Puntos del trazo de una función

Enunciat:
Esbrineu si el punt $P(-1,1)$ es troba damunt del traç ( de la corba ) corresponent a la funció $y=x^2+x+1$

Solució:
Si el punt $P$ forma part de la corba, les seves coordenades han de satisfer l'equació, per tant cal veure si
    $1\overset{?}{=}(-1)^2+(-1)+1 \quad \quad (1)$
en efecte, calculant el valor del segon membre de la suposada igualtat, trobem
    $(-1)^2+(-1)+1=1-1+1=1$
que és igual al valor del primer membre de (1)
i això implica que el punt $P$ forma part de la corba o traç donada per la funció de l'enunciat.
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Ejercicio de interpretación de gráficos

Enunciat:
En Pere, sortint de casa seva a les les 07:00 h, ha anat a caminar fins el a l'ermita, ha descansat, i ha tornat. A l'anada, ha caminat a una velocitat de cinc quilòmetres per hora, durant quaranta mintus. Després s'ha aturat vint minuts a descansar i, tot seguit, ha caminat en sentit invers fins a casa seva, a una velocitat de tres quilòmetres per hora.
    (a) Quina longitud té el recorregut ?
    (b) A quina hora ha tornat a casa ?
    (c) Dibuixeu el traç de la funció $x=f(t)$ en un diagrama cartesià, representant: els instants de temps, $t$, a l'eix d'abscisses ( eix horitzontal ); i els valors de la distància del punt del recorregut on en Pere es troba en cada moment ( respecte de casa seva ), $x$, a l'eix d'ordenades ( eix vertical ).

Solució:
    (a)
Plantejant una proporció directa entre la longitud de camí recorregut i el temps emprat en fer-la ( expressat en minuts ), podem calcular la distància de casa seva a l'ermita
    $\dfrac{5}{60}=\dfrac{d_{ermita}}{40}$
per tant
    $d_{ermita}=5\cdot \dfrac{40}{60}=3,\bar{3}\,\text{km}$
que és la meitat del recorregut; per tant, el recorregut total té una longitud de
    $2\cdot 3,\bar{3}\,\text{km} \approx 6 \, \text{km} \; \text{i}\; 667\,\text{m}$

    (b)
El temps que ha tardat a la tornada, $t_{tornada}$, es calcula plantejant la proporció directa entre la longitud de camí recorreguda i el temps emprat ( on expressem les quantitats de temps en minuts i les longituds en quilòmetres )
    $\dfrac{60}{3}=\dfrac{t_{tornada}}{3,\bar{3}} \Rightarrow t_{tornada} = \dfrac{60 \cdot 3,\bar{3}}{3} = 66,\bar{6} \, \text{min} \approx 1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
===
Nota:
Com un càlcul alternatiu, i per comprovar que tot surt bé, també podem calcular això plantejant la proporció inversa entre la velocitat i el temps que cal per recorrer una determinada longitud de camí:
    $v_1\,t_1=v_2\,t_2$
és a dir
    $5\cdot 40=3\,t_{tornada} \rightarrow t_{tornada}=40\cdot \dfrac{5}{3}=66,\bar{6}\,\text{min}$
és a dir
    $1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
que, en efecte, és la mateixa quantitat de temps obtinguda plantejant la proporció directa entre la longitud recorreguda i el temps emprat.
===
Llavors, el temps que ha tardat des que ha sortit de casa fins que hi ha tornat s'obté sumant les tres quantitats de temps ( el d'anada, el de descans i el de tornada ):
    $40 \, \text{min} + 20 \, \text{min} + 1 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
que és igual a
    $2 \, \text{h} \; 6 \, \text{min} \; 40 \, \text{s}$
Per tant, ha tornat a ser a casa a les
    $07:00:00+2:06:40 \rightarrow 09:06:40\;\text{hores}$

    (c)

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Queremos comprar un libro cuyo precio nominal ...

ENUNCIADO:
Queremos comprar un libro cuyo precio nominal es de $10$ euros. Como estamos en época de rebajas, el libro tiene un descuento del $10\,\%$; sin embargo, el vendedor nos tiene que cargar un impuesto por la operación comercial, que es del $10\,\%$ sobre el precio de venta. ¿ Cuánto deberemos pagar ?

SOLUCIÓN:
Con el descuento nos saldría por $10-10\cdot \dfrac{10}{100}=9$ euros ( precio de venta ); sin embargo, al tener que añadir un $10\,\%$ a esa cantidad, en concepto de impuestos, deberemos pagar $9+9\cdot \dfrac{10}{100}=9,9$ euros, esto es, $9$ euros y $90$ céntimos de euro.
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Al pedalear, un ciclista hace girar el plato de una bicicleta de $42$ dientes, movimiento que es ...

ENUNCIADO:
Al pedalear, un ciclista hace girar el plato de una bicicleta de $42$ dientes, movimiento que es transmitido a la rueda trasera, en la que se ha seleccionado un piñón de $11$ dientes. El plato da una vuelta cada segundo. Sabiendo que la ruedas de la bicicleta tienen un diámetro de $26$ pulgadas, ¿ cuántos metros recorre la bicicleta cada segundo ?

SOLUCIÓN:
Como hay una relación de proporcionalidad inversa entre la velocidad de giro, $w$ y el diámetro, y por tanto el número de dientes, $z$, podemos escribir,
$$11\,w_{\text{trasera}}=42\cdot 1$$
de donde
$$w_{\text{trasera}}=\dfrac{42}{11} \, \text{vueltas/segundo}$$

Como la longitud de la circunferencia ( de la rueda ) es $\pi\,d$ ( siendo $d=26$ pulgadas el diámetro de la rueda ), en $1$ segundo recorrerá $26\cdot \pi \cdot \dfrac{42}{11}$ pulgadas, es decir $26\cdot \pi \cdot \dfrac{42}{11} \cdot 0,0254 \, \text{m} \approx 7,92 \, \text{m}$

Observación:
Contabilizando la frecuencia del pedaleo, el ciclista puede estimar ( haciendo cálculo mental ) la velocidad a la que se está desplazando.

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Una conducción de agua llena un depósito vacío en $3$ horas. Dicho depósito puede vaciarse mediante un desagüe en $4$ horas ...

ENUNCIADO:

Se nos informa de que una conducción de agua llena un depósito ( en un principio, completamente vacío ) en $3$ horas. Una vez lleno, dicho depósito puede vaciarse mediante un desagüe en $4$ horas.

Consideremos que el contenido del depósito es el $30\,\%$ de su capacidad y, por error, se han dejado abiertas las válvulas de entrada de agua y de vaciado. Se pide:
a) ¿ Podrá llenarse el depósito ?
b) En el caso de que la respuesta anterior haya sido afirmativa, ¿ en cuánto tiempo se llenará el depósito ?

SOLUCIÓN:
(a)
Interpretando la información que se nos da en el enunciado, vemos que en $1$ hora se llena $1/4$ del depósito y, en el mismo tiempo, se vacía $1/3$ parte; así que la fracción de depósito que se llena/vacía es $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}$, que es igual a $\dfrac{1}{12}$ ( cantidad positiva ), luego el depósito se va a llenar ( aún estando abierto el desagüe ).

Nota: de haber sido negativa dicha suma, deberíamos deducir de ello que el depósito nunca se llenaría, pues la cantidad de agua que en ese caso saldría del mismo por unidad de tiempo sería mayor que la que entraría.

(b)
Veamos ahora en cuánto tiempo se llena. Planteando la proporción correspondiente entre la fracción de depósito a llenar ( que es del $100\,\%-30\,\%$=$70\,\%$ ) y el tiempo, $t$, necesario para ello,
$$\dfrac{t}{70/100}=\dfrac{1}{1/12}$$
despejando la incógnita,
$$t=\dfrac{70\cdot 12}{100}$$
y calculando el segundo miembro
$$t=8,4 \,\text{horas}=8\,\text{horas}\,\text{y}\,24\,\text{minutos}$$

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Ejercicios de proporcionalidad