$
y comprobar que se cumple el teorema de la división ( de polinomios ).

SOLUCIÓN.

Comprobación:

$\square$

Hallar el valor numérico de los polinomios, dados los siguientes valores de la variable

ENUNCIADO. Hallar el valor numérico del polinomio $$A(x)=7\,x^2-x+5\,x+5$$ para los siguientes valores de la variable $x$:
a) $x=-1$
b) $x=2$

SOLUCIÓN.
a)
$P(-1)=7\cdot (-1)^2-(-1)+5\cdot (-1)+5$
      $=7\cdot 1+1-5+5$
        $=7+1-5+5$
          $=8-5+5$
            $=8$

b)
$P(2)=7\cdot 2^2-2+5\cdot 2+5$
      $=7\cdot 4-2+10+5$
        $=28-2+10+5$
          $=26+10+5$
            $=36+5$
              $=41$

$\square$

Operar los siguientes polinomios

ENUNCIADO. Considérense los polinomios $$P(x)=8\,x^3+x^2-4\,x+5$$ $$Q(x)=3\,x^2-x^2+x-1$$ Realizar las siguientes operaciones con polinomios y decir cuál es el grado de los polinomios resultantes:
a) $2\,P(x)$
b) $-3\,Q(x)$
c) $P(x)+Q(x)$
d) $P(x)-Q(x)$
e) $Q(x)-P(x)$
f) $P(x)\cdot Q(x)$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,P(x)=2\cdot ( 8\,x^3+x^2-4\,x+5 )= 2\cdot 8 \,x ^3+2\,x^2-2\cdot 4\,x+2\cdot 5=$
    $=16 \,x ^3+2\,x^2-8\,x+10$. El grado del polinomio resultante es $3$.

b)
$(-3)\,P(x)=(-3)\cdot ( 8\,x^3+x^2-4\,x+5 )=$
  $=(-3)\cdot 8 \,x ^3+(-3)\cdot x^2+(-3)(-4\,x)+(-3)\cdot 5=$
    $=-24 \,x ^3-3\,x^2+12\,x-15. $El grado del polinomio resultante es $3$.

c)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)+(3\,x^2-x^2+x-1)=8\,x^3+4\,x^2-3\,x+4$. El grado del polinomio resultante es $3$.

d)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)-(3\,x^2-x^2+x-1)=8\,x^3+x^2-3\,x^2-4\,x-x+5-(-1)=$
  $=8\,x^3-2\,x^2-5\,x+6$. El grado del polinomio resultante es $3$.

e)
$Q(x)-P(x)=-(P(x)-Q(x))=-(8\,x^3-2\,x^2-5\,x+6)=-8\,x^3+2\,x^2+5\,x-6$. El grado del polinomio resultante es $3$.

f)
$(8\,x^3+x^2-4\,x+5)\cdot (3\,x^2-x^2+x-1)=(8\,x^3+x^2-4\,x+5)\cdot (2\,x^2+x-1)=$
  $=16\,x^5+2x^4-8x^3-10x^2+$
    $+(-8)x^4-x^3+4x^2-5x+$
      $+(-8)x^3-x^2+4x-5=$
        $16x^5-6x^4-17x^3+13x^2-x-5$. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores, esto es, el grado es $5$ ( como, además, podemos apreciar al observar el término de mayor grado ).
$\square$

Plantear mediante el álgebra y resolver

ENUNCIADO. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía $12$ euros. ¿Cuánto dinero tenía Ana antes de hacer su compra ?.

SOLUCIÓN.
Llamemos $x$ a la cantidad de dinero que tenía Ana antes de entrar en la librería. Entonces, $$x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\,(x-\dfrac{x}{3})+12$$
Resolviendo esta ecuación:
$x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\,(x-\dfrac{x}{3})+12$
  $x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\,x+12$
    $x=\dfrac{x}{3}+\dfrac{4}{9}\,x+12$
      $9x=9\cdot \dfrac{x}{3}+9\cdot \dfrac{4}{9}\,x+9\cdot 12$
        $9x=3x+4x+108$
          $9x-3x-4x=108$
            $2x=108$
              $x=108/2=54\;\text{euros}$
$\square$

Plantear y resolver

ENUNCIADO. El largo de un marco rectangular es el doble del ancho. ¿ Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide $30$ centímetros ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el ancho del marco, entonces
$$2\,(2x+x)=30$$
Resolvamos la ecuación:
$2\,(2x+x)=30$
  $2x+x=15$
    $3x=15$
      $x=15/3=5 \; \text{cm}$
luego el largo es igual a $2x=2\cdot 5=10\;\text{cm}$
$\square$

Platear y resolver el siguiente problema

ENUNCIADO. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta el número $54$. ¿ De qué número estamos hablando ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número pedido. Entonces, $$2x-\dfrac{x}{2}=54$$
Resolvamos, ahora, la ecuación:
$2x-\dfrac{x}{2}=54$
  $2\cdot 2x-2\cdot \dfrac{x}{2}=2\cdot 54$
    $4x-x=108$
      $3x=108$
        $x=\dfrac{108}{3}$
          $x=36$
$\square$

Resolver las ecuaciones de segundo grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) $x^2+4\,x-5=0$
b) $(x+1)(x-2)=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2+4\,x-5=0$
  $1\cdot x^2+4\,x+(-5)=0$. Por tanto, en $ax^2+bx+c=0$, los valores de los coeficientes son $a=1$; $b=4$ y $c=-5$. Así, $$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-4\pm \sqrt{36}}{2}=\dfrac{-4\pm 6}{2}$$
luego $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-4-6}{2}=\dfrac{-10}{2}=-5\end{matrix}\right.$
Resumiendo, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de números $\{-5\,,\,1\}$

b)
$(x+1)(x-2)=0$
Esta igualdad a $0$ sólo es posible si $x+1=0$, y, por tanto, si $x=-1$; o bien, si $x-2=0$, y, por tanto, si $x=2$. En conclusión, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de números $\{-1\,,\,2\}$
$\square$

Resolver las ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) $2\,x+5=1-3\,x$
b) $\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{5}{18}=\dfrac{x+1}{12}$

SOLUCIÓN.
a)
$2\,x+5=1-3\,x$
  $2\,x+4\,x=1-5$
    $6\,x=-4$
      $x=\dfrac{-4}{6}$
        $x=-\dfrac{4}{6}$
          $x=-\dfrac{2}{3}$

b)
$\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{5}{18}=\dfrac{x+1}{12}$
Multiplicando en ambos miembros por $\text{m.c.m}(3,18,12)=\text{m.c.m}(3,2\cdot 3^2,2^2\cdot 3)=2^2\cdot 3^2=36$, obtenemos la siguiente ecuación equivalente
  $36\cdot \dfrac{x+1}{3}-36\cdot\dfrac{5}{18}=36\cdot\dfrac{x+1}{12}$
    $12\cdot(x+1)-2\cdot 5=3\cdot (x+1)$
      $12\,x+12-10=3\,x+3$
        $12\,x-3\,x=3-12+10$
          $9\,x=1$
            $x=\dfrac{1}{9}$
$\square$