La suma de dos números naturales es ...

Enunciat:
La suma de dos nombres naturals és igual a $106$ i en dividir el més gran entre el més petit obtenim $2$ de quocient i $10$ de residu. Trobeu aquests nombres.

Resolució:
Considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} x+y = 106 \\ x = 2y+10\\ \end{matrix}\right\}$

on la segona equació es refereix a la propietat fonamental de la divisió

dividend = divisor · quaciente + residu

Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable
$2y+10+y=106$
que equival a
$3y=96$
d'on trobem que
$y=32$

i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=110-32$
és a dir
$x=78$

$\square$

Sistema decimal de numeración

La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es igual a la suma de los cuadrados de los dos siguientes números consecutivos. ¿ De qué números estamos hablando ?

Enunciat:
La suma dels quadrats de tres nombres naturals consecutius és igual a la suma dels quadrats dels dos següents. Quins nombres són ?

Resolució:
Anomenem $n$ al nombre més petit d'aquests tres; llavors, segons l'enuncitat, s'escau escriure la següent equació

$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2$

desenvolupant els binomis al quadrat, i agrupant i ordenant els termes, trobem l'equació equivalent

$n^2-8n-20=0$

resolent-la, trobem dos valors com a solució:

$n_1=-2$ (que no és un nombre natural) i $n_2=10$

Tan sols el segon és solució del problema (ens demanen un nombre natural); per tant, els tres nombres naturals consecutius demanats són: 10, 11 i 12

$\square$

Proporcionalidad inversa en problemas de movimiento a velocidad constante ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Fracciones generatrices ...

Proporcionalidad ...

Algunas nociones importantes: Una raó aritmètica és un quocient entre dos nombres reals obtinguts de les respectives mesures. Podem matisar una mica més aquesta definció: Una raó aritmètica entre dues quantitats, q1 i q1, és un nombre real que expressa la primera si prenem com a patró de mesura la segona: q1/q2. També és una raó aritmètica el quocient entre els valors de les mesures corresponents a dues magnituds M i N, m1/n1: m2/n2 ... Val a dir que s'anomena proporció a la igualtat entre dues raons aritmètiques, a/b i c/d: a/b = c/d. En una proporció es comleix que a.d = b.c La proporcionalitat com a tipus particular de relació de dependència entre magnituds Direm que una relació entre dues magnituds, M i N, és directa si un increment positiu en una comporta un increment positiu en l'altra. Una relació és inversa si un increment positiu d'una les dues comporta un increment negatiu en l'altra. Proporcionalitat directa entre dues magnituds M i N Donades dues magnituds M i N, direm que són magnituds directament proporcionals si per cada valor d'una d'elles mi es pot trobar un valor emparellat de l'altra, ni: {(m1,n1), (m2,n2), ...} de tal manera que m1/n1 = m2/n2 = m3/n = ... etcètera. Aquest valor constant s'anomena raó de proporcionalitat directa. Proporcionalitat inversa entre dues magnituds M i N Donades dues magnituds M i N, direm que són magnituds inversament proporcionals si per cada valor d'una d'elles mi es pot trobar un valor emparellat de l'altra, ni: {(m1,n1), (m2,n2), ...} de tal manera que m1/(1/n1) = m2/(1/n2) = m3/(1/n) = ... etcètera. Aquest valor constant s'anomena raó de proporcionalitat inversa.

Problemas de movimiento a velocidad constante

Problema 1 Jaume i Magda, que es troben a 7 km l'un de l'altra, caminen en sentits oposats per un sender de muntanya a un ritme força constant: Josep a una velocitat constant de 2 km/h; i Marta, a una velocitat constant de 3 km/h. Si surten a la mateixa hora, quant de temps passarà fins que es trobin ? A quina distància del punt de sortida de Josep es troben ? Resolució Sovint hom recorre a l'àlgebra per calcular una cosa com aquesta. De fet, no cal pas; n'hi ha prou a fer servir una senzilla proporció, cosa que permet trobar la solució fent càlcul mental. Vegem tot seguit com es pot fer. Com que en 1 h, la distància conjunta que recorren és de 5 km (comentari: aquesta velocitat de 5 km/h la podem entendre com la velocitat relativa: com si un dels dos es trobés en el punt de trobada, parat, i l'altre es mogués vers ell a aquesta velocitat), el temps t que cal per recorre una distància conjunta de 7 km surt de la proporció directa: t/7 = 1/5 D'aquí, t = 7/5 h = 1,4 h = 1 h i 12 min Per contestar la segona pregunta, el raonament aritmètic és encara més senzill: com que mantenint la velocitat, Josep recorre 2 km en 1 hora, en 7/5 h recorrerà 2.(7/5) = 14/5 km = 2,8 km = 2 km i 800 m desdel punt que ha començat a caminar Problema 2 Jaume i Magda, corren una marató. Com que estan ben entrenats, mantenen prou bé la velocitat: De mitjana, Jaume pot assolir un ritme de 4 minuts per quilòmetre, i Magda, necessita 5 minuts per recorre aquesta distància. Jaume ha arribat tard a la sortida: calcula que quan surt, Magda es troba a 1 quilòmetre de distància. Havien decidit anar junts fins a l'arribada. Quan de temps necessita Jaume per donar-li abast ? A quina distància de la sortida començaran a córrer junts ? Resolució Segons les dades de l'enunciat, Magda corre a una velocitat constant de 1/5 Km/min quan Jaume pren la sortida, a la màxima velocitat que pot assolir per tal de donar-li abast, 1/5 km/min. Fem, ara, la següent consideració per pensar la solució del problema d'una forma equivalent més senzilla, de tal manera que Jaume pugui calcular mentre corre (tingueu en compte que quan es fa exercici físic ens costa calcular): la situació equival a que Jaume corri a una velocitat relativa de 1/4 -1/5 = 1/20 km/min, i Magada estigui aturada a 1 km de distància. Vist així, és molt senzill: a Jaume li calen 20 minutos per recorrer aquest quilòmetre. Aquest és el temps que necessitarà per donar-li abast. La distància a què es troben del punt de sortida quan això succeeix és de: 20 min x 1/4 km/min = 5 km. Per cert, els queden 35 km i 195 m per correr junts ! (la distància que es corre en una marató és de 42 km i 195 m).