Dos ejemplos de utilidad de los porcentajes

Ecuaciones

Enunciat:
Resoleu les següents equacions polinòmiques:

a)     $2x+4=8$
b)     $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
c)     $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$
d)     $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$
e)     $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$

Resolució:

Recordem que resoldre una equació consisteix a fer les operacions algebraiques necessàries per anar obtenint equacions equivalents, cada vegada més senzilles, fins que, finalment, ens queda la variable aïllada (tota sola) en un dels membres de la igualtat.

apartat a)     $2x+4=8$
Agrupant els termes numèrics al 2n membre
$2x=8-4$
i dividint ambdós membre per $2$ podrem aïllar la variable
$x=\dfrac{8-4}{2}$
que és igual a $2$
$\square$

apartat b)     $3\,(1-x)=2\,(x-1)$
Fem ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma per desfer els parèntesis
$3-3x=2x-2$
agrupant els termes literals en un dels costats de la igualtat, i els numèrics a l'altre
$3+2=3x+2x$
sumant els termes semblants
$5=5x$
i dividint ambdós membres per $5$ trobem el valor de la lletra $x$ que compleix la igualtat original
$x=\dfrac{5}{5}=1$
$\square$

apartat c) [mètode I]
    $\dfrac{2}{3}\,x=\dfrac{5}{6}$

Dividint ambdós membres de la igualt per

$\dfrac{2}{3}$

aconseguirem aïllar la variable

$x=\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}}$

operació de divisió que, amb l'ajut de la tecla de càlcul de fraccions de la calculadora, queda

$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$

apartat c) [mètode II]
Una altra via de resolució és la següent. Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(3,6)=6$ ) podem escriure una equació equivalent a l'original, que té l'aventatge que els coeficients, ara, són nombres enters

$6\cdot \dfrac{2}{3}\,x=6\cdot \dfrac{5}{6}$

simplificant ens queda

$4x=5$

i dividint ambdós membres de la igualtat per $4$ amb l'objectiu d'aïllar la variable trobem

$x=\dfrac{5}{4}$
$\square$

apartat d)
    $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2x}{3}$

Multiplicant ambdós membres de la igualtat pel mínim comú múliple dels denominadors ( $\text{m.c.m}(2,4,6,3)=12$ )

$12 \cdot \dfrac{x}{2}+12 \cdot \dfrac{1}{4}=12 \cdot \dfrac{5}{6}-12 \cdot \dfrac{2x}{3}$

Simplificant

$6x+3=10-8x$

Agrupant els termes literals en un mateix membre, i els termes numèrics a l'altre

$6x+8x=10-3$

sumant els termes semblants

$14x=7$

i dividint ambdós membres per $14$ podem escriure

$x=\dfrac{7}{14}$

resultat que, simplificat, queda

$x=\dfrac{1}{2}$

$\square$

apartat e)
    $\dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{6}{3}=\dfrac{3x}{6}$

Multiplicant les fraccions dels primer membre i simplificant trobem
$1=\dfrac{x}{2}$

i multiplicant tots dos membres per $2$ podrem aïllar la variable

$x=2$

$\square$

[autoría]

La suma de dos números naturales es igual a 110, y, la diferencia entre el mayor y el menor es 68 ...

Enunciat:
La suma de dos nombres naturals és igual a $110$ i la diferència entre el més gran i el més petit és igual a $68$. Determineu aquests nombres.

Resolució:
Considerant que $x>y$, podem plantejar el següent sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x+y = 110\\x-y=68\\ \end{matrix}\right\}$
sumant membre a membre arribem a l'equació on, havent-se anul·lat el terme en $y$, porta a una equació amb una sola variable

$2x=178$

aïllant $x$ trobem

$x=\dfrac{178}{2}$

i dividint

$x=89$

y, per acabar, el valor de $y$ ha de ser igual a

$y=110-89$

que és igual a $21$

$\square$

[autoría]

Un problema con relojes de arena

Enunciat:
Disposem de dos rellotges de sorra; un d'ells mesura intervals de 4 minuts i l'altre de 7 minuts. Què haurem de fer per mesurar un interval de 9 minuts ?


Resolució:

Anomenem Q al rellotge de 4 min i S al de 7 min. Una manera de mesurar un interval de 9 min consisteix a combinar l'acció dels dos rellotges per tal que puguem mesurar exactament el pas de 1 min de temps la qual cosa és equivalent a disposar d'un tercer rellotge U que mesuri 1 min. Si aconseguim posar a punt U (a partir de S i Q), n'hi haurà prou a mesurar dos intervals de tempsde 4 min amb el rellotge Q i 1 min de temps amb el rellotge U.

A continuació, vegem com podem habilitar el patró de mesura U. Si posem en marxa simultàniament S i Q, quedaran encara 3 min (7-4) abans que acabi de baixar tota la sorra de S (anomenarem $S_3$ a aquesta fracció de temps). Instantàniament, mentre comencen a transcorrer els 3 min de temps de $S_3$ [la sorra va baixant], girem el rellotge Q (començar a baixar la sorra d'aquest) i, quan hagi acabat de caure tota la sorra de $S_3$, encara quedarà 1 min de de temps per tal que acabi de caure la sorra de Q (l'anomenarem $Q_1$: vet aquí el patró de mesura U).

I, en aquest mateix instant, no abans, és quan comencem el procés de recompte dels 9 min. Ara ja és ben fàcil entendre com: primer, deixem caure la sorra de $Q_1$ (passa un min i queda buit el rellotge de quatre minuts); tot seguit, instantàniament, li donem el tom al mateix rellotge (de 4 min, el rellotge Q) i fem el recompte de 4 min més (ja en són cin, 4 min + 1 min = 5 min). I, per acabar, li tornem a donar el tomb (al mateix rellotge de quatre minuts, Q) i, en acabar de baixar la sorra; hauran passat el 4 min que falten per comptar-ne, en total, nou (5+4=9). $\square$

[autoría]