Cálculo de la velocidad media en una excursión en bicicleta

Un ciclista ha realizado una excursión. Para hacer los primeros $5\,\text{km}$ ha tardado $15\,\text{min}$; para realizar los siguientes $10\,\text{km}$ ha empleado $20\,\text{min}$ y, finalmente, los últimos $8\,\text{km}$ los ha hecho en $30\,\text{min}$. ¿Cuál ha sido la velocidad media en el recorrido total, exprasada en kilómetros por hora?

El trayecto total es de $5+10+8=23\,\text{km}$, que se ha recorrido en $15+20+30=65\,\text{min}$; entonces, la velocidad media ha sido de $\dfrac{23}{65}\,\dfrac{\text{km}}{\text{min}}\cdot \dfrac{60}{1}\,\dfrac{\text{min}}{\text{h}}=\dfrac{23\cdot 60}{65}\approx 21\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
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Cálculos sin calculadora

Teniendo en cuenta que $2^{1024}$, calcúlese el resultado de la siguiente operación sin emplear la calculadora: $$2^{15}-2^{13}$$

  $2^{15}-2^{13}=$
    $2^{13+2}-2^{13}=$
      $2^{13}\cdot (2^2-1)=$
        $2^{13}\cdot (4-1)=$
          $2^{13}\cdot 3=$
            $2^{10+2+1}\cdot 3=$
            $2^{10}\cdot 2^2\cdot 2\cdot 3=$
              $2^{10}\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3=$
                $1\,024 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3=$
                  $2\,048 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3=$
                    $4\,096 \cdot 2\cdot 3=$
                      $8\,192 \cdot 3=$
                        $8\,192 \cdot (2+1)=$
                          $8\,192 \cdot 2+ 8\,192=$
                            $16\,384 + 8\,192=$
                              $16\,000+384 + 8\,000+192=$
                                $24\,000+384 + 192=$
                                  $24\,000+300 + 84 + 100 + 92=$
                                    $24\,000+400 + 84 + 92=$
                                      $24\,400 + 84 + 92=$
                                        $24\,400 + 90-6 + 90+2=$
                                          $24\,400 + 180-6+2=$
                                            $24\,400 + 180-4=$
                                              $24\,580-4=$
                                                $24\,576$

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Un problema de proporcionalidad sobre témpanos de hielo

Imaginemos que, navegando en el océano Antártico, cerca del contienente, avistamos un témpano de hielo desprendido de un glaciar (hielo continental). Estimamos que el volumen emergido es de $150\,\text{m}^3$ y nos preguntamos cuál es el volumen total del témpano y cuál es su masa.

Sabemos (dato) que el $89,5\,\%$ del volumen total de un témpano de hielo continental está sumergido, el volumen emergido representa un $100\,\%-89,5\,\%=10,5\,\%$ del volum total; entonces, basta con hacer un cálculo de proporcionalidad dirrecta para determinar el volumen total $V$ de dicho témpano: $\dfrac{100}{10,5}=\dfrac{V}{150}$, con lo cual $V=\dfrac{150\cdot 100}{10,5}\approx 1429\,\text{m}^3$. Como conocemos también la densida del hielo continental (otro dato), $d_{hc}=917\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, la masa que estimamos de ese témpano es de $917\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 1\,429\,\text{m}^3 = 1\,310\,393\,\text{kg}$.

Otra pregunta interesante que nos podemos hacer es la siguiente: Al estar dicho témpano de hielo formado de agua dulce, pues es hielo desprendido de un glaciar (cada litro de agua dulce tiene una masa de $1$ kilogramo) y si fuese posible aprovecharlo para el suministro de agua de una base antártica en la que viven $20$ personas, ¿para cuántos días se dispondría de agua dulce, contando con un consumo estimativo de $50\,\text{L}$ por persona y día?

Pues bien, haciendo otro sencillo cálculo de proporcionalidad directa encontramos que el suministro duraría $\dfrac{1\,310\,393\,\text{L}}{20\cdot 50 \dfrac{\text{L}}{\text{día}}} \approx 1\,310\,\text{días}$. $\diamond$

Cálculo de la masa de un cuerpo a partir de la densidad de su material (suponiendo que sea homogéneo) y su volumen

Un mecánico fresador quiere mecanizar una pieza de alumnio que tiene forma cúbica y cuya arista mide $1\,\text{dm}$. Nos gustaría saber cuál será la masa de la pieza antes de mecanizarla. ¿Cómo podríamos hacer ésto?

La solución pasa por consultar en algún libro de tablas del fresador cuál el la densidad del material a mecanizar, que, para el aluminio, se sabe que es $d=2\,700 \,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, y tener en cuenta que, como es bien sabido, la densidad se define como la razón aritmética entre la masa, $m$, y el volumen $V$, esto es, $d=\dfrac{m}{V}$, luego, $m=d\cdot V \quad \quad (1)$

Nos falta saber cuál es el volumen del cubo. Disponemos de la longitud de sus aristas, luego calcular el volumen del cubo a partir de dicho dato es bien fácil: como es bien sabido el volumen de un cubo es igual al cubo de la longitud de la arista, tenemos que $V=1^3\,\text{dm}^3=1\,\text{dm}^3=10^{-3}\,\text{m}^3$.

Finalmente, de $(1)$, se tiene que $m=2\,700\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3=2\,700 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}= 2,7 \,\text{kg}$. $\diamond$

Ejemplo de cálculo de la distancia entre dos puntos de la recta numérica de los n. reales

¿Cuál es la distancia entre los puntos que representan a los números $-6$ y $9$ en la recta de los n. reales?

La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ de la recta $\mathbb{R}$, donde $a,b$ representan números reales, se define como $\text{distancia}(a,b):=|b-a|$. Entonces, en este caso: $\text{distancia}(-6,9):=|9-(-6)|=|9+6|=15$. $\diamond$

Punto medio de un segmento de la recta numérica. Distancias entre puntos de la recta numérica

Consideremos el segmento de la recta de los números reales cuyos extremos son $-5$ y $3$, ¿a qué número corresponde el punto medio de dicho segmento?

Nada más sencillo: el número pedido es la semisuma de los extremos: $\dfrac{(-5)+3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$. Podemos comprobarlo, calculando las distancias entre dicho punto y los extremos: éstas deben ser iguales. En efecto, $\text{distancia}(-5,-1):=|-1-(-5)|=|-1+5|=|4|=4$ y $\text{distancia}(-1,3):=|3-(-1)|=|3+1|=4$. $\diamond$