¿Y si hubiese ido a pie?

Conduciendo mi utilitario hasta un pueblecito vecino en la sierra de Guadarrama, me he fijado en que, yendo a una velocidad de $60\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ (la carretera es estrecha y tiene muchas curvas y, además, hoy hay escasa visibilidad por la niebla), he tardado $8\,\text{min}$. Durante ese corto trayecto me he preguntado cuánto tiempo tardaría si en lugar de ir en coche hubiese ido paseando.

No recordaba la distancia a recorrer que tiene el trayecto. Todavía no había llegado a mi destino y por tanto no podía consultar el cuentakilómetros para saberlo, lo que me hubiese permitido responder a mi pregunta dividiendo la longitud del trayecto por la velocidad que me propondría llevar al hacer el trayecto a pie (un simple cálculo de proporcionalidad directa). Sin embargo, hay una manera de calcular lo pedido sin conocer esa longitud: es también un cálculo directo y sencillo, lo cual se agradece, pues en el momento de realizar dicho cálcul, no podía escribir en un papel ni usar una calculadora, pues estaba conduciendo. Veamos de qué cálculo se trata.

Las magnitudes velocidad (se supone que ésta ha sido constante a lo largo de todo el trayecto) y tiempo empleado en realizarlo son inversamente proporcionales: $v_1\cdot t_1=v_2\cdot t_2=v_3\cdot t_3=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad inversa) no puede representar otra cosa que la longitud de camino recorrida y que, luego, calcularemos por simple curiosidad.

Sabemos que una velocidad muy razonable que se lleva al ir andando por un terreno fácil es de $4\, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, por lo tanto, mentalmente, podemos establecer que $60\cdot 8 = 4\,t$ donde $t$ es el tiempo que se tardaría andando, que es el que quiero saber. Si dividimos por $4$ ambos miembros de la igualdad, se llega a esta otra equivalente, que facilita mucho el cálculo mental: $60\cdot 2 = t$, luego $t=120\,\text{min}$, esto es, $2\,\text{h}$.

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Observación: Notemos que con esto es bien sencillo calcular la longitud del trayecto; ahora, con una proporción directa entre la longitud recorrida y el tiempo empleado: $\dfrac{\ell_1}{t_1}=\dfrac{\ell_2}{t_2}=\dfrac{\ell_3}{t_3}=\ldots=\text{constante}$. Esa constante (de proporcionalidad directa) representa la velocidad (constante) que lleva un vehículo que va recorriendo, con sus respectivos tiempos, diversos tramos del recorrido (sin acelerar ni frenar en ningún momento).

A todo esto, vamos a calcular (mentalmente) la distancia que he recorrido hasta llegar al destino. Como, yendo en coche, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ he recorrido $60\,\text{km}$ (o lo que es lo mismo, $1\,\text{km}$ en $1\,\text{min}$), puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{1}{1}=\dfrac{\ell}{8}$, y por tanto $\ell=8\,\text{km}$.

Y de manera parecida, si lo razonase en el supuesto de que hubiese hecho el camino andando: como en $2\,\text{h}=120\,\text{min}$ hubiese recorrido $8\,\text{km}$, o lo que es lo mismo, en $1\,\text{h}=60\,\text{min}$ hubiese recorrido $4\,\text{km}$, puedo plantear la siguiente proporción directa: $\dfrac{4}{1}=\dfrac{\ell}{2}$, así que multiplicando por $2$ ambos miembros, se obtiene $\ell=2\cdot 4= 8\,\text{km}$. $\diamond$

Ejemplo de expresión de un número no entero (con parte decimal no nula) en base $2$

En este sencillo ejercicio, expresaremos el número no entero $15,3$ (dado en base $10$) en base $2$.

Expresión de la parte entera en base $2$

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $2$ es $\{0,1\}$. Vamos a expresar $15$ en serie de potencias de base $2$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros y unos), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida de dicha cantidad en base $2$.

Empecemos pues dividiendo $15$ entre $2$. Se obtiene cociente igual a $7$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $15=7\cdot 2+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $7$ entre $2$, obtenemos cociente igual a $3$ y resto igual a $1$, luego por el t.d.e, $7=3\cdot 2+1$, por tanto, $7=(2\cdot 1+1)\cdot 2+1=2^2+2+1$; y, al sustituir esto en (1) se llega a $15=(2^2+2+1)\cdot 2+1=2^3+2^2+2+1$; esto es, $$15=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2+1\cdot 2^0$$En consecuencia, $$15_{10}=1111_{2}$$

Expresión de la parte fraccionaria en base $2$

La parte fraccionaria de $15,3$ en base $10$ es $0,3$. Procedemos a expresarla en base $2$. Para ello iremos multiplicando por $2$ la parte fraccionaria, quedándonos con la secuencia de unos y ceros que vayan apareciendo en la parte fraccionaria de los resultados sucesivos:
  $2\cdot \text{frac}(15,3)=2\cdot 0,3=0,6 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$
  $2\cdot \text{frac}(1,2)=2\cdot 0,2=0,4 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,4)=2\cdot 0,4=0,8 \rightarrow 0$
  $2\cdot \text{frac}(0,8)=2\cdot 0,8=1,6 \rightarrow 1$
  $2\cdot \text{frac}(0,6)=2\cdot 0,6=1,2 \rightarrow 1$, volviéndose a repetir la secuencia de los pasos entre el segundo y el cuarto, ambos inclusive
Por consiguiente, podemos escribir $0,3_{10}=0,0\,1001\,1001\,11001\,\ldots$, y por tanto $$15,3_{10}=1111,0\,1001\,1001\,1001\,\ldots_{2}$$ $\diamond$

Un ejercicio sencillo sobre bases de numeración

En este sencillo ejercicio, expresaremos $16$ (dado en base $10$) en base $3$.

El conjunto de números con el que debemos expresar una cierta cantidad en base $3$ es $\{0,1,2\}$. Vamos a expresar $16$ en serie de potencias de base $3$. Hecho esto, sabemos que la secuencia de los coeficientes de las potencias (ceros, unos y doses), escritos en el orden de mayor a menor grado del término a que corresponda será la expresión pedida.

Empecemos pues dividiendo $16$ entre $3$. Se obtiene cociente igual a $5$ y resto igual a $1$, por lo que, por el teorema de la división euclídea (t.d.e.), podemos escribir $16=5\cdot 3+1 \quad \quad (1)$; por otra parte, al dividir $5$ entre $3$, obtenemos cociente igual a $1$ y resto igual a $2$, luego por el t.d.e, $5=3\cdot 1+2$, que, sustituido en (1), permite escribir $16=(3\cdot 1+2)\cdot 3+1=3^2+2\cdot 3+1=1\cdot 3^2+2\cdot 3^1+1\cdot 3^0$. En consecuencia, $$16_{10}=121_{3}$$ $\diamond$