Cálculo de la longitud de las diagonales de un trapecio isósceles

ENUNCIADO. Los lados paralelos de un trapecios isósceles miden $1$ y $3$ decímetros, respectivamente; y los lados oblicuos ( iguales ) tienen una longitud de $2$ decímetros. ¿ Cuánto miden las diagonales del trapecio ?

ENUNCIADO.

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 11 y 12, realizado el Martes 3/05/2016

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Aplicar el teorema de Tales

ENUNCIADO. Las rectas $r$, $s$ y $t$ de la figura son paralelas. Aplicando el teorema de Tales, calcular el valor de $x$ y el valor de $y$

SOLUCIÓN.
a) Observemos que los triángulos $\triangle \{O,A,A'\}$ y $\triangle \{O,B,B'\}$ son semejantes, luego ( aplicando el teorema de Tales ) $$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{OB'}}{\overline{OB}}$$ y, con los datos, podemos escribir $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+x}{4+1}$$ esto es $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+x}{5}$$ luego, despejando $x$, $$x=\dfrac{5\cdot 3}{4}-3=\dfrac{3}{4}=0,75\;\text{cm}$$

b) Observemos que los triángulos $\triangle \{O,A,A'\}$ y $\triangle \{O,C,C'\}$ son semejantes $$\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{\overline{OC'}}{\overline{OC}}$$ , por lo que podemos aplicar el teorema de Tales; y, con los datos, tenemos $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+x+y}{4+1+2}$$ esto es $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3+0,75+y}{7}$$ luego, despejando $y$, $$y=\dfrac{7\cdot 3}{4}-3,75=1,5\;\text{cm}$$
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Aplicar el recíproco del teorema de Tales

ENUNCIADO. A partir de las longitudes de los segmentos que aparecen en la siguiente figura, justificar que las rectas $r$ y $s$ son paralelas ( empleando el recíproco del teorema de Tales ).

SOLUCIÓN. Si se cumple $$\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OA'}}=\dfrac{\overline{OB}}{\overline{OB'}}$$ entonces podemos asegurar que $r$ y $s$ son rectas paralelas. Y, en efecto, así es: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{1,5}$, pues $2\cdot 1,5 =3 \cdot 1 = 3$
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Considerar dos triángulos semejantes tales que ...

ENUNCIADO. El área de un cierto triángulo mide $9\,\text{cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante a escala $1:3$, ¿ cuánto mide el área de este otro triángulo ?.

SOLUCIÓN. Al ser la razón de semejanza $r=\dfrac{1}{3} \prec 1$, el triángulo semejante al de área dada ( de $9\,\text{cm}^2$ ) es más pequeño. Teniendo en cuenta que la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza, llamando $A'$ al área pedida, podemos escribir $$\dfrac{A'}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$ esto es $$\dfrac{A'}{9}=\dfrac{1}{9}$$ con lo cual $$A'=1\;\text{cm}^2$$
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Cálculo de áreas de figuras planas. Sea un hexágono regular ...

ENUNCIADO. Considerar un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a $1$ decímetro. Calcular el valor de las siguientes áreas:
a) la del hexágono
b) la del círculo asociado a la circunferencia
c) la de la región comprendida entre la circunferencia y el hexágono.

SOLUCIÓN. Podéis leer la solución de un problema resuelto del mismo tenor siguiendo [ este enlace ].

Construir un triángulo con regla y compás ...

ENUNCIADO. Sean tres segmentos, de longitudes $3$, $4$ y $5$ centímetros, respectivamente. Construir ( con regla y compás ) el triángulo que tenga por lados estos tres segmentos. El mayor de los ángulos debe medir un ángulo recto, ¿ por qué ?.

SOLUCIÓN. Las longitudes de los tres lados forman una terna pitagórica ( se cumple el teorema de Pitágoras; en efecto, $5^2=3^2+4^2$, ya que $25=9+16$ ) por lo cual, dicho triángulo debe tener un ángulo recto ( por ser un triángulo rectángulo ). Veamos la construcción:

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Dibujar y denominar los elementos de un triángulo rectángulo ...

ENUNCIADO. Dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos sean de distinta longitud. A continuación, denominar los vértices, los lados y los ángulos de dicho triángulo ( empleando el convenio de notación explicado en clase ). Y, finalmente, explicar qué dice el teorema de Pitágoras.

SOLUCIÓN.

Nota: Si la hipotenusa es un diámetro de una circunferencia, entonces ( propiedad ) cualquier punto sobre la misma determina un triángulo rectángulo con los extremos de dicho diámetro.


También podemos denominar los ángulos de la siguiente manera:
$\alpha \equiv \angle ( CAB )$
$\beta \equiv \angle ( ABC )$
$\gamma \equiv \angle ( BCA )$
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