Relación entre el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros

ENUNCIADO:
Sabiendo que $\text{m.c.d}(|15|,|-10|)=5$ ( es decir, $\text{m.c.d}(15,-10)=\pm \,5$ ) , determinar $\text{m.c.m}(15,-10)$

SOLUCIÓN:
Sabemos que dados dos números enteros $m$ y $n$, se cumple la siguiente propiedad: $$\text{m.c.d}(|m|,|n|) \cdot \text{m.c.m}(|m|,|n|)=|m|\cdot |n|$$ entoces podemos escribir $$5 \cdot \text{m.c.m}(|15|,|-10|) = 15 \cdot 10$$ de donde, despejando $\text{m.c.m}(|15|,|-10|)$ obtenemos $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{|15| \cdot |-10|}{5} $$ esto es $$\text{m.c.m}(|15|,|-10|)=\dfrac{150}{5}=30 $$ luego deducimos que $$\text{m.c.m}(15,-10)=\pm \, 30$$
$\square$

[autoría]

Realizar la siguiente división con números enteros ...

ENUNCIADO:
Hallar el cociente y el resto de la división entera $-15 \div 7$

SOLUCIÓN:
El teorema de la división entera dice que dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente, entonces podemos encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$, a los que denominamos cociente y resto de la división, que cumple las siguientes condiciones:
i) $D=d\cdot c +r$
y
ii) $0 \le r \prec |d|$ ( el resto es mayor o igual que cero y menor que el valor absoluto del divisor )

Procedemos a encontrar los números $c$ y $r$ que cumplen estas condiciones, siendo $D:=-15$ y $d:=7$. Para el cociente, probemos con un número tal que multiplicado por el divisor $7$ nos dé un número que se aproxime al dividendo, que es $-15$. Por la regla de los signos del producto, sabemos que debe ser negativo ( ya que el dividendo es negativo y el divisor positivo ); así que, ensayemos el número $c \rightarrow -2$. Como $-2 \cdot 7 = -14 \succ -15$, el resto de la división seria $-15-(7\cdot (-2)=-1\prec 0$, luego al ser el resto negativo se incumple la segunda condición y por tanto no podemos admitir $-2$ como cociente, así que pasemos al siguiente número entero más pequeño, es decir hagamos $c \rightarrow -3$. Como $-3 \cdot 7 = -21$, y el resto es $-15-(7\cdot (-3)=6\succ 0$ ( se cumple la segunda condición ), concluimos que $c=-3$, luego el resto de la división debe ser $-15-(-21)=-14+21=6$, es decir $r=6$.

Sólo nos falta comprobar que, con estos valores del cociente y resto, se cumple también la primera condición; en efecto: $-15=7\cdot (-3)+6$. Por consiguiente, podemos afirmar que el cociente y el resto pedidos son: $c=-3$ y $r=7$

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Hallar el máximo común divisor de los números naturales $64$ y $24$, empleando el método de Euclides

ENUNCIADO:
Determinar el máximo común divisor de $64$ y $24$ empleando el método de las divisiones sucesivas o método de Euclides.

SOLUCIÓN:
Este método se basa en hallar el cociente y el resto de la división de números naturales [ lógicamente, entre el mayor de los dos números ( $D_1$ ) y el menor ($d_1$ ) ]; si el resto de dicha división es $0$, el máximo común divisor pedido es igual al menor de los dos ( el divisor ), y hemos terminado; si no es así, hacemos otra división, donde el nuevo dividendo es ahora el antiguo divisor y el nuevo divisor el antiguo resto, haciendo la misma comprobación ( si el nuevo resto es cero, el máximo común divisor de los dos números pedidos es el divisor de dicha división ); en caso contrario, volvemos a repetir el mismo paso ( otra división, asignando nuevo dividendo y nuevo divisor ) y, así, una y otra vez, hasta llegar a una división cuyo resto sea cero, de lo cual concluiremos que el $\text{m.c.d}(64,24)$ ha de ser igual al divisor de esta última división, y terminamos.

Bien, en el caso del enunciado:

$D_1=64$ y $d_1=24$ y realizamos la división
$$64 \div 24 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_1=2 \\
\\
\text{y}
\\
r_1=16 \neq 0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
D_2:=d_1=24 \\
\\
d_2:=r_1=16
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.$$

como el resto no es cero, continuamos ...

$D_2=24$ y $d_2=16$ y realizamos la división:
$$24 \div 16 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_2=1 \\
\\
\text{y}
\\
r_2=8 \neq 0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
D_3:=d_2=16 \\
\\
d_3:=r_2=8
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.$$

como el resto no es cero, continuamos ...

$D_3=16$ y $d_3=8$ y realizamos la división:
$$16 \div 8 \rightarrow \left\{\begin{matrix}
c_3=2 \\
\\
\text{y}
\\
r_2=0
\end{matrix}\right.$$

y como el resto ( en este paso ) es cero , concluimos que $\text{m.c.d.}(64,24)=d_3=8$, y hemos terminado.

OBSERVACIÓN: Teniendo en cuenta que todo número natural es también un número entero, si interpretamos los números naturales dados como números enteros, debemos decir que el $\text{m.c.d.}(64,24)$ no es tan solo $8$ sino también $-8$; en efecto, al ser el resto de la división $64 \div (-8)$ ( ahora, división entera ) igual a $0$, es claro que $-8$ también es divisor de $64$; y, lo mismo, sucede con respecto a la división de $24$ entre $-8$.

$\square$

División de números naturales

ENUNCIADO:
Calcular el resto, $r$, de la división del número natural $15$ ( dividendo ) entre el número natural $7$ ( divisor ) mediante el procedimiento de las restas sucesivas.

SOLUCIÓN:
Procedamos a restar el divisor ( $7$ ) del dividendo ( $15$ ), luego sustituimos el dividendo por el resultado de la resta y volvemos a restar el divisor de dicho número, y, así, hasta llegar a una resta cuyo resultado sea menor que el divisor; el resultado de esta última resta ha de ser el valor del resto de la división. Lo abreviaremos con la siguiente notación:

Partimos de
$$[15 \quad ; \quad 7]$$
y restamos sucesivamente
$$\text{i)} \quad [15-7=8 \quad ; \quad 7]$$
$$\text{ii)} \quad [8-7=1 \prec 7 \quad ; \quad 7] $$
y acabamos ( ya que el valor de la resta, $1$, es menor que el del divisor ), luego deducimos que $$r=1$$

Comprobación:
Se cumple el teorema de la división con números naturales. En efecto: como hemos realizado dos pasos en dicho proceso, el cociente de la división es $c=2$; y como el resto hallado es $r=1$, se comprueba que se cumple la igualdad $15 = 7 \cdot 2 + 1$, y, además $r=1 \prec 7$ ( el resto es mayor que el divisor ).

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[autoría]

Realizar las siguientes operaciones, donde interviene el valor absoluto y el opuesto de un número

ENUNCIADO:
Calcular:
a) $|(-3)|-(-3)$

b) $\text{opuesto}(-3)-(-3)$

c) $|3|-(+3)$

d) $\text{opuesto}(+3)-(+3)$

e) $|(-3)|-(-3)$

f) f) $(+3)-|(+3)|$

g) $(-3)-|(-3)|$


SOLUCIÓN:
a) $|(-3)|-(-3)=(+3)+\text{opuesto}(-3)=(+3)+(+3)=+6$

b) $\text{opuesto}(-3)-(-3)=(+3)+\text{opuesto(-3)=(+3)+(+3)=+6}$

c) $|(+3)|-(+3)=(+3)+\text{opuesto}(+3)=(+3)+(-3)=0$

d) $\text{opuesto}(+3)-(+3)=(-3)+\text{opuesto}(+3)=(-3)+(-3)=-6$

e) $|(-3)|-(-3)=(+3)+\text{opuesto}(-3)=(+3)+(+3)=+6$

f) $(+3)-|(+3)|=(+3)-(+3)=(+3)+\text{opuesto}(+3)=(+3)+(-3)=0$

g) $(-3)-|(-3)|=(-3)-(+3)=(-3)+\text{opuesto}(+3)=(-3)+(-3)=-6$

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[autoría]

Resta de números enteros

ENUNCIADO:
Demostrar que la resta de dos números enteros no cumple la propiedad conmutativa. Ayuda: basta encontrar un contra-ejemplo.

SOLUCIÓN:
Supongamos que se cumple la propiedad conmutativa para la operación resta de números enteros, entonces, por un lado tenemos que $$(+2)-(+1)=(+2)+\text{opuesto}(+1)=+2+(-1)=+1$$ por otra parte $$(+1)-(+2)=(+1)+\text{opuesto}(+2)=(+1)+(-2)=-1$$ y como hemos supuesto que ambos resultados deben ser iguales, $+1 = -1$, lo cual es es absurdo, luego debemos negar lo que hemos supuesto al principio ( "la resta de dos números enteros es conmutativa " ), y, de ello concluimos que la resta de dos números enteros no es conmutativa, tal como queríamos demostrar.

$\square$

[autoría]

Resta de números enteros

ENUNCIADO:
Expresar las siguientes restas de números enteros mediante la combinación de la operación suma y el opuesto del sustraendo, y finalmente, calcular el resultado de dicha resta:
a) $(+5)-(+1)$
b) $(-1)-(-7)$
c) $(-11)-(+3)$

SOLUCIÓN:
a) $(+5)-(+1)=(+5)+\text{opuesto}(+1)=(+5)+(-1)=+4$
b) $(-1)-(-7)=(-1)+\text{opuesto}(-7)=(-1)+(+7)=+6$
c) $(-11)-(+3)=(-11)+\text{opuesto}(+3)=(-11)+(-3)=-14$

$\square$

[autoría]