Enunciado:
Un cierto artículo que se pone a la venta en unos grandes almacenes tiene un precio de referencia de $100$ euros y, en época de rebajas, se ofrece rebajado en un $8\,\%$. Decidimos comprarlo y, al pasar por caja, nos hacen otro descuento por la promoción especial de dicho artículo, que es de un $2\,\%$ sobre la cantidad que resulta de aplicar el primer descuento. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento efectivo sobre el precio de referencia?
Resolución:
Descontando el $8\,\%$ de $100$ euros, debemos pagar $100-8=92$ euros. Ahora bien, de esa cantidad habrá que descontar la segunda rebaja, que es del $2\,\%$, luego si denotamos por $x$ la cantidad a pagar, planteando la proporción directa correspondiente y resolviéndola, tenemos que $\dfrac{100-2}{100}=\dfrac{x}{92}$, de donde $x=\dfrac{92\cdot 98}{100}=90,16$ euros.
$\square$
lunes, 28 de abril de 2014
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?
Enunciado:
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?
Resolución:
Denotemos por $t$ al tanto por ciento pedido, entonces $\dfrac{t}{100}=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{10}{100}$, de donde despejando $t$ obtenemos $t=\dfrac{2}{10}=\dfrac{0,2}{100}$, es decir, $t=0,2\,\%$
¿A qué tanto por ciento de una cierta cantidad equivale el $2\,\%$ del $10\,\%$ de la misma?
Resolución:
Denotemos por $t$ al tanto por ciento pedido, entonces $\dfrac{t}{100}=\dfrac{2}{100}\cdot \dfrac{10}{100}$, de donde despejando $t$ obtenemos $t=\dfrac{2}{10}=\dfrac{0,2}{100}$, es decir, $t=0,2\,\%$
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?
Enunciado:
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?
Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida; entonces, planteando la proporción directa $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60}$, de donde obtenemos $x=\dfrac{60\cdot 100}{6}=1000$
$\square$
El $6\,\%$ de una cierta cantidad es $60$. ¿A qué cantidad nos referimos?
Resolución:
Sea $x$ la cantidad pedida; entonces, planteando la proporción directa $\dfrac{100}{6}=\dfrac{x}{60}$, de donde obtenemos $x=\dfrac{60\cdot 100}{6}=1000$
$\square$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado: $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&2 \\ x &+&y&=&0 \\ \end{matrix}\right.$$
Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado:
$$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
x &+&y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Resolución:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones llegamos a $2\,x=2$, que es una ecuación equivalente a cada una de las dos ecuaciones originales, y, de ésta, deducimos que $x=1$. Sustituyendo, ahora, este resultado en ( por ejemplo ) la segunda ecuación, obtenemos el otro resultado, $y=-1$.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado:
$$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
x &+&y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Resolución:
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones llegamos a $2\,x=2$, que es una ecuación equivalente a cada una de las dos ecuaciones originales, y, de ésta, deducimos que $x=1$. Sustituyendo, ahora, este resultado en ( por ejemplo ) la segunda ecuación, obtenemos el otro resultado, $y=-1$.
Resolver $\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$
Enunciado:
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$
Resolución:
$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$
$30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$ ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )
$\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$
$6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$
$6\,x+9=2-2\,x-x-3$
$6\,x+2\,x+x=2-3-9$
$9\,x=-10$
$x=-\dfrac{10}{9}$
$\square$
Resolver:
$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$$
Resolución:
$\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1-x}{15}-\dfrac{x+3}{30}$
$30\cdot \dfrac{x}{5}+30\cdot \dfrac{3}{10}=30\cdot \dfrac{1-x}{15}-30\cdot \dfrac{x+3}{30}$ ( multiplicando por el mmc(5,10,15,30)=30 )
$\dfrac{30}{5}\,x+\dfrac{30}{10}\cdot 3=\dfrac{30}{15}\,(1-x)-\dfrac{30}{30}\,(x+3)$
$6\,x+3\cdot 3=2\,(1-x)-1 \cdot (x+3)$
$6\,x+9=2-2\,x-x-3$
$6\,x+2\,x+x=2-3-9$
$9\,x=-10$
$x=-\dfrac{10}{9}$
$\square$
Resolver la siguiente proporción: $\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
Enunciado:
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$
Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
$\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
$2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
$2\cdot 2=1 \cdot x$
$4=x$
es decir, $x=4$
$\blacksquare$
Resolver la siguiente proporción:
$$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$$
Resolución:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14} \Leftrightarrow 2\cdot 14 = 7\,x$, luego $28=7\,x$, de donde $x=4$
Otra manera de hacerlo:
$\dfrac{2}{7}=\dfrac{x}{14}$
$\dfrac{2}{7} \cdot 14=\dfrac{x}{14} \cdot 14$
$2\cdot \dfrac{14}{7}=x \cdot \dfrac{14}{14}$
$2\cdot 2=1 \cdot x$
$4=x$
es decir, $x=4$
$\blacksquare$
martes, 8 de abril de 2014
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
Enunciado:
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos cinco puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos cuatro puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Solución:
a)
b)
$\square$
Considérese una urna con $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras de la cual se extraen, al azar, dos bolas juntas, lo cual es equivalente a extraer primero una bola, anotar el resultado ( el color de la misma ) y dejarla fuera de la urna para, a continuación, extraer la segunda bola, anotando a su vez el resultado.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas resulten ser del mismo color.
[Recomendación: dibujar el diagrama de árbol]
b) Sean las siguientes condiciones: Obtenemos cinco puntos positivos en caso de que las dos bolas sean del mismo color y perdemos cuatro puntos en caso de que las dos bolas sean de distinto color, ¿ cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ?.
Solución:
a)
b)
$\square$
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población: $\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$
Enunciado:
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )
Solución:
apartados: a), f) y g)
apartados: b) y c)
apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )
apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).
apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$
$\square$
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
b) Dibujar el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras )
c) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
d) Determinar la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
e) Determinar la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Calcular la media aritmética ( parámetro de situación )
g) Calcular la desviación media ( parámetro de dispersión )
h) Calcular el rango ( parámetro de dispersión )
Solución:
apartados: a), f) y g)
apartados: b) y c)
apartado d)
La moda se define como el valor de $X$ cuya frecuencia sea máxima ( hay distribuciones con varios picos característicos, que no es el caso del ejercicio ), por tanto Moda=$3$ ( con frecuencia igual a $11$ )
apartado e)
La mediana se define como el centro del conjunto de valores ( ordenados de menor a mayor ); en nuestro caso, al haber un número par de valores ( $n=32$ ), hay dos valores en el centro, que corresponden a $x_{15}=3$ y $x_{16}=3$, luego la mediana es igual a $3$ ( se toma la media aritmética de ambos valores, que, al ser iguales, es, evidentemente, igual al mismo que el de ambos valores ).
apartado h)
Se define el rango como el valor absoluto de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la variable estadística $X$, luego rango=$|5-1|=|4|=4$
$\square$
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