¿ Es posible construir un marco en forma de triángulo rectángulo isósceles de forma que ... ?

ENUNCIADO. Un carpintero quiere construir un marco que tenga forma de triángulo rectángulo isósceles ( una escuadra ), de forma que, tomando como base la hipotenusa del mismo, la altura de dicho triángulo mida $3$ decímetros. Dispone para ello de un listón de madera de $15$ decímetros. ¿ Es suficiente la longitud del listón para poder construir la escuadra ?.

SOLUCIÓN. La altura del triángulo referida en el enunciado divide a al triángulos en dos triángulos rectángulos isósceles iguales, y a la base correspondiente ( la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ), en dos segmentos iguales cuya longitud debe ser, por tanto, igual a la de la altura, esto es, de $3\;\text{dm}$.

Así, el perímetro del triángulo es igual a $2(3+x)$, donde $x$ representa la longitud de cada uno de los dos catetos; ahora bien, por el teorema de Pitágoras aplicado a cualquiera de los dos triángulos rectángulos isósceles en que queda dividido el triángulo rectángulo isósceles que queremos construir, podemos escribir que $x^2=3^2+3^2$ y, por tanto, $x=3\,\sqrt{2}\,\text{dm}$. Esto nos permite calcular ya el valor del perímetro del triángulo rectángulo isósceles que queremos construir: $P=2(3+x)=2(3+3\,\sqrt{2})=6\,(\sqrt{2}+1) \approx 14,49 \; \text{dm}$, que es menor que la longitud del listón disponible.

Por consiguiente podemos afirmar que sí es suficiente dicho listón para poder cortar los tres trozos necesarios para la construcción del triángulo rectángulo isósceles pedido. Y sus medidas son las siguientes: hipotenusa, $2\cdot 3=6\; \text{dm}$; y, cada uno de los dos catetos, $x=3\,\sqrt{2} \approx 4,24 \; \text{dm}$
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Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación del segundo trimestre ( temas: 6-10 ), realizado el Viernes 1/04/2016

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Representar la gráfica de la función cuadrática ...

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=(x-1)^2$. Encontrar las imágenes de los siguientes valores de la variable independiente, $x$: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Confeccionar una tabla numérica y, finalmente, dibujar la gráfica de la función, representando los puntos así obtenidos y perfilando el trazo que pasa por ellos. ¿ Hay proporcionalidad entre la variable $x$ y la variable $y$ ?.

SOLUCIÓN.

La función $f(x)$ que se propone es cuadrática ( por la potencia al cuadrado del binomio $x-1$ ), luego no es de proporcionalidad ( ni directa ni inversa ), por consiguiente podemos afirmar que no hay proporcionalidad entre las variables $x$ e $y$. Otra forma de llegar a la misma conclusión consiste en comprobar que la gráfica de la función no es ni una recta ( en cuyo caso sería de proporcionalidad directa ) ni una hipérbola ( lo que daría lugar a una proporción inversa ). $\square$

Encontrar la función

ENUNCIADO. Un cierto servicio telefónico cobra a sus clientes $20$ céntimos de euro por el establecimiento de llamada y $50$ céntimos de euro por cada minuto de duración de la llamada. Se pide:
a) Escribir la expresión de la función que da el coste de la llamada en función del tiempo de la misma
b) Representar la gráfica de dicha función. ¿ Qué tipo de función es ?
c) ¿ Cuánto cuesta hacer una llamada de $6$ minutos de duración ?

SOLUCIÓN.
a) Llamemos $x$ a la duración de la llamada, entonces el coste de la misma viene dada por la función $f(x)=0,50\,x+0,20$ ( en euros )

b) Como la función $f$ es de proporcionalidad directa, su gráfica es una semirrecta; basta calcular dos puntos de la misma para determinarla; por ejemplo, $A(0\,,\,0'20)$ y $B(-0'4\,,\,0)$

La parte punteada del gráfico sólo nos ha servido para representar la semirrecta ( en trazo continuo ) que describe la relación entre la duración de la llamada $x \ge 0$ y el coste del servicio.

c) Así, hacer una llamada de $6$ minutos cuesta $f(6)=0,50 \cdot 5 + 0,20 = 3,20$ euros.

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¿ Cuánto nos costará un libro que ... ?

ENUNCIADO. Queremos comprar un libro valorado en $20,00$ euros. El libro está en oferta y por ese motivo está rebajado en un $6\,\%$ con respecto al valor del mismo. Sin embargo, debemos abonar al librero un $12\,\%$ con respecto a valor del libro, en concepto de impuestos. ¿ Cuánto nos costará ?.

SOLUCIÓN.
Podemos hacer el cálculo ( que otras veces hemos expuesto paso a paso ) con una sóla operación ( combinada ) multiplicando el valor nominal y cada una de las dos índices de variación ( de descuento y de impuesto, respectivamente, y que se obtienen de las tasas respectivas ), la cantidad a pagar será: $$20,00 \cdot \dfrac{100-6}{100}\cdot \dfrac{100+12}{100} \approx 21,06 \; \text{euros}$$
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Repartir de forma directamente proporcional

ENUNCIADO. Una abuela quiere repartir $120$ galletas entre sus tres nietos, de forma directamente proporcional a la edad de los mismos: $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. ¿ Cuántas galletas le corresponde a cada uno de ellos ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$, $y$ y $z$ a las cantidades de galletas que corresponden a los nietos de $7$, $8$ y $9$ años, respectivamente. Entonces, planteando las igualdades entre las razones aritméticas ( proporcionalidad ) podemos escribir: $$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{9}$$ que, a su vez, han de ser iguales a $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}$, y como $x+y+z=120$, se tiene que $\dfrac{x+y+z}{7+8+9}=\dfrac{120}{25}=5$, que es la constante de proporcionalidad directa. Así,
$$\dfrac{x}{7}=5 \Rightarrow x=7 \cdot 5 = 35 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{y}{8}=5 \Rightarrow y=8 \cdot 5 = 40 \; \text{galletas}$$
$$\dfrac{z}{9}=5 \Rightarrow z=9 \cdot 5 = 45 \; \text{galletas}$$

Comprobación: Como cabía esperar, comprobamos que, cuánto más años tenga cada nieto más galletas le corresponde; y, se cumple que la suma de las tres cantidades obtenidas es igual al número total de galletas a repartir: $35+40+45=120$

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Hallar el perímetro de un cuadrado tal que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto cuadrado mide $121\;\text{cm}^2$. ¿ Cuánto mide el perímetro de dicho cuadrado ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ al lado del cuadrado, entonces $x^2=121$, luego $x=\sqrt{121}=11\;\text{cm}$. Y, por tanto, el perímetro es igual a $4\cdot 11 = 44 \; \text{cm}$
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Hacer un estudio estadístico

ENUNCIADO. En un examen se han obtenido las siguientes notas enteras ( en una escala del $1$ a $5$ ) $$\{3,2,1,3,2,4,2,3,1,3,2,4,3,3,2,1,4,3,1,3,2,2,3,2,3,5,5\}$$ Se pide:
a) Elaborar una tabla en la que aparezcan cinco columnas: la primera, para los distintos valores de la variable estadística $X$, que es la nota obtenida; la segunda, para las frecuencias del recuento
( $f$ ) de las distintos valores enteros de la variable nota; la tercera, para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$; la cuarta, como ayuda para los cálculos de la media $\bar{x}$; y, la quinta, como ayuda para calcular la desviación media.
b) Dibujar el diagrama de puntos y trazar la línea poligonal de frecuencias.
c) Calcular la moda ( parámetro estadístico de posición )
d) Calcular la mediana ( parámetro estadístico de posición )
e) Calcular la media ( parámetro estadístico de posición )
f) Calcular la desviación media ( parámetro estadístico de dispersión )
g) ¿ Qué conclusiones se desprenden ( sobre el rendimiento global en dicha prueba ) ahora que ya has elaborado la tabla, has realizado el gráfico y has calculado el valor de los parámetros estadísticos ?


SOLUCIÓN.
Este ejercicio es muy parecido a [ este otro ]. Dejo al lector/a el trabajo ( rutinario ) de seguir los mismos pasos. $\square$